1、代數(shù)系統(tǒng),成分：集合及運(yùn)算 特異元素、運(yùn)算性質(zhì),代數(shù)系統(tǒng)的構(gòu)成,本章說明,本章的主要內(nèi)容 一元和二元運(yùn)算定義及其實(shí)例 二元運(yùn)算的性質(zhì) 代數(shù)系統(tǒng)定義及其實(shí)例 子代數(shù)，積代數(shù) 代數(shù)同態(tài),與后面各章的關(guān)系 是后面典型代數(shù)系統(tǒng)的基礎(chǔ),二元運(yùn)算及其性質(zhì),定義 設(shè)S為集合，函數(shù) f：SSS 稱為S上的二元運(yùn)算，簡(jiǎn)稱為二元運(yùn)算。 舉例 f:NNN，f()x +y 是自然數(shù)集合N上的二元運(yùn)算 f:NNN，f()x - y 不是自然數(shù)集合N上的二元運(yùn)算 稱N對(duì)減法不封閉。,說明,驗(yàn)證一個(gè)運(yùn)算是否為集合S上的二元運(yùn)算主要考慮兩點(diǎn)： S中任何兩個(gè)元素都可以進(jìn)行這種運(yùn)算，且運(yùn)算的結(jié)果是唯一的。 S中任何兩個(gè)元素的運(yùn)算

2、結(jié)果都屬于S，即S對(duì)該運(yùn)算是封閉的。,（1）自然數(shù)集合N上的加法和乘法是N上的二元運(yùn)算，但減 法和除法不是。 （2）整數(shù)集合Z上的加法、減法和乘法都是Z上的二元運(yùn)算 ，而除法不是。 （3）非零實(shí)數(shù)集R*上的乘法和除法都是R*上的二元運(yùn)算，加 法、減法不是。 （4）設(shè)Sa1,a2,an，aiaj =ai為S上二元運(yùn)算。,例,（5）設(shè)Mn(R)表示所有n階(n2)實(shí)矩陣的集合，即,則矩陣加法和乘法都是Mn(R)上的二元運(yùn)算。 （6）S為任意集合，則、 為P(S)上的二元運(yùn)算。 （7）SS為S上的所有函數(shù)的集合，則合成運(yùn)算為SS上的二元運(yùn) 算。,定義 設(shè)S為集合，函數(shù)f：SS稱為S上的一元運(yùn)算，簡(jiǎn)稱

3、為一元運(yùn)算。 例 （1）求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)是整數(shù)集合Z、有理數(shù)集合Q和實(shí)數(shù)集 合R上的一元運(yùn)算。 （2）求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)是非零有理數(shù)集合Q*、非零實(shí)數(shù)集合R* 上的一元運(yùn)算。 （3）求一個(gè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)集合C上的一元運(yùn)算。,（4）在冪集P(S)上，如果規(guī)定全集為S，則求集合的絕對(duì)補(bǔ) 運(yùn)算是P(S)上的一元運(yùn)算。 （5）設(shè)S為集合，令A(yù)為S上所有雙射函數(shù)的集合，ASS， 求一個(gè)雙射函數(shù)的反函數(shù)為A上的一元運(yùn)算。 （6）在n(n2)階實(shí)矩陣的集合Mn(R)上，求一個(gè)矩陣的轉(zhuǎn)置 矩陣是Mn(R)上的一元運(yùn)算。,可以用、等符號(hào)表示二元或一元運(yùn)算，稱為算符。 設(shè)f : SSS是S上的二元運(yùn)算，對(duì)任意的

4、x, yS，如果x與y的運(yùn)算結(jié)果為z，即f()z，可以利用算符簡(jiǎn)記為 xy = z。 對(duì)一元運(yùn)算，x的運(yùn)算結(jié)果記作x。 例題 設(shè)R為實(shí)數(shù)集合，如下定義R上的二元運(yùn)算 ： x,yR，x y = x。 那么 3 4 = 3，0.5 (3) = 0.5。,二元與一元運(yùn)算的算符,函數(shù)的解析公式 運(yùn)算表（表示有窮集上的一元和二元運(yùn)算）,二元與一元運(yùn)算的表示,例,例 設(shè)S=1,2，給出P(S)上的運(yùn)算和的運(yùn)算表 ，其中全集為S。,解答,例 設(shè)S=1,2,3,4，定義S上的二元運(yùn)算如下： x y(xy) mod 5， x,yS 求運(yùn)算的運(yùn)算表。,解答,定義 設(shè)為S上的二元運(yùn)算，如果對(duì)于任意的x,yS都有xy

