1、1,計(jì)算方法電子教案,中南大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)與應(yīng)用軟件系,2,第二章 插值法 1 引言 2 拉格朗日插值多項(xiàng)式 3 牛頓插值多項(xiàng)式 4 分段低次插值 5 三次樣條插值 6 數(shù)值微分,3,1 引 言 1.1插值問(wèn)題的提法 在生產(chǎn)和科研中出現(xiàn)的函數(shù)是多種多樣的。常遇到這種情況：在某個(gè)實(shí)際問(wèn)題中，雖然可以斷定所考慮的函數(shù) 在區(qū)間 上存在且連續(xù)，但卻難以找到它的解析表達(dá)式，只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)得到在有限個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值（即一張函數(shù)表）。顯然，要利用這張函數(shù)表來(lái)分析函數(shù) 的性態(tài)、甚至直接求出其,4,它一些點(diǎn)上的函數(shù)值是非常困難的。在有些情況下，雖然可以寫(xiě)出函數(shù) 的解析表達(dá)式，但由于結(jié)構(gòu)相當(dāng)復(fù)雜，使

2、用起來(lái)很不方便。面對(duì)這些情況，總希望根據(jù)所得函數(shù)表（或結(jié)構(gòu)復(fù)雜的解析表達(dá)式），構(gòu)造某個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)P(x)作為 的近似。 插值法是解決此類(lèi)問(wèn)題的一種比較古老的、然而卻是目前常用的方法，它不僅直接廣泛地應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)際和科學(xué)研究中，而且也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法的基礎(chǔ)。,5,定義 設(shè)函數(shù) y = f(x) 在區(qū)間 a,b上連續(xù)，且在n+1個(gè)不同的點(diǎn) 上分別取值 ，在一個(gè)性質(zhì)優(yōu)良、便于計(jì)算的函數(shù)類(lèi) 中，求一簡(jiǎn)單函數(shù)p(x) ，使 而在其它點(diǎn) 上，作為 f(x) 的近似。稱(chēng)區(qū)間為插值區(qū)間，點(diǎn) 為插值節(jié)點(diǎn)，稱(chēng)（1.1）為 f(x)的插值條件，稱(chēng)函數(shù)類(lèi) 為插值函數(shù)類(lèi)，稱(chēng) p(x)為函數(shù)在,(1.1),6,節(jié)點(diǎn)

3、 處的插值函數(shù)。求插值函數(shù) p(x) 的方法稱(chēng)為插值法。插值函數(shù)類(lèi)的取法不同，所求得的插值函數(shù)p(x)逼近f(x)的效果就不同它的選擇取決于使用上的需要。常用的有代數(shù)多項(xiàng)式、三角多項(xiàng)式和有理函數(shù)等。 當(dāng)選用代數(shù)多項(xiàng)式作為插值函數(shù)時(shí)，相應(yīng)的插值問(wèn)題就稱(chēng)為多項(xiàng)式插值。 在多項(xiàng)式插值中，最常見(jiàn)、最基本的問(wèn)題是：求一次數(shù)不超過(guò)n的代數(shù)多項(xiàng)式,7,(1.2),使,其中 為實(shí)數(shù)。滿(mǎn)足插值條件(1.3)的多項(xiàng)式(1.2)，稱(chēng)為函數(shù)f(x) 在節(jié)點(diǎn) 處的n次插值值多項(xiàng)式。 n次插值多項(xiàng)式 的幾何意義：過(guò)曲線(xiàn)y = f(x) 上的n+1個(gè)點(diǎn) 作一條n次代數(shù)曲線(xiàn) ，作為曲線(xiàn)y = f(x) 的近似，如圖2-1。,

4、8,9,1 .2 插值多項(xiàng)式存在唯一性 由插值條件（1.3）知，插值多項(xiàng)式 的系數(shù) 滿(mǎn)足線(xiàn)性方程組 （1.4） 由線(xiàn)性代數(shù)知，線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式（記為V）是n+1階范德蒙（Vandermonde）行列式，且,10,因 是區(qū)間 上的不同點(diǎn)，上式右端乘積中的每一個(gè)因子 ，于是 ，方程組（1.4）的解存在且唯一。故有下面的結(jié)論： 定理1 若節(jié)點(diǎn) 互不相同，則滿(mǎn)足插值條件（1.3）的次插值多項(xiàng)式（1.2）存在且唯一。,11,2 拉格朗日插值多項(xiàng)式 在上一節(jié)里，我們不僅指出了插值多項(xiàng)式的存在唯一性，而且也提供了它的一種求法，即通過(guò)解線(xiàn)性方程組（1.4）來(lái)確定其系數(shù) ，但是，這種作法的計(jì)算工作量大，不

