1、2.3 冪函數(shù),一、冪函數(shù)的定義 1.解析式：_. 2.自變量：_，常數(shù):_. 思考：一次函數(shù)與二次函數(shù)一定是冪函數(shù)嗎？ 提示：不一定.例如：一次函數(shù)y=x+1，二次函數(shù)y=x2+1等都 不是冪函數(shù).,y=x,x,二、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.五種常見冪函數(shù)的圖象 請在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出冪函y=x,y=x2,y=x3,y=x-1, 的圖象.,2.五類冪函數(shù)的性質(zhì),R,R,R,0,+),(-,0)(0,+),R,0,+),R,0,+),y|yR且y0,奇,偶,奇,非奇非,偶,奇,增,增,減,增,增,減,減,(1,1),判斷：(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)冪函數(shù)的圖象必過點(diǎn)(0,0)

2、和(1,1).( ) (2)冪函數(shù)y=x的定義域、奇偶性、單調(diào)性，因函數(shù)式中的不同而各異.( ) (3)冪函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在平面直角坐標(biāo)系中的任意一個象限.( ),提示：(1)錯誤.當(dāng)0時，冪函數(shù)y=x的圖象必過點(diǎn)(0,0)和(1,1)；當(dāng)0時，冪函數(shù)y=x的圖象必過點(diǎn)(1,1)，不過點(diǎn)(0,0). (2)正確.由五類冪函數(shù)的性質(zhì)可知此說法正確. (3)錯誤.對冪函數(shù)y=x而言，當(dāng)x0時，必有y0，故冪函數(shù)的圖象不過第四象限. 答案：(1) (2) (3),【知識點(diǎn)撥】 1.冪函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征 (1)指數(shù)為常數(shù). (2)底數(shù)是自變量，自變量的系數(shù)為1. (3)冪x的系數(shù)為1. (4)只有

3、1項(xiàng).,2.冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)比較,3.冪函數(shù)y=x在第一象限的圖象特征 (1)指數(shù)大于1,在第一象限為拋物線型(下凸). (2)指數(shù)等于1,在第一象限為上升的射線(去掉端點(diǎn)). (3)指數(shù)大于0小于1,在第一象限為拋物線型(上凸). (4)指數(shù)等于0,在第一象限為水平的射線(去掉端點(diǎn)). (5)指數(shù)小于0,在第一象限為雙曲線型.,4.冪函數(shù)的單調(diào)性 (1)如果0，冪函數(shù)y=x在(0，+)上是增函數(shù). (2)如果0，冪函數(shù)y=x在(0，+)上是減函數(shù).,類型 一 冪函數(shù)的概念 【典型例題】 1.給出下列函數(shù)： y y3x2；yx4x2； y=(x-1)2；y=0.3x，其中是冪函數(shù)的有( ) A

4、.1個 B.2個 C.3個 D.4個 2.已知函數(shù) 當(dāng)m為何值時，f(x)是 冪函數(shù)？,【解題探究】1.判斷一個函數(shù)是否是冪函數(shù)的依據(jù)是什么？ 2.根據(jù)冪函數(shù)定義可知，題2中的字母應(yīng)滿足哪些條件？,探究提示： 1.判斷一個函數(shù)是否是冪函數(shù)的依據(jù)是冪函數(shù)的解析式具有的四個特征： (1)指數(shù)為常數(shù). (2)底數(shù)是自變量，自變量的系數(shù)為1. (3)冪x的系數(shù)為1. (4)只有1項(xiàng). 2.m應(yīng)滿足m2+2m-2=1.,【解析】1.選B.可以對照冪函數(shù)的定義進(jìn)行判斷在所給出 的六個函數(shù)中，只有y= =x-3和 符合冪函數(shù)的定 義，是冪函數(shù)，其余四個都不是冪函數(shù) 2.要使 是冪函數(shù)，則有m2+2m-2=1

5、,即 m2+2m-3=0,解得m=-3或m=1.,【拓展提升】 1.冪函數(shù)的判斷方法 (1)冪函數(shù)同指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一樣，是一種“形式定義”的函數(shù)，也就是說必須完全具備形如y=x(R)的函數(shù)才是冪函數(shù). (2)如果函數(shù)解析式以根式的形式給出，則要注意把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡整理，再對照冪函數(shù)的定義進(jìn)行判斷.,2.求冪函數(shù)解析式的依據(jù)及常用方法 (1)依據(jù). 若一個函數(shù)為冪函數(shù)，則該函數(shù)應(yīng)具備冪函數(shù)解析式所具備的特征，這是解決與冪函數(shù)有關(guān)問題的隱含條件. (2)常用方法. 設(shè)冪函數(shù)解析式為f(x)=x,根據(jù)條件求出.,【變式訓(xùn)練】已知點(diǎn)( )在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x) 的表