5、=yx，則稱運(yùn)算在S上滿足交換律。 定義 設(shè)為S上的二元運(yùn)算，如果對(duì)于任意的x,y,zS都有 (xy)z=x(yz)，則稱運(yùn)算在S上滿足結(jié)合律。 說明：若+適合結(jié)合律，則有 (x+y)+(u+v) x+y+u+v。 定義 設(shè)為S上的二元運(yùn)算，如果對(duì)于任意的xS有xx=x，則稱運(yùn)算在S上滿足冪等律。如果S中的某些x滿足xx=x，則稱x為運(yùn)算的冪等元。 舉例：普通的加法和乘法不適合冪等律。但0是加法的冪等元，0和1是乘法的冪等元。,二元運(yùn)算的性質(zhì),Z, Q, R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)集；Mn(R)為n階實(shí)矩陣集合, n2；P(B)為冪集；AA為從A到A的函數(shù)集，|A|2 。,定義 設(shè)為S上的二元

6、運(yùn)算，如果對(duì)于任意的x,y,zS，滿足以下條件： （1）若xy xz且x ，則y z （左消去律） （2）若yx zx且x ，則yz （右消去律） 則稱運(yùn)算滿足消去律。 例如： 整數(shù)集合上的加法和乘法都滿足消去律。 冪集P(S)上的并和交運(yùn)算一般不滿足消去律。,消去律,定義 設(shè)和為S上兩個(gè)二元運(yùn)算，如果對(duì)于任意的x,y,zS，有 x(yz) (xy) (xz)（左分配律）(yz)x (yx) (zx)（右分配律） 則稱運(yùn)算對(duì)運(yùn)算滿足分配律。 說明：若*對(duì)運(yùn)算分配律成立，則*對(duì)運(yùn)算廣義分配律也成立。 x(y1 y2 yn ) (xy1)(x y2) (x yn) (y1 y2 yn )x (y1

7、x) (y2x) (ynx) 定義 設(shè)和為S上兩個(gè)可交換的二元運(yùn)算，如果對(duì)于任意的x,yS，都有 x(xy)x x(xy)x 則稱運(yùn)算和滿足吸收律。,二元運(yùn)算的性質(zhì),Z, Q, R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)集；Mn(R)為n階實(shí)矩陣集合，n2；P(B)為冪集；AA為從A到A的函數(shù)集，|A|2 。,定義 設(shè)為S上的二元運(yùn)算， 如果存在元素el（或er）S，使得對(duì)任意xS都有 elx = x (或xer = x) 則稱el (或er)是S中關(guān)于運(yùn)算的一個(gè)左單位元(或右單位元)。 若eS關(guān)于運(yùn)算既是左單位元又是右單位元，則稱e為S上關(guān)于運(yùn)算的單位元。單位元也叫做幺元。,運(yùn)算可以沒有左單位元和右單位元。

8、 運(yùn)算可以只有左單位元。 運(yùn)算可以只有右單位元。 運(yùn)算可以既有左單位元，又有右單位元。,說明,二元運(yùn)算中的特異元素單位元,定義 設(shè)為S上的二元運(yùn)算， 如果存在元素l（或r）S，使得對(duì)任意xS都有 lx = l (或xr = r)， 則稱l (或r)是S上關(guān)于運(yùn)算的左零元(或右零元)。 若S關(guān)于運(yùn)算既是左零元又是右零元，則稱為S上關(guān)于運(yùn)算的零元。,運(yùn)算可以沒有左零元和右零元。 運(yùn)算可以只有左零元。 運(yùn)算可以只有右零元。 運(yùn)算可以既有左零元，又有右零元。,說明,二元運(yùn)算中的特異元素零元,定義 設(shè)為S上的二元運(yùn)算，eS為運(yùn)算的單位元，對(duì)于x S 如果存在yl（或yr）S使得 ylxe（或xyre）

9、則稱yl（或yr）是x的左逆元（或右逆元）。 若yS既是x的左逆元又是x的右逆元，則稱y為x的逆元。 如果x的逆元存在，則稱x是可逆的。,運(yùn)算可以沒有左逆元和右逆元。 運(yùn)算可以只有左逆元。 運(yùn)算可以只有右逆元。 運(yùn)算可以既有左逆元，又有右逆元。,說明,二元運(yùn)算中的特異元素逆元,定理 設(shè)為S上的二元運(yùn)算，el、er分別為運(yùn)算的左單位元和右單位元，則有 el = er = e 且e 為S上關(guān)于運(yùn)算的唯一的單位元。,el eler (er為右單位元) eler er (el為左單位元) 所以el = er，將這個(gè)單位元記作e。 假設(shè)e也是S中的單位元，則有 e = ee = e 所以，e 是S中關(guān)于