5、便于實(shí)際應(yīng)用，下面介紹幾種簡(jiǎn)便的求法。 2.1 插值基函數(shù) 先考慮一下簡(jiǎn)單的插值問(wèn)題：對(duì)節(jié)點(diǎn) 中任一點(diǎn) ,作一n次多項(xiàng)式 , 使它在該點(diǎn)上取值為1,而在其余點(diǎn) 上取值為零, 即 （2.1） （2.1）表明n個(gè)點(diǎn) 都是n次多項(xiàng)式 的零點(diǎn)，故可設(shè),12,其中 為待定系數(shù)，由條件 可得 故 (2.2) 對(duì)應(yīng)于每一節(jié)點(diǎn) ，都能求出一個(gè)滿(mǎn)足插值條件（2.1）的n次插值多項(xiàng)式（2.2），這樣，由（2.2）式可以求出n+1個(gè)n次插插多項(xiàng)式 。容易看出，這組多項(xiàng)式僅與節(jié)點(diǎn)的取法有關(guān)，稱(chēng)它們?yōu)樵趎+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上的n次基本插值多項(xiàng)式或n次插值基函數(shù)。,13,2.2 拉格朗日插值多項(xiàng)式 利用插值基函數(shù)立即可以寫(xiě)出滿(mǎn)足

6、插值條件（1.3）的n次插值多項(xiàng)式 （2.3） 事實(shí)上，由于每個(gè)插值基函數(shù) 都是n次多項(xiàng)式，故其線(xiàn)性組合（2.3）必是不高于n次的多項(xiàng)式，同時(shí)，根據(jù)條件（2.1）容易驗(yàn)證多項(xiàng)式（2.3）在節(jié)點(diǎn) 處的值為 ，因此，它就是待求的n次插值多項(xiàng)式 。 形如(2.3)的插值多項(xiàng)式稱(chēng)為拉格朗日插值多項(xiàng)式，記為 （2.4),14,作為的特例，令n=1，由（2.4）即得兩點(diǎn)插值公式 即 這是一個(gè)線(xiàn)性函數(shù)，用線(xiàn)性函數(shù) 近似代替函數(shù) ，在幾何上就是通過(guò)曲線(xiàn) 上兩點(diǎn) 作一直線(xiàn) 近似代替曲線(xiàn) (見(jiàn)圖2-2)，故兩點(diǎn)插值又名線(xiàn)性插值。 若令n=2，由（2.4）又可得常用的三點(diǎn)插值公式,（2.5）,（2.6）,（2.7）

7、,),)(,(,),)(,(,),)(,(,),)(,(,),)(,(,),)(,(,),(,1,2,0,2,1,0,2,2,1,0,1,2,0,1,2,0,1,0,2,1,0,2,x,x,x,x,x,x,x,x,y,x,x,x,x,x,x,x,x,y,x,x,x,x,x,x,x,x,y,x,L,-,-,-,-,+,-,-,-,-,+,-,-,-,-,=,15,這是一個(gè)二次函數(shù)，用二次函數(shù) 近似代替函數(shù) ，在幾何上就是通過(guò)曲線(xiàn) 上的三點(diǎn) ，作一拋物線(xiàn) 近似地代替曲線(xiàn) （圖2-3），故三點(diǎn)插值(二次插值)。 例1 已知 分別用線(xiàn)性插值和拋物插值 求 的值。,圖2-2,16,解 因?yàn)?15在100

8、和121之間，故取節(jié)點(diǎn)x0=100，x1=121相應(yīng)地有 y0=10，y1=11，于是，由線(xiàn)性插值公式（2.5）可得 故用線(xiàn)性插值求得的近似值為,圖2-3,17,18,圖2-4,19,然后再通過(guò)外循環(huán)，即令k從0到n，累加得出插值結(jié)果 。 2.3 插值余項(xiàng) 在插值區(qū)間a,b上用插值多項(xiàng)式 近似代替 ，除了在插值節(jié)點(diǎn)xi上沒(méi)有誤差外，在其它點(diǎn)上一般是存在有誤差的。若記 則 就是用 近似代替 時(shí)所產(chǎn)生的截?cái)嗾`差，稱(chēng) 為插值多項(xiàng)式 的余項(xiàng)。 關(guān)于誤差有如下定理2中的估計(jì)式。 定理2 設(shè) 在區(qū)間 上有直到n+1階導(dǎo)數(shù)， 為區(qū)間 上n+1個(gè)互異的節(jié)點(diǎn)， 為滿(mǎn)足條件:,20,的n次插值多項(xiàng)式，則對(duì)于任何

