1、安徽省皖西南聯(lián)盟2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題 文（含解析）考生注意：1.本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，共150分。考試時(shí)間120分鐘。2.請(qǐng)將各題答案填寫(xiě)在答題卡上。3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考必考內(nèi)容。第卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（ ）A. 5B. C. 6D. 【答案】A【解析】【分析】由題，先根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算直接求出結(jié)果即可【詳解】由題故選A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解出集合和，再利用交集的

2、運(yùn)算律可得出.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，解題的關(guān)鍵就是將集合都表示出來(lái)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。3.若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則a=（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由切線與直線平行，得出導(dǎo)數(shù)在的導(dǎo)數(shù)值為，于此可得出實(shí)數(shù)的值。【詳解】因?yàn)?，所以，解得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵就是要根據(jù)直線與切線的位置關(guān)系，得出斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而列方程求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。4.某校有高一學(xué)生n名，其中男生數(shù)與女生數(shù)之比為，為了解學(xué)生的視力情況，現(xiàn)要求按分層抽樣的方法抽取一個(gè)樣本容量為的樣本

3、，若樣本中男生比女生多12人，則（ ）A. 990B. 1320C. 1430D. 1560【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得出樣本中男生和女生所占的比例分別為和，于是得出樣本中男生與女生人數(shù)之差為，于此可求出的值。【詳解】依題意可得，解得，故選：B。【點(diǎn)睛】本題考考查分層抽樣的相關(guān)計(jì)算，解題時(shí)要利用分層抽樣的特點(diǎn)列式求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。5.設(shè)向量a與向量b垂直，且，則下列向量與向量共線的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用向量與向量垂直，轉(zhuǎn)化為兩向量數(shù)量積為零，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出的值，并求出向量的坐標(biāo)，結(jié)合共線向量的坐標(biāo)等價(jià)條件可得出選項(xiàng)。【詳

4、解】因?yàn)橄蛄颗c向量垂直，所以，解得，所以，則向量與向量共線，故選：B?！军c(diǎn)睛】本題考查向量垂直與共線坐標(biāo)的等價(jià)條件，解題時(shí)要充分利用這些等價(jià)條件列等式求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題。6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三視圖得出該幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為4的圓柱挖掉右上半圓柱而形成的幾何體，在利用體積公式求解，即可得到答案.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為4的圓柱挖掉右上半圓柱而形成的幾何體，故該幾何體的體積為，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際

5、形狀時(shí)，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)公式求解.7.若函數(shù)f（x）=有最大值，則a的取值范圍為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分析函數(shù)每段的單調(diào)性確定其最值，列a的不等式即可求解.【詳解】由題,單調(diào)遞增，故單調(diào)遞減，故,因?yàn)楹瘮?shù)存在最大值，所以解.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)最值，函數(shù)單調(diào)性，確定每段函數(shù)單調(diào)性及最值是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.8.設(shè)x，y滿足約束條件則的最大值與最小值的比值為（

6、）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出不等式組所表示的可行域，平移直線，觀察直線在軸上取得最大值和最小值時(shí)相應(yīng)的最優(yōu)解，再將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)可得出最大值和最小值，于此可得出答案。【詳解】如圖，作出約束條件表示的可行域.由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí).z取得最大值；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，z取得最小值.故，故選：A?！军c(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，一般利用平移直線利用直線在坐標(biāo)軸上的截距得出最優(yōu)解，考查計(jì)算能力，屬于中等題。9.已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，都有成立，則的最小值為（ ）A. 4B. 1C. D. 2【答案】D【解析】【分析】由題意得出的一個(gè)最大值為，一個(gè)最小值為，于此得出的最

7、小值為函數(shù)的半個(gè)周期，于此得出答案。【詳解】對(duì)任意的，成立.所以，所以，故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查正余弦型函數(shù)的周期性，根據(jù)題中條件得出函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵，另外就是靈活利用正余弦型函數(shù)的周期公式，考查分析問(wèn)題的能力，屬于中等題。10.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）A. 20B. 10C. 20或-10D. -20或10【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列和項(xiàng)性質(zhì)列式求解.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為,所以成等比數(shù)列，因?yàn)?所以，解得或，因?yàn)椋?，則.選A.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列和項(xiàng)性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬中檔題.11.若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則的零點(diǎn)為（ ）A. 1B. C.

