1、9.3圓的方程,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),課時(shí)作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),圓的定義與方程,知識梳理,d2e24f0,(a，b),r,定點(diǎn),定長,1.確定圓的方程的方法和步驟 確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為 (1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程； (2)根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或d、e、f的方程組； (3)解出a、b、r或d、e、f代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程. 2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2，點(diǎn)m(x0，y0),(1)點(diǎn)在圓上：； (2)點(diǎn)在圓外：； (3)點(diǎn)在圓內(nèi)：.,(x0a)2(y0b)2r2,(x0a)2

2、(y0b)2r2,(x0a)2(y0b)2r2,(4)方程x22axy20一定表示圓.() (5)若點(diǎn)m(x0，y0)在圓x2y2dxeyf0外，則x y dx0ey0f0.(),判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉啊? (1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.() (2)已知點(diǎn)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則以ab為直徑的圓的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.() (3)方程ax2bxycy2dxeyf0表示圓的充要條件是ac0，b0，d2e24af0.(),1.(教材改編)將圓x2y22x4y10平分的直線是 a.xy10 b.xy30 c.xy10 d.xy30,

3、考點(diǎn)自測,答案,解析,圓心是(1,2)，所以將圓心坐標(biāo)代入檢驗(yàn)選項(xiàng)c滿足.,2.方程x2y2mx2y30表示圓，則m的范圍是,答案,解析,3.(2015北京)圓心為(1,1)且過原點(diǎn)的圓的方程是 a.(x1)2(y1)21 b.(x1)2(y1)21 c.(x1)2(y1)22 d.(x1)2(y1)22,答案,解析,圓的方程為(x1)2(y1)22.,4.(教材改編)圓c的圓心在x軸上，并且過點(diǎn)a(1,1)和b(1,3)，則圓c的方程為_.,答案,解析,(x2)2y210,設(shè)圓心坐標(biāo)為c(a,0)， 點(diǎn)a(1,1)和b(1,3)在圓c上， |ca|cb|，,解得a2， 圓心為c(2,0)，,

4、圓c的方程為(x2)2y210.,5.(2016浙江)已知ar，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圓，則圓心坐標(biāo)是_，半徑是_.,答案,解析,(2，4),由已知方程表示圓，則a2a2， 解得a2或a1. 當(dāng)a2時(shí)，方程不滿足表示圓的條件，故舍去. 當(dāng)a1時(shí)，原方程為x2y24x8y50， 化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y4)225， 表示以(2，4)為圓心，半徑為5的圓.,5,題型分類深度剖析,題型一求圓的方程,(x2)2y29,答案,解析,因?yàn)閳Ac的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)c(a,0)，且a0，,所以圓c的方程為(x2)2y29.,答案,解析,由題意知圓過(4,0)，(0,2)，(0，2

5、)三點(diǎn)，(4,0)，(0，2)兩點(diǎn)的垂直平分線方程為y12(x2)，,思維升華,(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程. (2)待定系數(shù)法 若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值； 若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于d、e、f的方程組，進(jìn)而求出d、e、f的值.,跟蹤訓(xùn)練1 (2016株洲一模)圓心在直線2xy70上的圓c與y軸交于a(0，4)，b(0，2)兩點(diǎn)，則圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為 a.(x2)2(y3)25 b.(x2)2(y3)25 c.(x

6、2)2(y3)25 d.(x2)2(y3)25,答案,解析,設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2，,故圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y3)25.,題型二與圓有關(guān)的最值問題,例2已知點(diǎn)(x，y)在圓(x2)2(y3)21上.求xy的最大值和最小值.,解答,幾何畫板展示,設(shè)txy，則yxt，t可視為直線yxt在y軸上的截距， xy的最大值和最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)在y軸上的截距. 由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，,的最大值和最小值就是與該圓有公共點(diǎn)的過原點(diǎn)的直線斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)的斜率.,引申探究,解答,幾何畫板展示,