9、，有 其中 且依賴(lài)于 。 證明 由插值條件 知 ，即插值節(jié)點(diǎn)都是 的零點(diǎn)，故可設(shè) (2.10) 其中 為待定函數(shù)。下面求 ，對(duì)區(qū)間 上異于 的任意一點(diǎn) 作輔助函數(shù) 不難看出 具有如下特點(diǎn): (2.11),（2.9）,21,(2) 在 上有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，且 （2.12） 等式（2.11）表明 在 上至少有n+2個(gè)互異的零點(diǎn)，根據(jù)羅爾(Rolle)定理，在 的兩個(gè)零點(diǎn)之間 至少有一個(gè)零點(diǎn)，因此， 在 內(nèi)至少有n+1個(gè)互異的零點(diǎn)，對(duì) 再應(yīng)用羅爾定理，推得 在 內(nèi)至少有n個(gè)互異的零點(diǎn)，繼續(xù)上述討論，可推得 在 內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，若記為 ，則 于是由（2.12）式得 將它代入(2.10)即得（2.9

10、）. 對(duì)于 ，（2.9）顯然成立。,22,例2 在例1中分別用線(xiàn)性插值和拋物插值計(jì)算了的 近似值，試估計(jì)它們的截?cái)嗾`差。 解 用線(xiàn)性插值求 的近似值，其截?cái)嗾`差由插值余項(xiàng)公 式（2.9）知 現(xiàn)在x0=100，x1=121，x=115，故,23,當(dāng)用拋物插值求 的近似值時(shí)，其截?cái)嗾`差為 將 代入，即得 2.4 插值誤差的事后估計(jì)法 在許多情況下，要直接應(yīng)用余項(xiàng)公式（2.9）來(lái)估計(jì)誤差是很困難的，下面將以線(xiàn)性插值為例，介紹另一種估計(jì)誤差的方法。 設(shè) 若將用 兩點(diǎn)作線(xiàn)性插值求得 的近似值記為 ，用 兩點(diǎn)作線(xiàn)性插值所求得 的近似值記為 ，則由余項(xiàng)公式（2.9）知,24,（2.13）,假設(shè) 在區(qū)間 中變

11、化不大，將上面兩式相除，即得近似式 即 近似式（2.13）表明，可以通過(guò)兩個(gè)結(jié)果的偏差 來(lái)估計(jì)插值誤差 ，這種直接利用計(jì)算結(jié)果來(lái)估計(jì)誤差的方法，稱(chēng)為事后估計(jì)法。 例3 在例1中，用 做節(jié)點(diǎn)，算得的 近似值為 ，同樣，用 做節(jié)點(diǎn)，可算得 的另一近似值 ，（2.13）可以估計(jì)出插值結(jié)果 的誤差為:,25,3 牛頓插值多項(xiàng)式 由線(xiàn)性代數(shù)可知，任何一個(gè)不高于n次的多項(xiàng)式，都可表示成函數(shù) 的線(xiàn)性組合，即可將滿(mǎn)足插值條件 的n次多項(xiàng)式寫(xiě)成形式 其中 為待定系數(shù)。這種形式的插值多項(xiàng)式稱(chēng)為牛頓Newton插值多項(xiàng)式，我們把它記成nx,即 （3.1),26,因此，牛頓插值多項(xiàng)式 是插值多項(xiàng)式 的另一種表示形式,

12、與拉格朗日插值多項(xiàng)式相比較，不僅克服了“增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)整個(gè)計(jì)算機(jī)工作必須重新開(kāi)始”見(jiàn)例1的缺點(diǎn)，而且可以節(jié)省乘除法運(yùn)算次數(shù)。同時(shí)，在牛頓插值多項(xiàng)式中用到的差分與差商等概念，又與數(shù)值計(jì)算的其它方面有著密切的關(guān)系. 3.1 向前差分與牛頓插值公式 設(shè)函數(shù)x 在等距節(jié)點(diǎn) 處 的函數(shù)值 為已知，其中h是正常數(shù)，稱(chēng)為步長(zhǎng)，稱(chēng)兩個(gè)相鄰點(diǎn) 和 處函數(shù)值之差 為函數(shù)x在點(diǎn) 處以h為步長(zhǎng)的一階向前差分簡(jiǎn)稱(chēng)一階差分，記作 ，即 于是，函數(shù)x 在各節(jié)點(diǎn)處的一階差分依次為 又稱(chēng)一階差分的差分 為二階差分。,27,一般地，定義函數(shù) x在點(diǎn) 處的m階差分為 為了便于計(jì)算與應(yīng)用，通常采用表格形式計(jì)算差分，如 表2-1所示。