8、2D. 【答案】B【解析】【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得出的值，再解方程可得出函數(shù)零點(diǎn)。【詳解】，故的零點(diǎn)為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)以及函數(shù)零點(diǎn)的概念，解題的關(guān)鍵在于利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出參數(shù)的值，解題時(shí)要正確把握零點(diǎn)的概念，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題。12.若實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線上恰有4個(gè)不同的點(diǎn)滿足，其中，則雙曲線C的虛軸長(zhǎng)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，由結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式得出點(diǎn)的軌跡方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為雙曲線與點(diǎn)的軌跡有個(gè)公共點(diǎn)，并將雙曲線的方程與動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程聯(lián)立，由得出的取值范圍，可得出答案。【詳解

9、】依題意可得，設(shè)，則由，得，整理得.由得，依題意可知，解得，則雙曲線C的虛軸長(zhǎng).第卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.按文獻(xiàn)記載，百家姓成文于北宋初年，表1記錄了百家姓開(kāi)頭的24大姓氏：表1：趙錢(qián)孫李周吳鄭王馮陳褚衛(wèi)蔣沈韓楊朱秦尤許何呂施張表2記錄了2020年中國(guó)人口最多的前10大姓氏：表2：1：李2：王3：張4：劉5：陳6：楊7：趙8：黃9：周10：吳從百家姓開(kāi)頭的24大姓氏中隨機(jī)選取1個(gè)姓氏，則這個(gè)姓氏是2020年中國(guó)人口最多的前10大姓氏的概率為_(kāi).【答案】【解析】【分析】在年人口最多的前大姓氏中找出位于百家姓的前位的姓氏，并確定這些姓氏

10、的數(shù)目，再利用古典概型的概率公式計(jì)算所求事件的概率。【詳解】2020年中國(guó)人口最多的前10大姓氏也是百家姓的前24大姓氏的是趙、李、周、吳、王、陳、楊、張，共8個(gè)，故所求概率為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的計(jì)算，解題關(guān)鍵就是要確定所求事件所包含的基本事件數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。14.已知，則_.【答案】【解析】【分析】利用兩角差的正切公式展開(kāi)，代入相應(yīng)值可計(jì)算出的值?！驹斀狻?【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的正切公式的應(yīng)用，解題時(shí)，首先應(yīng)利用已知角去配湊所求角，然后在利用兩角差的公式展開(kāi)進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題。15.阿基米德(公元前287年公元前212年)不僅是著名

11、的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他最早利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在y軸上，且橢圓C的離心率為，面積為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi).【答案】【解析】【分析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用橢圓的面積為以及離心率的值，求出、的值，從而可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。【詳解】依題意設(shè)橢圓C的方程為，則橢圓C的面積為，又，解得，.則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：。【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，一般要結(jié)合已知條件求出、的值，再利用橢圓焦點(diǎn)位置得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題。16.四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA與矩形AB

12、CD所在平面垂直，球O的表面積為，則線段PA的長(zhǎng)為_(kāi).【答案】1【解析】【分析】先利用球的表面積得出球的直徑，再利用可求出的長(zhǎng).【詳解】設(shè)球的半徑為，則，由于底面，且四邊形為矩形，所以，即，解得，故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查多面體的外接球，考查利用球體的表面積計(jì)算直棱錐的高，在計(jì)算直棱柱或直棱錐的外接球時(shí)，若直棱柱或直棱錐的底面外接圓直徑為，高為，外接球的直徑為，則，解題時(shí)注意一些常規(guī)模型的應(yīng)用。三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，且.(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(2)求的通項(xiàng)公式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1

13、）先將表示為，然后利用裂項(xiàng)求和法可求出；（2）先求出數(shù)列的前項(xiàng)和，于是得出，然后利用作差法可求出數(shù)列通項(xiàng)公式。【詳解】（1）因?yàn)椋?所以；（2）因?yàn)椋?所以. 當(dāng)時(shí).； 當(dāng)時(shí)，.故【點(diǎn)睛】本題考查裂項(xiàng)法求和以及作差法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，求通項(xiàng)要結(jié)合遞推式的結(jié)構(gòu)選擇合適的方法求數(shù)列通項(xiàng)，求和則需考查數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)合理選擇合適的求和方法進(jìn)行計(jì)算，屬于?？碱}。18.某市A，B兩校組織了一次英語(yǔ)筆試（總分120分）聯(lián)賽，兩校各自挑選了英語(yǔ)筆試成績(jī)最好的100名學(xué)生參賽，成績(jī)不低于115分定義為優(yōu)秀.賽后統(tǒng)計(jì)了所有參賽學(xué)生的成績(jī)（都在區(qū)間內(nèi)），將這些數(shù)據(jù)分成4組：得到如下兩個(gè)頻率分布直方圖：（1）分別計(jì)算