6、達(dá)式為( ) A.f(x)x3 B.f(x)x3 C.f(x) D.f(x) 【解析】選B.設(shè)f(x)x，則 即 3，f(x)x-3.,類型 二 冪函數(shù)的圖象 【典型例題】 1.(2013三明高一檢測)函數(shù)y= 的圖象大致是( ),2.(2013邢臺高一檢測)當(dāng)1， 1，3時，冪函數(shù) yx的圖象不可能經(jīng)過第_象限. 3.已知冪函數(shù)y=xm-2(mN)的圖象與x,y軸都無交點(diǎn)，且關(guān)于 y軸對稱，求m的值，并畫出它的圖象,【解題探究】1.可以根據(jù)函數(shù)的哪些性質(zhì)判斷函數(shù)的圖象的 特征？ 2.冪函數(shù)y=x-1,y= y=x,y=x3的圖象分布在哪些象限？ 3.題3中冪函數(shù)的圖象與x,y軸都無交點(diǎn)，且關(guān)

7、于y軸對稱，揭 示了冪指數(shù)m-2是什么數(shù)？,探究提示： 1.可以根據(jù)函數(shù)的奇偶性、圖象上的特殊點(diǎn)和線判斷函數(shù)的 圖象的特征. 2.冪函數(shù)y=x-1，y=x，y=x3的圖象分布在第一、三象限， y= 的圖象分布在第一象限. 3.圖象與x,y軸都無交點(diǎn)，揭示了冪指數(shù)m-2是負(fù)數(shù)或零；關(guān) 于y軸對稱且mN揭示了冪指數(shù)m-2是偶數(shù).,【解析】1.選B.函數(shù) 是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且此 函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除A，C. 另外，因?yàn)?所以當(dāng)x(0,1)時，函數(shù)y= 的圖象在直線y=x的下方； 當(dāng)x(1,+)時，函數(shù)y= 的圖象在直線y=x的上方.故選B.,2.冪函數(shù)y=x-1，y=

8、x，y=x3的圖象分布在第一、三象限， y= 的圖象分布在第一象限. 所以冪函數(shù)yx(=-1, 1,3)的圖象不可能經(jīng)過第二、 四象限 答案：二、四,3.圖象與x,y軸都無交點(diǎn)， m-20，即m2 又mN，m=0,1,2 冪函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱， m=0，或m=2 當(dāng)m=0時，函數(shù)為y=x-2，圖象如圖1； 當(dāng)m=2時，函數(shù)為y=x0=1(x0)， 圖象如圖2,【互動探究】題1中，若將函數(shù)y= 改為y= 其圖象大 致是所給四個選項(xiàng)中的哪個圖象？ 【解析】函數(shù) 是定義域?yàn)閤|x0的奇函數(shù)， 其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱. 由此知函數(shù)y= 的圖象大致是選項(xiàng)A的圖象.,【拓展提升】 1.作冪函數(shù)圖象的原則和方

9、法 (1)原則：作冪函數(shù)的圖象要聯(lián)系函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等. (2)方法：首先作出冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，然后根據(jù)奇偶性就可作出冪函數(shù)在定義域內(nèi)完整的圖象.,2.冪函數(shù)y=x在第一象限內(nèi)圖象的畫法 (1)當(dāng)0時，其圖象可以類似y=x-1畫出； (2)當(dāng)01時，其圖象可以類似y= 畫出； (3)當(dāng)1時，其圖象可以類似y=x2畫出.,【變式訓(xùn)練】函數(shù)f(x)=xn+ax-1(nZ,a0且a1)的圖象必過定點(diǎn)( ) A.(1,1) B.(1,2) C.(-1,0) D.(-1,1) 【解析】選B.因?yàn)閒(1)=1n+a1-1=1+1=2,所以f(x)=xn+ax-1 (nZ,a0且a

10、1)的圖象必過定點(diǎn)(1,2).,類型 三 冪函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【典型例題】 1.設(shè) ，則使函數(shù)y=x的定義域?yàn)镽的所有 的值為( ) A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 2.判斷下列各組數(shù)的大小 (1)5.1-2與5.09-2的大小關(guān)系是_. (2) 的大小關(guān)系是_.,3.(2013長沙高一檢測)已知函數(shù)f(x)= +1. (1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+)上的單調(diào)性并證明. (2)求f(x)在區(qū)間1,3上的最大值和最小值.,【解題探究】1.冪函數(shù)y=x的定義域與有什么關(guān)系？ 2.(1)要比較題2(1)中兩個數(shù)的大小，可將其看作哪個函數(shù)的函數(shù)值？如何利用函數(shù)的單調(diào)性比

11、較大??？ (2)三個(三個以上的)數(shù)比較大小，要注意應(yīng)用什么方法？ 3.利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是什么？,探究提示： 1.當(dāng)為正整數(shù)時，冪函數(shù)y=x的定義域?yàn)镽.當(dāng)為負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時，要先用負(fù)整數(shù)冪、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義變形后再求定義域. 2.(1)5.1-2和5.09-2可以看作函數(shù)y=x-2在自變量分別取5.1和5.09時的函數(shù)值.根據(jù)函數(shù)y=x-2的單調(diào)性，可以由5.1和5.09的大小關(guān)系推出5.1-2和5.09-2的大小關(guān)系. (2)三個(三個以上的)數(shù)比較大小，要注意應(yīng)用中間量法. 3.按照設(shè)元、作差、變形、判號、下結(jié)論五個步驟進(jìn)行.,【解析】1.選A.函數(shù)y=x，y=x3的定義域是