13、,表2-1,28,在等距節(jié)點(diǎn) 情況下，可以利用差分表示牛頓插值多項(xiàng)式3.1 的系數(shù)，并將所得公式加以簡(jiǎn)化。事實(shí)上，由插值條件 立即可得 再由插值條件 可得 由插值條件 可得 一般地，由插值條件 可得,29,于是，滿(mǎn)足插值條件 的插值多項(xiàng)式為 令 ,并注意到 ，則可簡(jiǎn)化為 這個(gè)用向前差分表示的插值多項(xiàng)式，稱(chēng)為牛頓向前插值公式，簡(jiǎn)稱(chēng)前插公式。它適用于計(jì)算表頭 附近的函數(shù)值。 由插值余項(xiàng)公式2.9，可得前插公式的余項(xiàng)為：,32,30,（3.3) 例4從給定的正弦函數(shù)表表2-2左邊兩列出發(fā)計(jì)算 ,并估計(jì)截?cái)嗾`差。,31,解 因?yàn)?.12介于0.1與0.2之間，故取 ，此時(shí) 。為求 , 構(gòu)造差分表22。

14、表中長(zhǎng)方形框中各數(shù)依次為 在 處的函數(shù)值和各階差分。若用線(xiàn)性插值求sin0.12的近似值，則由前插公式3.2立即可得 用二次插值得 用三次插值得：,32,因 很接近，且由差分表22可以看出，三階差分接近于常數(shù)（即 接近于零），故取 作為 的近似值，此時(shí)由余項(xiàng)公式（3.3）可知其截?cái)嗾`差 3.2 向后差分與牛頓向后插值公式 在等距節(jié)點(diǎn) 下， 除了向前差分外，還可引入向后差分和中心差分，其定義和記號(hào)分別如下： 在點(diǎn) 處以h為步長(zhǎng)的一階向后差分和m階向后差分分別為,33,在 點(diǎn)處以為步長(zhǎng)的一階中心差分和m階中心差分分別為 其中 各階向后差分與中心差分的計(jì)算，可通過(guò)構(gòu)造向后差分表與中心差分表來(lái)完成參見(jiàn)

15、表2。 利用向后差分，可簡(jiǎn)化牛頓插值多項(xiàng)式（.1），導(dǎo)出與牛頓前插公式3.2類(lèi)似的公式，即，若將節(jié)點(diǎn)的排列次序看作 ，那么.1)可寫(xiě)成,34,根據(jù)插值條件 , 可得到一個(gè)用向后差分表示的插值多項(xiàng)式 其中t0，插枝多項(xiàng)式(3.4)稱(chēng)為牛頓向后插值公式，簡(jiǎn)稱(chēng)后插公式。它適用于計(jì)算表尾 附近的函數(shù)值。由插值余項(xiàng)公式（.9），可寫(xiě)出后插公式的余項(xiàng),(3.4),35,(3.5) 例已知函數(shù)表同例，計(jì)算 ，并估算截?cái)嗾`差。 解因?yàn)?58位于表尾 附近，故用后插公式（3.4）計(jì)算sin(0.58)的近似值。 一般地為了計(jì)算函數(shù)在 處的各階向后差分，應(yīng)構(gòu)造向后差分表。但由向前差分與向后差分的定義可以看出，對(duì)同

16、一函數(shù)表來(lái)說(shuō)，構(gòu)造出來(lái)的向后差分表與向前差分表在數(shù)據(jù)上完全相同。因此，表-用“”線(xiàn)標(biāo)出的各數(shù)依次給出了 在 處的函數(shù)值和向后差分值。因三階向后差分接近于常數(shù)，故用三次插值進(jìn)行計(jì)算，且 ，于是由后插公式（3.4）得,36,因?yàn)樵谡麄€(gè)計(jì)算中，只用到四個(gè)點(diǎn) 上的函數(shù)值，故由余項(xiàng)公式（.5）知其截?cái)嗾`差,37,3.3 差商與牛頓基本插值多項(xiàng)式 當(dāng)插只節(jié)點(diǎn)非等距分布是，就不能引入差分來(lái)簡(jiǎn)化牛頓插值多項(xiàng)式，此時(shí)可用差商這個(gè)新概念來(lái)解決。 設(shè)函數(shù) 在一串互異的點(diǎn) 上的值依次為 。我們稱(chēng)函數(shù)值之差 與自變量之差 的比值 為函數(shù) 關(guān)于 點(diǎn)的一階差商，記作 例如,38,稱(chēng)一階差商的差商 為函數(shù) 關(guān)于點(diǎn) 的二階差商