10、運(yùn)算的唯一的單位元。,證明,定理 設(shè)為S上的二元運(yùn)算，l和r分別為運(yùn)算的左零元和右零元，則有 l = r = 且為S上關(guān)于運(yùn)算的唯一的零元。,l lr (r為左零元) lr r (l為右零元) 所以l = r，將這個(gè)零元記作 。 假設(shè) 也是S中的零元，則有 = = 所以， 是S中關(guān)于運(yùn)算的唯一的零元。,證明,特異元素的實(shí)例,定理 設(shè)為S上的二元運(yùn)算，e 和分別為運(yùn)算的單位元和零元，如果S至少有兩個(gè)元素，則e。,用反證法。 假設(shè) e = ，則xS有 x x e x 這與S中至少含有兩個(gè)元素矛盾。 所以，假設(shè)不 成立，即e。,證明,定理 設(shè)為S上可結(jié)合的二元運(yùn)算，e為該運(yùn)算的單位元，對(duì)于xS，如果

11、存在左逆元yl和右逆元yr，則有 yl = yr= y 且y是x的唯一的逆元。,由 ylx = e 和 xyr = e ，得,證明,yl = yle,令yl = yr = y，則y是x的逆元。,= yl (xyr),= (ylx) yr,= eyr,= yr,假若yS也是x的逆元，則,y= ye,= y (xy),= (yx) y,= ey,= y,所以y是x唯一的逆元，記作x1。,二元運(yùn)算f：SSS 一元運(yùn)算f：SS 交換律x,yS， xy yx 結(jié)合律x,y,z S，(xy)z x(yz) 冪等律xS， x x x 消去律x,yS，xy xz且x y z y xzx且x y z 分配律x,

12、y,z S，x(yz) (xy) (xz)，(yz)x (yx) (zx) 吸收律x,yS，x(xy)x，x(xy)x 單位元exS， x e e x x 零元xS， x x 冪等元x x x 可逆元x y y x e,運(yùn)算的性質(zhì)與特異元素,例 對(duì)于下面給定的集合和該集合上的二元運(yùn)算，指出該運(yùn)算的性質(zhì)，并求出它的單位元、零元和所有可逆元素的逆元。 （1）Z+，x,yZ+，xylcm(x,y)，即求x和y的最小公倍數(shù)。 （2）Q，x,yQ，xy=x+y-xy,解答,（1）運(yùn)算可交換、可結(jié)合、是冪等的。 xZ+，x1=x ， 1x=x ，1為單位元。 不存在零元。 只有1有逆元，是它自己，其他正整

13、數(shù)無逆元。,（2） Q，x,yQ，xy=x+y-xy 運(yùn)算滿足交換律，因?yàn)閤,yQ，有 xy =x+y-xy = y+x-yx = yx 運(yùn)算滿足結(jié)合律，因?yàn)閤,y,zQ，有 (xy)z=(x+y-xy)z=x+y-xy+z-(x+y-xy)z= x+y+z-xy-xz-yz+xyz x(yz)=x(y+z-yz)=x+(y+z-yz)-x(y+z-yz)=x+y+z-xy-xz-yz+xyz 運(yùn)算不滿足冪等律，因?yàn)?Q，但 22 =2+2-2202 運(yùn)算滿足消去律，因?yàn)閤,y,zQ，x1(1為零元)，有 xy = xz x+y-xy=x+z-xz y-z = x(y-z) y=z 由于是可交

14、換的，所以右消去律成立。同理可證明左消去律成立，所以消去律成立。,0是運(yùn)算的單位元，因?yàn)?xQ，有 x0=x+0-x0=x=0 x 1是運(yùn)算的零元，因?yàn)?xQ，有 x1=x+1-x1=1=1x xQ，欲使 xy=0和 yx=0成立，即 x+y-xy = 0 得,所以，,例 設(shè)A=a,b,c，A上的二元運(yùn)算、如表所示。 (1)說明、運(yùn)算是否滿足交換律、結(jié)合律、消去律和冪等律。 (2)求出關(guān)于、運(yùn)算的單位元、零元和所有可逆元素的逆元。,運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律和消去律，不滿足冪等律。單位元是a，沒有零元，且a-1=a，b-1=c，c-1=b。 運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律和冪等律，不滿足消去律。單位元是a

15、，零元是b，只有a有逆元，a-1=a。 運(yùn)算滿足結(jié)合律和冪等律，不滿足交換律和消去律。沒有單位元，沒有零元，沒有可逆元。,解答,復(fù)習(xí),分析,定義 非空集合S和S上k個(gè)一元或二元運(yùn)算f1,f2, fk組成的系統(tǒng)稱為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱代數(shù)，記做。 實(shí)例： 、都是代數(shù)系統(tǒng)，其中+和分別表示普通加法和乘法。 是代數(shù)系統(tǒng)，其中和分別表示n階(n2)實(shí)矩陣的加法和乘法。 是代數(shù)系統(tǒng)，其中和為并和交，為絕對(duì)補(bǔ)。 是代數(shù)系統(tǒng)，其中 Zn0,1,2, ,n-1 和分別表示模n的加法和乘法。,代數(shù)系統(tǒng),集合（規(guī)定了參與運(yùn)算的元素） 運(yùn)算（只討論有限個(gè)二元和一元運(yùn)算） 代數(shù)常數(shù) 在定義代數(shù)系統(tǒng)的時(shí)候，如果把零元和單