12、R. 的 定義域是(0,+). y= 的定義域是0,+). y=x-1的定義域是x|x0.,2.(1)y=x-2在(0,+)上為減函數(shù)， 且5.15.09, 5.1-25.09-2. (2) y= 在(0,+)上為增函數(shù)，且 又 答案：(1)5.1-25.09-2 (2),3.(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+)上是減函數(shù). 證明如下： 設(shè)x1,x2是區(qū)間(0,+)上任意兩個實(shí)數(shù)，且x1x2，則 x2x10, x1+x20,x2-x10,(x1x2)20, f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2), 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+)上是減函數(shù).,(2)由(1)知函數(shù)f(x)在區(qū)間1,3上

13、是減函數(shù)， 所以當(dāng)x=1時，取最大值，最大值為f(1)=2, 當(dāng)x=3時，取最小值，最小值為f(3)=,【拓展提升】 1.求冪函數(shù)y=x(其中是分?jǐn)?shù)形式)定義域的基本步驟 (1)把分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化為根式的形式. (2)根據(jù)根式和分式有意義的條件列不等式(組)求解.,2.利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小的三種基本方法 3.利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小時要注意的問題 比較大小的兩個實(shí)數(shù)必須在同一函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，否則無法比較大小.,【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)xm 且f(4) (1)求m的值. (2)判定f(x)的奇偶性. (3)判斷f(x)在(0，)上的單調(diào)性，并給予證明,【解析】(1)因?yàn)閒(4) 所以

14、所以m1. (2)由(1)知f(x)= 因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閤|x0， 又 所以f(x)是奇函數(shù),(3)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增. 設(shè)x1x20，則 因?yàn)閤1x20， 所以x1x20， 所以f(x1)f(x2)， 所以f(x)在(0，)上為單調(diào)遞增函數(shù),【易錯誤區(qū)】解答冪函數(shù)性質(zhì)問題的誤區(qū) 【典例】(2013遵義高一檢測)冪函數(shù)f(x)=x3m-5(mN)在(0,+)上是減函數(shù)，且f(-x)=f(x)，則m可能等于( ) A.0 B.1 C.2 D.0或1,【解析】選B.因?yàn)閒(x)=x3m-5(mN)在(0,+)上是減函數(shù)， 所以3m-50，故m 又因?yàn)閙N,所以m=0或m=1. 當(dāng)

15、m=0時，f(x)=x-5，f(-x)f(x)，不符合題意； 當(dāng)m=1時，f(x)=x-2， f(-x)=f(x)，符合題意. 綜上知，m=1.,【類題試解】已知冪函數(shù) 在區(qū)間(0,+)上 是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為( ) A.3 B.2 C.2或3 D.-2或-3 【解析】選A.因?yàn)楹瘮?shù) 是冪函數(shù)， 所以m2-5m+7=1，即m2-5m+6=0,解得m=2或m=3. 當(dāng)m=2時，f(x)=x-2在(0,+)上是減函數(shù)，不符合題意； 當(dāng)m=3時，f(x)=x3在(0,+)上是增函數(shù)，符合題意. 所以m=3.,【誤區(qū)警示】,【防范措施】 1.重視冪函數(shù)單調(diào)性的分析 冪函數(shù)在(0,+)上的單調(diào)性與冪

16、函數(shù)指數(shù)的正負(fù)有密切的關(guān)系.例如本例中的冪函數(shù)在(0,+)上是減函數(shù)，所以可以分析出指數(shù)3m-50. 2.注意解題的入手點(diǎn) 解題要注意選準(zhǔn)解題的入手點(diǎn)，否則容易陷入誤區(qū).例如,解答本例要首先由單調(diào)性和mN入手，求出m所有可能的取值，然后根據(jù)f(-x)=f(x)進(jìn)行檢驗(yàn)，并確定答案.,1.下列給出的函數(shù)中，冪函數(shù)是( ) A.y=3x B.y=2x3 C.y= D.y=x3-1 【解析】選C.根據(jù)冪函數(shù)的定義可知 是冪函數(shù).,2.下列冪函數(shù)中圖象過點(diǎn)(0,0)，(1,1)，且是偶函數(shù)的是( ) A.y= B.y=x4 C.y=x-2 D.y= 【解析】選B.函數(shù)y= y= 不是偶函數(shù)，函數(shù)y=x-2是偶 函數(shù)，其圖象不過點(diǎn)(0,0).函數(shù)y=x4的圖象過點(diǎn)(0,0)，(1,1) 且是偶函數(shù).,3.已知f(x)= 若0ab1，則下列各式中正確的是( ) A. B. C. D.,