17、（簡(jiǎn)稱(chēng)二階差商），記 作 ，例如 一般地，可通過(guò)函數(shù) 的m-1階差商定義的m階差商如下：,39,差商計(jì)算也可采用表格形式（稱(chēng)為差商表），如表23所示， 表23,40,差商具有下列重要性質(zhì)（證明略）： （1） 函數(shù) 的m階差商 可由函數(shù)值 的線(xiàn)性組合表示，且 （2） 差商具有對(duì)稱(chēng)性，即任意調(diào)換節(jié)點(diǎn)的次序，不影響差商的值。 例如 （）當(dāng) 在包含節(jié)點(diǎn) 的某個(gè)區(qū)間上存在時(shí)， 在 之間必有一點(diǎn) 使,41,（）在等距節(jié)點(diǎn) 情況下，可同時(shí)引入 階差分與差商，且有下面關(guān)系： 引入差商的概念后，可利用差商表示牛頓插值多項(xiàng)式（.1）的系數(shù)。事實(shí)上，從插值條件出發(fā)，可以象確定前插公式中的系數(shù)那樣，逐步地確定（.1）

18、中的系數(shù) 故滿(mǎn)足插值條件 的n次插值多項(xiàng)式為,42,（3.6） （3.6）稱(chēng)為牛頓基本插值多項(xiàng)式，常用來(lái)計(jì)算非等距節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值。 例 試用牛頓基本插值多項(xiàng)式按例要求重新計(jì)算 的近似值。 解 先構(gòu)造差商表。 由上表可以看出牛頓基本插值多項(xiàng)式(3.6)中各系數(shù)依次為,43,故用線(xiàn)性插值所得的近似值為 用拋物插值所求得的近似值為 所得結(jié)果與例1相一致。比較例1和例6的計(jì)算過(guò)程可以看出，與拉格朗日插值多項(xiàng)式相比較，牛頓插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是明顯的。 由插值多項(xiàng)式的存在唯一性定理知，滿(mǎn)足同一組插值條件的拉格朗日插值多項(xiàng)式（2.4）與牛頓基本插值多項(xiàng)式（3.6）是同一多項(xiàng)式。因此，余項(xiàng)公式（2.9）也適用于

19、牛頓插值。但是在實(shí)際計(jì)算中，有時(shí)也用差商表示的余項(xiàng)公式,44,（3.7） 來(lái)估計(jì)截?cái)嗾`差（證明略）。 注意： 上式中的n+1階商差 與 的值有關(guān)，故不 能準(zhǔn)確地計(jì)算出 的精確值，只能對(duì)它作一 種估計(jì)。例，當(dāng)四階差商變化不大時(shí)，可用 近似代替 。,45,4 分段低次插值 例2、例4表明，適當(dāng)?shù)靥岣卟逯刀囗?xiàng)式的次數(shù)，有可能提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確程度。但是決不可由此提出結(jié)論，認(rèn)為插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高越好。例如，對(duì)函數(shù) 先以 為節(jié)點(diǎn)作五次插值多項(xiàng)式 ，再以 為節(jié)點(diǎn)作十次插值多項(xiàng)式 ，并將曲 線(xiàn) 描 繪在同一坐標(biāo)系中，如圖2-5所示。,46,-1 0 1 x,y 1,y=1/(1+25x2),y=P5(x)

20、,圖2-5,y=P10(x),47,由上圖可看出，雖然在局部范圍中，例如在區(qū)間-0.2 ，0.2中， 比 較好地逼近 ,但從整體上看， 并非處處都比 較好地逼近 ，尤其是在區(qū)間-1 ，1的端點(diǎn)附近。進(jìn)一步的分析表明，當(dāng)n增大時(shí)，該函數(shù)在等距接點(diǎn)下的高次插值多項(xiàng)式 ，在-1 ，1兩端會(huì)發(fā)生激烈的振蕩。這種現(xiàn)象稱(chēng)為龍格（Runge)現(xiàn)象。這表明，在大范圍內(nèi)使用高次插值，逼近的效果可能不理想的。 另一方面，插值誤差除來(lái)自截?cái)嗾`差外，還來(lái)自初始數(shù)據(jù)的誤差和計(jì)算過(guò)程中的舍入誤差。插值次數(shù)越高，計(jì)算工作越大，積累誤差也可能越大。 因此，在實(shí)際計(jì)算中，常用分段低次插值進(jìn)行計(jì)算 ，即把整個(gè)插值區(qū)間分成若干小區(qū)