14、A，B兩校聯(lián)賽中的優(yōu)秀率；（2）聯(lián)賽結(jié)束后兩校將根據(jù)學(xué)生的成績(jī)發(fā)放獎(jiǎng)學(xué)金，已知獎(jiǎng)學(xué)金y（單位：百元）與其成績(jī)t的關(guān)系式為當(dāng)時(shí)，試問(wèn)A，B兩校哪所學(xué)校的獲獎(jiǎng)人數(shù)更多？當(dāng)時(shí)，若以獎(jiǎng)學(xué)金的總額為判斷依據(jù)，試問(wèn)本次聯(lián)賽A，B兩校哪所學(xué)校實(shí)力更強(qiáng)？【答案】（1）A校的優(yōu)秀率為，B校的優(yōu)秀率為（2）B校的獲獎(jiǎng)人數(shù)更多A校實(shí)力更強(qiáng)，詳見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖找出、兩校頻率分布直方圖中成績(jī)不小于分的矩形面積，即可得出這兩個(gè)學(xué)校的優(yōu)秀率；（2）根據(jù)題意計(jì)算出、兩校成績(jī)不低于的人數(shù)，即為獲獎(jiǎng)人數(shù)，再與這兩個(gè)學(xué)校的獲獎(jiǎng)人數(shù)的多少進(jìn)行比較；根據(jù)（獎(jiǎng)學(xué)金）與成績(jī)之間的關(guān)系式計(jì)算出、兩校所獲得的獎(jiǎng)金

15、數(shù)，再對(duì)兩校所得獎(jiǎng)金數(shù)進(jìn)行比較，得出獲得獎(jiǎng)金數(shù)較多的學(xué)校實(shí)力較強(qiáng)。【詳解】（1）由頻率分布直方圖知，校的優(yōu)秀率為，校的優(yōu)秀率為；（2）A校的獲獎(jiǎng)人數(shù)為，B校的獲獎(jiǎng)人數(shù)為，所以B校的獲獎(jiǎng)人數(shù)更多. A校學(xué)生獲得的獎(jiǎng)學(xué)金的總額為（百元）=16900（元）， B校學(xué)生獲得的獎(jiǎng)學(xué)金的總額為（百元）=16600（元）， 因?yàn)?，所以A校實(shí)力更強(qiáng).【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查頻數(shù)以及平均數(shù)的計(jì)算，在頻率分布直方圖中弄清頻率、頻數(shù)以及總?cè)萘咳咧g的關(guān)系，還應(yīng)掌握眾數(shù)、平均數(shù)以及中位數(shù)的求解原則，考查計(jì)算能力，屬于中等題。19.如圖，在四棱錐中，正所在平面與矩形所在平面垂直（1）證明：在底面的射

16、影為線段的中點(diǎn)；（2）已知，為線段上一點(diǎn)，且，求三棱錐的體積【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，可證明平面，從而得出在底面的射影為線段的中點(diǎn)（2）利用等體積轉(zhuǎn)化法求三棱錐的體積【詳解】證明：設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，如圖 因?yàn)闉檎切?，所以?因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面?所以平面，即在底面的射影為線段的中點(diǎn) （2）解：在中，則， 因?yàn)?，所以，即，則，從而，即 所以 由（1）知平面，且， 所以【點(diǎn)睛】立體幾何的證明求值是高考的重要考點(diǎn) ，求某幾何體的體積可以用等體積轉(zhuǎn)化法，證明線面垂直可以通過(guò)面面垂直的性質(zhì)定理證明。20.在中，角,所對(duì)的邊分別是，已知

17、 .（1）求的值；（2）若，為垂足，求的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理化邊為角，再根據(jù)兩角和正弦公式化簡(jiǎn)得結(jié)果，（2）先根據(jù)余弦定理求，再利用三角形面積公式求AD.【詳解】（1）因?yàn)椋?因?yàn)?，所?即.因?yàn)椋?，所?則.（2）因?yàn)?，所?.在中，由余弦定理可得 ，即.由，得.所以.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理以及三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.21.已知是拋物線上一點(diǎn)，為的焦點(diǎn)（1）若，是上的兩點(diǎn)，證明：，依次成等比數(shù)列（2）若直線與交于，兩點(diǎn)，且，求線段的垂直平分線在軸上的截距【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）由在拋物線上，求出拋物線方程；根據(jù)拋物線焦半徑公式可得，的長(zhǎng)度，從而證得依次成等比數(shù)列；（2）將直線代入拋物線方程，消去，根據(jù)韋達(dá)定理求解出，從而可得中點(diǎn)坐標(biāo)和垂直平分線斜率，從而求得垂直平分線所在直線方程，代入求得結(jié)果.【詳解】（1）是拋物線上一點(diǎn) 根據(jù)題意可得：，依次成等比數(shù)列（2）由，消可得， 設(shè)的中點(diǎn)，線段垂直平分線的斜率為故其直線方程為當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線綜合問(wèn)題，關(guān)鍵在于能夠通過(guò)直線與拋物線方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理的形式，從而準(zhǔn)確求解出斜率.22.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在處取得極大值，求的取值范圍【答案】（