1、重點(diǎn)：一、二階微分方程的定義和解法，由通過(guò)復(fù)習(xí)引出 難點(diǎn)：一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題用微分方程構(gòu)建數(shù)學(xué)模型及得到符合實(shí)際的解，由實(shí)例講解方法,總時(shí)數(shù)：4 學(xué)時(shí).,1、知道一階和簡(jiǎn)單的二階微分方程的解法； 2、會(huì)用一階微分方程解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題； 3、會(huì)用簡(jiǎn)單的二階微分方程解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,【學(xué)習(xí)目標(biāo)】,【授課時(shí)數(shù)】,【重、難點(diǎn)】,一、一階微分方程應(yīng)用舉例,用微分方程尋求實(shí)際問(wèn)題中未知函數(shù)的一般步驟：, 分析問(wèn)題，建立微分方程，確定初始條件；, 求出微分方程的通解；, 由初始條件確定通解中任意常數(shù)，得方程相應(yīng),的特解，即為所求函數(shù),化規(guī)律,由回路電壓定律，得,解,從而，有,分離變量得,兩邊積分得,把初始條件

2、代入得，,即,所求的充電電路的電壓,的變化規(guī)律是,設(shè)墓中木炭,在,時(shí)含量為,由題設(shè)有,分離變量得,兩邊積分得,解,記木炭中,含量為, 代入方程通解得,又由,的半衰期為5730年，得,解得,于是,解得,當(dāng),0.772時(shí)，,（年）,這表明距1972年初馬王堆一號(hào)墓發(fā)掘時(shí)，墓中人已,死亡約2139年，由1971 - 2139 -168（年）,即墓中人辛追夫人死亡時(shí)間約為公元前168年.,例 3 有高為1米的半球形容器, 水從它的底部小孔流出, 小孔橫截面積為1平方厘米(如圖). 開(kāi)始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水, 求水從小孔流出過(guò)程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律.,解,由力

3、學(xué)知識(shí)得, 水從孔口流出的流量為,設(shè)在微小的時(shí)間間隔,比較(1)和(2)得:,水面的高度由h降至 ,即為未知函數(shù)的微分方程.,可分離變量,所求規(guī)律為,解,設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)后 時(shí)刻 的含量為,在 內(nèi),的通入量,的排出量,的改變量,6分鐘后, 車間內(nèi) 的百分比降低到,解,軸指向?qū)Π?，如圖所示.,設(shè)水流速度為,（,鴨子的游速為,（,則鴨子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度為,）,）,，,設(shè)在時(shí)刻,鴨子位于點(diǎn),則鴨子的運(yùn)動(dòng)速度為,，,故有,而,由此得微分方程,令,則,代入上面方程，得,分離變量，得,兩邊同時(shí)積分，并整理得,將,代入上式，得,鴨跡線的方程為,解,另外，傘在下降過(guò)程中還受重力,作用，,由牛頓第二定律得,對(duì)上述方程

4、分離變量得,兩邊積分得,由初始條件得,即,故所求特解為,由此可見(jiàn)，,的增大，速度,逐漸變大且趨于,常數(shù),，但不會(huì)超過(guò),這說(shuō)明跳傘后，開(kāi)始階段,是加速運(yùn)動(dòng)，以后逐漸趨于勻速運(yùn)動(dòng),隨著,二、二階微分方程應(yīng)用舉例,用微分方程尋求實(shí)際問(wèn)題中未知函數(shù)的一般步驟：, 分析問(wèn)題，建立微分方程，確定初始條件；, 求出微分方程的通解；, 由初始條件確定通解中任意常數(shù)，得方程相應(yīng),的特解，即為所求函數(shù),例1設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的甲艦向位于x軸上點(diǎn)A(1, 0)處的乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭始終對(duì)準(zhǔn)乙艦如果乙艦以最大的速度v0（ v0是常數(shù)）沿平行于y 軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是5v0，求導(dǎo)彈運(yùn)行的曲線方程又乙艦行駛多遠(yuǎn)時(shí)，導(dǎo)

5、彈將它擊中？,解,由于導(dǎo)彈頭,始終對(duì)準(zhǔn)乙艦, 故此時(shí)直線PQ,就是導(dǎo)彈的軌跡曲線弧OP在,點(diǎn)P處的切線，,于是有,R,即,(1),又根據(jù)題意，弧OP的長(zhǎng)度為,的5倍，即,(2),由(1)(2)消去t整理得模型,(3),解得導(dǎo)彈的運(yùn)行軌跡方程為,當(dāng),時(shí)，,，即當(dāng)乙艦航行到點(diǎn),處時(shí)被,導(dǎo)彈擊中.,被擊中時(shí)間為,.,解,設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為,，,根據(jù)牛頓第二,定律，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程是,由題設(shè)知,將,代入上式，得,從而得，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程是,將,代入(1)式，得,將,代入(2)式，得,則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為,解,設(shè)在t時(shí)刻通過(guò)R的電壓為,通過(guò)L的電壓為,則由基爾霍夫定律，有,將它們代入(1) 式，得,即

6、,將E=20，C=0.5，L=1.6，R=4.8代入上式，得,解得,將初始條件代入(2)、(3)式，得方程組,解得,將上式代入(2)式，得電壓,的變化規(guī)律是,解,如圖所示，取平衡位置,為原點(diǎn)，,軸的正向向下，受力分析，,第二定律，物體的運(yùn)動(dòng)滿足微分方程,由牛頓運(yùn)動(dòng),可得對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為,設(shè)方程,的一個(gè)特解為,則有,代入原方程，整理得,比較系數(shù)得,從而得,故原方程的通解為,.,將初始條件,分別代入，求得,再將,得所求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為,和,的值代入原方程的通解，,解,取炮口為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖所示，,設(shè)剛開(kāi)始射擊時(shí)t=0，炮彈在t,時(shí)刻的位置為,由牛頓,運(yùn)動(dòng)第二定律，得,初始條件,由(1)解得,由(2)解得,由(4)解得,將初始條件分別代入(3),(4),(5)得,