21、間，在每個(gè)小區(qū)間上進(jìn)行低次插值。 例如，當(dāng)給定n+1個(gè)點(diǎn) 上的函數(shù)值 后，若要計(jì)算點(diǎn) 處函數(shù)值 的近似值，可先選取兩個(gè)節(jié)點(diǎn) 使 然后在小區(qū)間 上作線(xiàn)性插值，即得,48,（4.1） 這種分段低次插值叫分段線(xiàn)性插值。在幾何上就是用折線(xiàn)代替曲線(xiàn)，如圖2-6所示。故分段線(xiàn)性插值又稱(chēng)折線(xiàn)插值.,x,y=f(x),49,類(lèi)似地，為求 的近似值，也可選取距點(diǎn) 最近的三個(gè)節(jié)點(diǎn) 進(jìn)行二次插值，即取 這種分段低次插值叫分段二次插值。在幾何上就是用分段拋物線(xiàn)代替曲線(xiàn)，故分段二次插值又稱(chēng)分段拋物插值。為了保證 是距點(diǎn) 最近的三個(gè)節(jié)點(diǎn)，（4.2）中的 可通過(guò)下面方法確定:,（4.2）,50,51,5 三次樣條插值 分段

22、低次插值雖然具有計(jì)算簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性好、收斂性有保證且易在電子計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，但它只能保證各小段曲線(xiàn)在連接點(diǎn)上的連續(xù)性，卻不能保證整條曲線(xiàn)的光滑性(如圖2-6中的折線(xiàn))，這就不能滿(mǎn)足某些工程技術(shù)上的要求。從六十年代開(kāi)始，首先由于航空、造船等工程設(shè)計(jì)的需要而發(fā)展起來(lái)的,52,所謂樣條（Spline)的插值方法，既保留了分段低次插值多項(xiàng)式的各種優(yōu)點(diǎn)，又提高了插值函數(shù)的光滑性。今天，樣條插值方法已成為數(shù)值逼近的一個(gè)極其重要的分支，在許多領(lǐng)域里得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。 本節(jié)介紹應(yīng)用最廣泛且具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的三次樣條插值函數(shù)。 5.1 三次樣條插值函數(shù)的定義 對(duì)于給定的函數(shù)表,53,其中 ，若 函數(shù) 滿(mǎn)足

23、: （1） 在每個(gè)子區(qū)間 上是不高于三次的多項(xiàng)式； （2） 在a,b上連續(xù)； （3）滿(mǎn)足插值條件,54,則稱(chēng) 為函數(shù) 關(guān)于節(jié)點(diǎn) 的三次樣條插值。 5.2 邊界條件問(wèn)題的提出與類(lèi)型 注：?jiǎn)慰恳粡埡瘮?shù)表是不能完全確定一個(gè)三次樣條插值函數(shù)的。 事實(shí)上，由條件（1）知，三次樣條插值函數(shù) 是一個(gè)分段三次多項(xiàng)式， 若用 表示它在第 個(gè)子區(qū)間 上的表達(dá)式，則 形如：,55,這里有四個(gè)待定系數(shù) 。子區(qū)間共有n個(gè)，確定 需要確定4n個(gè)待定系數(shù)。 另一方面，要求分段三次多項(xiàng)式 及其導(dǎo)數(shù) 在整個(gè)插值區(qū)間a,b上連續(xù)，只要在各子區(qū)間的端點(diǎn) 連續(xù)即可。故由條件（2），（3）可得待定系數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的4n-2個(gè)方程為：,56,

24、(5.1),由此可以看出，要確定4n個(gè)待定系數(shù)還缺少兩個(gè)條件，這兩個(gè)條件通常在插值區(qū)間a,b的邊界點(diǎn)a,b處給出，稱(chēng)為邊界條件。邊界條件的類(lèi)型很多，常見(jiàn)的有： （1）給定一階導(dǎo)數(shù)值 （2）給定二階導(dǎo)數(shù)值,57,特別地， 稱(chēng)為自然邊界條件，滿(mǎn)足自然邊界條件的三次樣條插值函數(shù)稱(chēng)為自然樣條插值函數(shù)。 （3）當(dāng) 是周期為 的函數(shù)時(shí)，則要求 及其導(dǎo)數(shù)都是以 為周期的函數(shù)，相應(yīng)的邊界條件為,58,5.3 三次樣條插值函數(shù)的求法 雖然可以利用方程組（5.1）和邊界條件求出所有待定系數(shù) aij 從而得到三次樣條插值函數(shù) 在各個(gè)子區(qū)間 的表達(dá)式 。但是，這種做法的計(jì)算工作量大，不便于實(shí)際應(yīng)用。下面介紹一種簡(jiǎn)便的