7、求它的最值可視為求點(diǎn) (x，y)到定點(diǎn)(1, 2)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為圓心(2，3)到定點(diǎn)(1,2)的距離與半徑的和或差.又圓心到定點(diǎn)(1,2)的距離為 ，,解答,思維升華,與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略 (1)與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法.一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解. (2)與圓上點(diǎn)(x，y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法.形如u 型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)(a，b)和點(diǎn)(x，y)的直線的斜率的最值問題；形如taxby型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問題；形如(xa)2(yb)2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)(a，b)的距離平方的

8、最值問題.,跟蹤訓(xùn)練2 已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2y24x10.求：,解答,如圖，方程x2y24x10表示以點(diǎn)(2,0)為圓心，以 為半徑的圓.,(2)yx的最小值；,解答,設(shè)yxb，則yxb， 當(dāng)且僅當(dāng)直線yxb與圓切于第四象限時(shí)，在y軸上的截距b取最小值，,(3)x2y2的最大值和最小值.,解答,x2y2是圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方，故連接oc， 與圓交于b點(diǎn)，并延長交圓于c，則,題型三與圓有關(guān)的軌跡問題,例3(2017濰坊調(diào)研)已知圓x2y24上一定點(diǎn)a(2,0)，b(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，p，q為圓上的動(dòng)點(diǎn). (1)求線段ap中點(diǎn)的軌跡方程；,解答,設(shè)ap的中點(diǎn)為m(x，y)， 由中點(diǎn)坐

9、標(biāo)公式可知，p點(diǎn)坐標(biāo)為(2x2,2y). 因?yàn)閜點(diǎn)在圓x2y24上， 所以(2x2)2(2y)24， 故線段ap中點(diǎn)的軌跡方程為(x1)2y21.,幾何畫板展示,(2)若pbq90，求線段pq中點(diǎn)的軌跡方程.,解答,設(shè)pq的中點(diǎn)為n(x，y)，在rtpbq中， |pn|bn|. 設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接on，則onpq， 所以|op|2|on|2|pn|2|on|2|bn|2， 所以x2y2(x1)2(y1)24. 故線段pq中點(diǎn)的軌跡方程為x2y2xy10.,幾何畫板展示,思維升華,求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法 (1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程； (2)定

10、義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程； (3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程； (4)代入法，找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等.,跟蹤訓(xùn)練3(2016天津模擬)設(shè)定點(diǎn)m(3,4)，動(dòng)點(diǎn)n在圓x2y24上運(yùn)動(dòng)，以om、on為兩邊作平行四邊形monp，求點(diǎn)p的軌跡.,解答,幾何畫板展示,如圖所示，設(shè)p(x，y)，n(x0，y0)，,由于平行四邊形的對角線互相平分，,又n(x3，y4)在圓上，故(x3)2(y4)24. 因此所求軌跡為圓：(x3)2(y4)24，,典例在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線yx26x1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓c上，求圓c的方程.,利用幾何性質(zhì)巧設(shè)方程求半徑,思想與方法

11、系列19,本題可采用兩種方法解答，即代數(shù)法和幾何法. (1)一般解法(代數(shù)法)：可以求出曲線yx26x1與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)圓的方程為一般式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求解析式. (2)巧妙解法(幾何法)：利用圓的性質(zhì)，知道圓心一定在圓上兩點(diǎn)連線的垂直平分線上，從而設(shè)圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式，簡化計(jì)算，顯然幾何法比代數(shù)法的計(jì)算量小，因此平時(shí)訓(xùn)練多采用幾何法解題.,規(guī)范解答,思想方法指導(dǎo),解一般解法(代數(shù)法)曲線yx26x1與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，與x軸的交點(diǎn)為(32 ，0)，(32 ，0)，設(shè)圓的方程是x2y2dxeyf0(d2e24f0)，,故圓的方程是x2y26x2y10.,巧妙解法(幾何法)曲線yx26x

12、1與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，與x軸的交點(diǎn)為(32 ，0)，(32 ，0).,故可設(shè)c的圓心為(3，t)，則有32(t1)2(2 )2t2，解得t1.,所以圓c的方程為(x3)2(y1)29.,課時(shí)作業(yè),1.(2016南昌模擬)已知點(diǎn)a(1，1)，b(1,1)，則以線段ab為直徑的圓的方程是 a.x2y22 b.x2y c.x2y21 d.x2y24,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,ab的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，,圓的方程為x2y22.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016昆明一模)方程|x|1 所表示的曲線是 a.一個(gè)