16、位元也作為系統(tǒng)的性質(zhì)，稱這些元素為該代數(shù)系統(tǒng)的特異元素或代數(shù)常數(shù)。 有時(shí)為了強(qiáng)調(diào)某個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是含有代數(shù)常數(shù)的系統(tǒng)，也可以把這些代數(shù)常數(shù)列到系統(tǒng)的表達(dá)式中。 例如：代數(shù)系統(tǒng)。,代數(shù)系統(tǒng)的成分,列出所有的成分：集合、運(yùn)算、代數(shù)常數(shù)（如果存在） 例如 ， 列出集合和運(yùn)算，在規(guī)定系統(tǒng)性質(zhì)時(shí)不涉及具有單位元的性質(zhì)（無代數(shù)常數(shù)） 例如 ， 用集合名稱簡(jiǎn)單標(biāo)記代數(shù)系統(tǒng) 例如 在前面已經(jīng)對(duì)代數(shù)系統(tǒng)作了說明的前提下，上述兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)可以簡(jiǎn)記為Z, P(S),代數(shù)系統(tǒng)的表示,定義 如果兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)中運(yùn)算的個(gè)數(shù)相同，對(duì)應(yīng)運(yùn)算的元數(shù)相同，且代數(shù)常數(shù)的個(gè)數(shù)也相同，則稱這兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)具有相同的構(gòu)成成分，也稱它們是同類型的

17、代數(shù)系統(tǒng)。 例如 V1= V2= V1、V2是同類型的代數(shù)系統(tǒng)，因?yàn)樗鼈兌己?個(gè)二元運(yùn)算， 2個(gè)代數(shù)常數(shù)。但是它們的運(yùn)算性質(zhì)不一樣。,同類型的代數(shù)系統(tǒng),在規(guī)定了一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)的構(gòu)成成分，即集合、運(yùn)算以及代數(shù)常數(shù)以后，如果在對(duì)這些性質(zhì)所遵從的算律加以限制，那么滿足這些條件的代數(shù)系統(tǒng)就具有完全相同的性質(zhì)，從而構(gòu)成了一類特殊的代數(shù)系統(tǒng)。 例如：代數(shù)系統(tǒng)V，如果*是可結(jié)合的，則稱V為半群。如、等都是半群。 從代數(shù)系統(tǒng)的構(gòu)成成分和遵從的算律出發(fā)，將代數(shù)系統(tǒng)分類，然后研究每一類代數(shù)系統(tǒng)的共同性質(zhì)，并將研究的結(jié)果運(yùn)用到具體的代數(shù)系統(tǒng)中去。(抽象代數(shù)的基本方法) 以后各章分別就幾類重要的代數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行分析。,代

18、數(shù)系統(tǒng)說明,定義設(shè)V是代數(shù)系統(tǒng)，BS，如果B對(duì)f1, f2, , fk 都是封閉的，且B和S含有相同的代數(shù)常數(shù)，則稱是V的子代數(shù)系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱子代數(shù)。簡(jiǎn)記為B。 例如： N是的子代數(shù)，N也是的子代數(shù)。 N0是的子代數(shù)，但不是的子代數(shù)。,子代數(shù)和原代數(shù)具有相同的成分，運(yùn)算性質(zhì)也相同，是同類型的代數(shù)系統(tǒng)，在許多方面與原代數(shù)非常相似，不過可能小一些。 對(duì)于任何代數(shù)系統(tǒng)，其子代數(shù)一定存在。,說明,子代數(shù),最大的子代數(shù)：就是V本身。 最小的子代數(shù)：如果令V中所有代數(shù)常數(shù)構(gòu)成的集合是B，且B對(duì)V中所有的運(yùn)算都是封閉的，則B就構(gòu)成了V的最小的子代數(shù)。 平凡的子代數(shù)：最大和最小的子代數(shù)稱為V的平凡的子代數(shù)。 真子代數(shù)：若B是S的真子集，則B構(gòu)成的子代數(shù)稱為V的真子代數(shù)。,子代數(shù)的相關(guān)概念,例 設(shè)V=，令 nZ=nz | zZ，n為自然數(shù)， 則nZ是V的子代數(shù)。,任取nZ中的兩個(gè)元素nz1和nz2(z1,z2Z )，則有 nz1+nz2 n(z1+z2 )nZ 即nZ對(duì)+運(yùn)算是封閉的。又 0=n0 nZ 所以，n