25、方法。 設(shè)在節(jié)點(diǎn) 處 的二階導(dǎo)數(shù)為,59,因?yàn)樵谧訁^(qū)間 上 是不高于三次的多項(xiàng)式，其二階導(dǎo)數(shù)必是線(xiàn)性函數(shù)（或常數(shù)）。于是，有 記 則有,60,連續(xù)積分兩次得：,(5.2),其中 為積分常數(shù)。利用插值條件,易得,61,將它們代入（5.2） ，整理得,(5.3),62,綜合以上討論可知，只要確定 這n+1個(gè)值，就可定出三次樣條插值函數(shù)。 為了求出 ，利用一階函數(shù)在子區(qū)間連接點(diǎn)上連續(xù)的條件,即,（5.4）,由（5.3）可得,63,(5.5),故,(5.6),將（5.5）中的 改為 ，即得 在子區(qū)間 上的表達(dá)式 ，并由此得：,64,將(5.6),(5.7)代入(5.4)整理后得,(5.7),兩邊同乘以

26、 ，即得方程組,65,若記,(5.8),則所得方程組可簡(jiǎn)寫(xiě)成,66,即,(5.9),這是一個(gè)含有 n+1個(gè)未知數(shù)、n-1 個(gè)方程的線(xiàn)性方程組。要確定 的值，還需用到邊界條件。在第 (1) 種邊界條件下，由于,和,67,已知，可以得到包含 另外兩個(gè)線(xiàn)性方程。由(5.5)知， 在子區(qū)間 上的導(dǎo)數(shù)為,故由條件 立即可得,68,即,(5.10),同理，由條件 可得,（5.11）,將(5.9)、(5.10)、(5.11)合在一起，即得確定 的線(xiàn)性方程組：,69,(5.12),其中,(5.13),70,已知，在方程組(5.13)中實(shí)際上只包含有n-1個(gè)未知數(shù) ，并且可以改寫(xiě)成,在第(2) 種邊界條件下，由

27、,(5.14),71,在第(3)種邊界條件下，由 直接可得,(5.15),由條件 可得,72,注意到 和 ，上式整理后得,若記,73,則所得方程可簡(jiǎn)寫(xiě)成,(5.16),將 (5.9) 、(5.15) 、(5.16) 合在一起，即得確定 的線(xiàn)形方程組：,(5.17),74,利用線(xiàn)性代數(shù)知識(shí)，可以證明方程組 (5.12) 、(5.14) 及(5.17)的系數(shù)矩陣都是非奇異的，從而都有唯一確定的解。 針對(duì)不同的邊界條件，解相應(yīng)的方程組(5.12) 、 (5.14)或(5.17) ，求出 的值，將它們代入（5.3），就可以得到 在各子區(qū)間上的表達(dá)式。綜上分析，有,75,定理3 對(duì)于給定的函數(shù)表,滿(mǎn)足第

28、（1）或第（2）或第（3）種邊界條件的三次樣條插值函數(shù)是存在且唯一的。 三次樣條插值函數(shù) 的具體求解過(guò)程，在下面例子中給出了詳細(xì)說(shuō)明。,76,例 7 已知函數(shù) 的函數(shù)值如下,在區(qū)間 上求三次樣條插值函數(shù) ，使它滿(mǎn)足邊界條件：,解 先根據(jù)給定數(shù)據(jù)和邊界條件算出,，寫(xiě)出確定 的線(xiàn)性方程組。,77,在本例中，給出的是第（1）種邊界條件，確定 的線(xiàn)性方程組形如（5.12） 。由所給函數(shù)表知,于是由 的算式(5.8) 知,78,由第（1）邊界條件下 與 的計(jì)算公式（5.13）知,故確定 的方程組為,（5.18）,79,然后解所得方程組，得到 在各節(jié)點(diǎn) 上的值 。在本例中，解（5.18）得,最后將所得 代

29、入（5.3），即得 在各子區(qū)間上的表達(dá)式 。由（5.3）知， 在 上的表達(dá)式為,80,在本例中，將,代入，整理后得,同理可得,81,故所求三次樣條插值函數(shù)為,第（1）邊界條件下計(jì)算三次樣條插值函數(shù)S（x）在 x 處函數(shù)值 的程序框圖如圖2-8,82,圖2-8,83,上述求三次樣條插值函數(shù)的方法，其基本思路和特點(diǎn)是: 先利用一階導(dǎo)數(shù) 在內(nèi)節(jié)點(diǎn) 上的連續(xù)性以及邊界條件，列出確定二階導(dǎo)數(shù) 的線(xiàn)性方程組（在力學(xué)上稱(chēng)為三彎矩方程組），并由此解出 ，然后用 來(lái)表達(dá) 。,84,通過(guò)別的途徑也可求三次樣條插值函數(shù)。例如，可以先利用二階導(dǎo)數(shù)在內(nèi)節(jié)點(diǎn)上的連續(xù)性以及邊界條件，列出確定一 階導(dǎo)數(shù) 的線(xiàn)性方程組（在力學(xué)