13、圓 b.兩個(gè)圓 c.半個(gè)圓 d.兩個(gè)半圓,答案,解析,故原方程表示兩個(gè)半圓.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2017福州質(zhì)檢)設(shè)圓的方程是x2y22ax2y(a1)20，若0a1，則原點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是 a.原點(diǎn)在圓上 b.原點(diǎn)在圓外 c.原點(diǎn)在圓內(nèi) d.不確定,答案,解析,將圓的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(y1)22a，因?yàn)?a1， 所以(0a)2(01)22a(a1)20，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.點(diǎn)p(4，2)與圓x2y24上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是 a.(x2)2(y1)21b.(x2)2(y1)24

14、 c.(x4)2(y2)24d.(x2)2(y1)21,答案,解析,設(shè)圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.已知圓m的圓心在x軸上，且圓心在直線l1：x2的右側(cè)，若圓m截直線l1所得的弦長為2 ，且與直線l2：2x y40相切，則圓m的方程為,答案,解析,由已知，可設(shè)圓m的圓心坐標(biāo)為(a,0)，a2，,a.(x1)2y24 b.(x1)2y24 c.x2(y1)24 d.x2(y1)24,所以圓m的方程為(x1)2y24.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.(2016漢中模擬)若圓x2y22x6y5a0關(guān)

15、于直線yx2b成軸對稱圖形，則ab的取值范圍是 a.(，4) b.(，0) c.(4，) d.(4，),答案,解析,圓的方程可化為(x1)2(y3)2105a， 可知圓心為(1，3)，且105a0，即a2. 圓關(guān)于直線yx2b對稱， 點(diǎn)(1，3)在直線上，則b2. ab2a4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2016南昌模擬)若圓c經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)(4,0)，且與直線y1相切， 則圓c的方程是_.,答案,解析,因?yàn)閳A的弦的垂直平分線必過圓心且圓經(jīng)過點(diǎn)(0,0)和(4,0)，所以設(shè)圓心為(2，m).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,

16、8.過點(diǎn)p(1,1)的直線，將圓形區(qū)域(x，y)|x2y24分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為_.,答案,解析,xy20,當(dāng)圓心與點(diǎn)p的連線和過點(diǎn)p的直線垂直時(shí)，符合條件.圓心o與點(diǎn)p連線的斜率k1， 所求直線方程為y1(x1)，即xy20.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.圓心在直線x2y0上的圓c與y軸的正半軸相切，圓c截x軸所得弦的長為2 ，則圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.,答案,解析,(x2)2(y1)24,設(shè)圓c的圓心為(a，b)(b0)， 由題意得a2b0，且a2( )2b2， 解得a2，b1. 所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24.

17、,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.(2016深圳模擬)已知兩點(diǎn)a(1,0)，b(0,2)，點(diǎn)p是圓(x1)2y21 上任意一點(diǎn)，則pab面積的最大值與最小值分別是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.已知圓c經(jīng)過p(4，2)，q(1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段的長為4 ，半徑小于5. (1)求直線pq與圓c的方程；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由題意知直線pq的方程為xy20. 設(shè)圓心c(a，b)，半徑為r，,即y

18、x1，所以ba1.,知r212a2， 可得(a1)2(b3)212a2， 由得a1，b0或a5，b4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,當(dāng)a1，b0時(shí)，r213，滿足題意， 當(dāng)a5，b4時(shí)，r237，不滿足題意. 故圓c的方程為(x1)2y213.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)若直線lpq，且l與圓c交于點(diǎn)a，b，且以線段ab為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的方程.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,設(shè)直線l的方程為yxm(m2)， a(x1，mx1)，b(x2，mx2).,x1x2(mx1)(mx2)0， 化簡得2x1x2m(x1x2)m20.,2x22(m1)xm212