1、第四章非線性方程的解法,主要內(nèi)容,1、引言,2、二分法,3、迭代法,(1),問題的提出 (2),求解步驟,計算機處理非線性方程的基本方法,常用的計算方法,4、牛頓迭代法和弦截法,內(nèi)容3的兩個例子,引言,哪些情況下，非線性方程通常用計算機來求解？,不易用解析的方法求解，通?？捎脠D解法獲得近似解，在精確的場合則需要用數(shù)值方法,一般情況下，上述方程可寫成f(x)=0的形式,求根步驟,1.確定根的初始近似值。（粗略判斷有根范圍） 2.根的精確化（幾種方法：二分法、迭代法、牛頓迭代法、弦截法等等）,第一步驟粗略判斷有根范圍,(1) 判斷f(x)在a，b連續(xù)，且f(a)*f(b)0，且f(x0)f(xk+

2、1)0 ，則判斷根x* 在xk,xk+1內(nèi)。,例： 方程 f(x)=x3-x-1=0 ，找出有根范圍，要求范圍大小為h=0.5,(b)從x=0出發(fā)，h=0.5，判斷f(x)的符號,(c)則粗略判斷根 x* 在 1,1.5 內(nèi),(d)再利用其他方法進行精確化,二分法,基本思想,a,平分含根的區(qū)間，判斷根的位置在哪個區(qū)間 b,舍去無根的區(qū)間，再進行a的判斷 c,重復(fù)a，b過程，直到達到事先要求的精度為止,計算過程,例： 方程 f(x)=x3-2x2-4x-7=0在3,4內(nèi)的根，精確到10-4,float a,b,eps,x,f0,f; a=3;b=4;eps=0.0001; f0=f(a); wh

3、ile(1) x=(a+b)/2; f=f(x); if(f0*f0) b=x; else a=x; if(fabs(b-a)eps) printf(x=%f,a); exit(0); ,說明,1,二分法是比較常用的求解非線性方程的方法,2,優(yōu)點1：原理簡單，容易操作,3,優(yōu)點2：不存在收斂性的問題,4,缺點：速度較慢,5,特殊情況,f(x)的單調(diào)性很重要,迭代法,基本思想 1,把一般方程f(x)=0化成等價形式x=g(x)，構(gòu)造迭代式xk+1=g(xk)，k=0,1,2, 2,由近似初始值x0，得到一系列迭代值：x0,x1,x2,xk,。記為xk,xk迭代序列 g(x)迭代函數(shù),如xk收斂于

4、x*，則x*=g(x*)，即f(x*)=0?？芍獂*是方程f(x)=0的解。,這種方法稱為迭代法，又叫逐次逼近法。,例：求方程f(x)=x-10 x+2=0的一個根,解：因為f(0)0,f(x)函數(shù)連續(xù)，則0,1中必然有一個根。,將方程寫成等價形式x=lg(x+2)，構(gòu)造迭代式：xk+1=lg(xk+2)，取初始迭代值x0=1，進行迭代,則所求根為x*=0.3758,說明：這種方法有時無效。 例：本題如果選迭代式為xk+1=10 xk-2， 則：x0=1,x1=8,x2=108-2,溢出。xk不收斂，計算不出結(jié)果。,迭代法的收斂條件,計算步驟和流程圖,例：求方程x=e-x在x=0.5附近的一個根，計算精度10-3。,解：,牛頓迭代法和弦截法,牛頓迭代法 基本思想,例：求方程x=e-x在x=0.5附近的一個根，計算精度10-3。 （參考前面迭代法的例子）,迭代過程,只需3次迭代，比普通迭代法（10次）快！,有關(guān)說明,弦截法 基本思想,與牛頓法的區(qū)別： 牛頓法只用到前一步迭代的數(shù)值單點迭代法。 弦截法用到前兩步迭代的結(jié)果多點迭代法,本章小結(jié),1/4、引言,2/4、