30、上稱(chēng)為三轉(zhuǎn)角方程組），并由此解出 ，然后用 來(lái)表達(dá) 。在有些情況下，這種表達(dá)方法與前者相比較，使用起來(lái)更方便1。,85,6 數(shù)值微分 作為多項(xiàng)式插值的應(yīng)用，本節(jié)介紹兩種求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的近似值的方法。 6.1 利用插值多項(xiàng)式求導(dǎo)數(shù) 若函數(shù) 在節(jié)點(diǎn) 處的函數(shù)值已知，就可作 的n次插值多項(xiàng)式 ，并用 近似代替 ，即,(6.1),86,由于 是多項(xiàng)式，容易求導(dǎo)數(shù)，故對(duì)應(yīng)于 的每一個(gè)插值多項(xiàng)式 ，就易建立一個(gè)數(shù)值微分公式 這樣建立起來(lái)的數(shù)值微分公式，統(tǒng)稱(chēng)為插值型微分公式。 必須注意，即使 與 的近似程度非常好，導(dǎo)數(shù) 與 在某些點(diǎn)上的差別仍舊可能很大，因而，,87,在應(yīng)用數(shù)值微分公式時(shí)，要重視對(duì)誤差的分析。由

31、插值余項(xiàng)公式（2.9）知,（6.2）,由于式中 是 的未知函數(shù)，故 時(shí)，無(wú)法利用上式誤差 作出估計(jì)。但是，如果我們限定求某個(gè)節(jié)點(diǎn) xi 處的導(dǎo)數(shù)值，那么（6.2）右端第二項(xiàng)之值應(yīng)為零，此時(shí)有,88,其中在 之間。該式右端由兩部分，即導(dǎo)數(shù)的近似值和相應(yīng)的截?cái)嗾`差組成。,（6.3）,若將它寫(xiě)成帶余項(xiàng)的數(shù)值微分公式，即,89,由（6.3), 作為特例，當(dāng)n=1時(shí)，插值節(jié)點(diǎn)為 ，記 得帶余式的兩點(diǎn)公式,（6.4）,前一公式的實(shí)質(zhì)是用 在 處的向前差商（分子是向前差分的差商）作為,90,的近似值，后一公式則是用 在 處的向后差商作為 的近似值。 當(dāng)n=2且節(jié)點(diǎn)為 時(shí),由(6.3)可得帶余項(xiàng)的三點(diǎn)公式,(

32、6.5),91,中間一個(gè)公式的實(shí)質(zhì)是用 在 處的中心差商作為 的近似值，它與前后兩公式相比較，其優(yōu)越性是顯然的。 用插值多項(xiàng)式 作為 的近似函數(shù)，還可用來(lái)建立高階的的數(shù)值微分公式。例如帶余式的二階三點(diǎn)公式,(6.6),92,6.2 利用三次樣條插值函數(shù)求導(dǎo) 由5知，對(duì)于給定函數(shù)表,和適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，可以寫(xiě)出三次樣條插值公式 ， 并用 近似代替 , 即,93,由于 是一個(gè)分段三次多項(xiàng)式，在各子區(qū)間 上容易求出導(dǎo)數(shù)，故可建立數(shù)值微分公式,(6.7),(6.8),94,例3 利用函數(shù) 在節(jié)點(diǎn) 上的函數(shù)值和邊界條件 S(1)=0.0740, S(1)=0.0740 構(gòu)造三次樣條插值公式 ，并用它來(lái)計(jì)算

33、 和 在下列點(diǎn)xk= 1+0.02k (k=0,1,2, ,100)處的近似值。計(jì)算結(jié)果如表2-4。,95,S(x),S(x),f(x),f(x),-1.00,0.03846,0.074,0.03846,0.07639,-0.92,0.04513,0.09369,0.04513,0.09367,-0.84,0.05365,0.1209,0.05365,0.1209,-0.76,0.06476,0.1594,0.06477,0.1594,-0.68,0.07961,0.2125,0.07962,0.2155,-0.60,0.1000,0.3000,0.1000,0.3000,-0.52,0.1289,0.4319,0.1289,0.4318,-0.44,0.1711,0.6457,0.1712,0.6451,-0.36,0.2359,1.003,0.2358,1.001,-0.28,0.3375,1.579,0.3378,1.598,-0.20,0.5000,2.563,0.5000,2.500,-0.12,0.7372,3.157,0.1353,3.244,-0.04,0.9594