1、課件制作：應用數(shù)學系 概率統(tǒng)計課程組,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,5.2 中心極限定理,定理1 獨立同分布的中心極限定理,則對于任意實數(shù) x ,注：,即 n 足夠大時，Y n 的分布函數(shù)近似于標準正態(tài) 隨機變量的分布函數(shù),記,近似,近似服從,定理2 李雅普諾夫(Liapunov)定理,獨立，且有有限的期望和方差：,記,若,則對于任意實數(shù) x ,定理3 德莫佛 拉普拉斯中心極限定理 （DeMoivre-Laplace ）,設 Y n B( n , p) , 0 p 1, n = 1,2,則對任一實數(shù) x，有,即對任意的 a b,Y n N (np , np(1-p) (近似),正態(tài)分布的概率密度的圖形,二

2、項分布的隨機變量可看作許多相互獨立的0-1分布的隨機變量之和, 下面是當x-B(20,0.5)時, x的概率分布圖,普阿松分布相當于二項分布中p很小n很大的分布, 因此, 參數(shù)l=np當很大時也相當于n特別大, 這個時候普阿松分布也近似服從正態(tài)分布, 下面是l=30時的普阿松概率分布圖.,例1 設有一大批種子，其中良種占1/6. 試估計 在任選的6000粒種子中，良種所占比例與 1/6比較上下不超過1%的概率.,解 設 X 表示6000粒種子中的良種數(shù) , 則,X B(6000,1/6),比較幾個近似計算的結果,用中心極限定理,用二項分布(精確結果),用Poisson 分布,用Chebyshe

3、v 不等式,例2 某車間有200臺車床，每臺獨立工作，開工 率為0.6. 開工時每臺耗電量為 r 千瓦. 問供 電所至少要供給這個車間多少電力, 才能以 99.9% 的概率保證這個車間不會因供電不足 而影響生產？,解 設至少要供給這個車間 a 千瓦的電力,設 X 為200 臺車床的開工數(shù).,X B(200,0.6) ,問題轉化為求 a , 使,X N (120, 48) (近似),由于將 X 近似地看成正態(tài)分布，故,反查標準正態(tài)函數(shù)分布表，得,令,例3 檢查員逐個地檢查某種產品, 每檢查一只 產品需要用10秒鐘 . 但有的產品需重復檢 查一次，再用去10秒鐘. 假設產品需要重 復檢查的概率為

4、0.5, 求檢驗員在 8 小時內 檢查的產品多于1900個的概率.,解 檢驗員在 8 小時內檢查的產品多于1900個 即檢查1900個產品所用的時間小于 8 小時.,設 X 為檢查1900 個產品所用的時間(單位： 秒),設 Xk 為檢查第 k 個產品所用的時間(單位：秒), k = 1,2,1900,0.5 0.5,相互獨立,且同分布,解法二, 1900個產品中需重復檢查的個數(shù),例4 對敵人的防御工事用炮火進行 100 次轟擊, 設每次轟擊命中的炮彈數(shù)服從同一分布, 其 數(shù)學期望為 2, 均方差為 1.5 . 如果各次轟擊 命中的炮彈數(shù)是相互獨立的, 求100 次轟擊 (1) 至少命中180

5、發(fā)炮彈的概率; (2) 命中的炮彈數(shù)不到200發(fā)的概率.,解 設 X k 表示第 k 次轟擊命中的炮彈數(shù),相互獨立，,設 X 表示100次轟擊命中的炮彈數(shù), 則,(1),(2),例5 售報員在報攤上賣報, 已知每個過路人在 報攤上買報的概率為1/3. 令X 是出售了100份 報時過路人的數(shù)目，求 P (280 X 320).,解 令Xi 為售出了第 i 1 份報紙后到售出第i 份報紙時的過路人數(shù), i = 1,2,100,(幾何分布),相互獨立,中心極限定理的意義,在實際問題中，若某隨機變量可以看 作是有相互獨立的大量隨機變量綜合作用 的結果，每一個因素在總的影響中的作用 都很微小，則綜合作用的結果服從正態(tài)分 布.,練習2(2001年數(shù)學四考研試題十一題) 一生產線生產的產品成箱包裝，每箱的重量是隨機的，假設每箱平均重50千克，標準差為5千克。若用最大載重量為5噸的汽車承運，試利用中心極限定理說明每輛車最多可裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977. ( (2)=0.977，其中(x)是標準正態(tài)分布的分布函數(shù)),練習1 (2002年數(shù)學四考研試題) 設隨機變量 相互獨立， 則根據(jù)列維-林德貝格中心極限定理，當n充分大時， 近似 服從正態(tài)分布，只要 ( ). 有相同的數(shù)學期望 (B) 有相同的方差 (C ) 服從同一指數(shù)分布 (D) 服從同一離散型分布,作業(yè),*補充