1、Ch.2 控制系統(tǒng)的狀態(tài) 變量法建模,根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型(1/5),2.2 根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型 建立被控對象的數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行系統(tǒng)分析和綜合的第一步,是控制理論和工程的基礎(chǔ). 上一節(jié)討論了由電容和電感兩類儲能元件以及電阻所構(gòu)成的電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立，其依據(jù)為各電氣元件的物理機(jī)理及電網(wǎng)絡(luò)分析方法. 這種根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理建立對象的數(shù)學(xué)模型的方法稱為機(jī)理建模. 機(jī)理建模主要根據(jù)系統(tǒng)的物料和能量(電壓、電流、力和熱量等)在儲存和傳遞中的動(dòng)態(tài)平衡關(guān)系,以及各環(huán)節(jié)、元件的各物理量之間的關(guān)系,如電感的電壓和電流滿足的動(dòng)態(tài)關(guān)系.,根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型(2/5),在實(shí)際工程

2、系統(tǒng)中,許多過程和元件都具有儲存和傳遞能量 (或信息)的能力。例如, 機(jī)械動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的彈簧和運(yùn)動(dòng)中的質(zhì)量體都儲存有能量并能通過某種形式傳遞; 化工熱力學(xué)系統(tǒng)中的物質(zhì)中的熱量的儲存與傳遞; 化工反應(yīng)系統(tǒng)中的反應(yīng)物質(zhì)的物料傳遞和平衡的信息. 對這些系統(tǒng),根據(jù)其物理和化學(xué)變化的機(jī)理,由相應(yīng)描述這些變化的物理和化學(xué)的定理、定律和規(guī)律等,可得系統(tǒng)各物理量之間所滿足的動(dòng)靜態(tài)關(guān)系式.因此,在選擇適宜的狀態(tài)變量后,可建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型.,根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型(3/5),建立動(dòng)態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的主要機(jī)理/依據(jù)有: 電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中回路和節(jié)點(diǎn)的電壓和電流平衡關(guān)系,電感和電容等儲能元件的電壓和電流之間的動(dòng)態(tài)

3、關(guān)系. 機(jī)械動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的牛頓第二定律,彈性體和阻尼體的力與位移、速度間的關(guān)系. 對旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),則相應(yīng)的為轉(zhuǎn)矩、角位移和角速度. 化工熱力學(xué)系統(tǒng)中的熱量的傳遞與儲存,化工反應(yīng)工程系統(tǒng)中參加反應(yīng)的物料的傳遞和平衡關(guān)系. 經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的投入產(chǎn)出方程。,根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型(4/5),建立狀態(tài)空間模型的關(guān)鍵在于狀態(tài)變量的選取，它是建立狀態(tài)空間模型的前提 狀態(tài)變量的主要選取辦法 系統(tǒng)儲能元件的輸出 系統(tǒng)輸出及其輸出變量的各階導(dǎo)數(shù) 上述狀態(tài)變量的數(shù)學(xué)投影（使系統(tǒng)狀態(tài)方程成為某種標(biāo)準(zhǔn)形式的變量）,根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型(5/5),下面通過常見的 剛體力學(xué)系統(tǒng)、 流體力學(xué)系統(tǒng)、 典型化工(熱工)過

4、程 機(jī)電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng) 討論如何建立狀態(tài)空間模型.,剛體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(1/4),1. 剛體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 圖2-7表示由彈簧、質(zhì)量體、阻尼器組成的剛體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的物理模型. 試建立以外力u(t)為系統(tǒng)輸入,質(zhì)量體位移y(t)為輸出的狀態(tài)空間模型.,剛體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(2/4),解 對許多實(shí)際系統(tǒng),由于對系統(tǒng)的各種物理量的初始值或絕對值難于了解,一般將對物理量僅考慮在其相對于初始狀況之后的相對值。 對本例的剛體力學(xué)系統(tǒng),一般先假設(shè)在外力u(t)作用于小車之前,小車已處于平衡態(tài)。 下面僅考慮外力加入后,對小車運(yùn)動(dòng)的影響. 系統(tǒng)的受力情況如下圖所示.,2. 選擇狀態(tài)變量. 對機(jī)械動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),常常將

5、位移、速度等選作狀態(tài)變量. 對本例,有,剛體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(3/4),1. 應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)部機(jī)理列出各物理量(如本例的力、位置和速度)所滿足的關(guān)系式. 由牛頓第二定律有,剛體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(4/4),4. 建立輸出方程 y=x1 5. 經(jīng)整理,可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型,3. 將狀態(tài)變量代入運(yùn)動(dòng)方程,流體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(1/5),2. 流體力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 圖2-8為串聯(lián)的兩個(gè)水槽,其截面積分別為A1和A2,當(dāng)閥門的開度不變,在平衡工作點(diǎn)附近閥門阻力系數(shù)分別可視為常量R1和R2. 圖中Qi,Q1和Qo為流量; h1和h2為水槽的水面高度. 試求輸入為Qi,輸出為h2時(shí)的狀態(tài)空間模型.,流體動(dòng)力學(xué)

6、系統(tǒng)(2/5),下面在討論本例的解之前,先簡單總結(jié)一下如下流量與壓力(壓強(qiáng))的關(guān)系.,解 對本例的流體力學(xué)系統(tǒng),假設(shè)對兩個(gè)水槽的流入和流出的水流體已處于平衡. 下面僅考慮流量Qi的變化量Qi引起的水槽水位的變化.,壓力,流量,電路,電壓,電流,流體,壓力(液位差),液體流量,氣體,氣壓差(壓強(qiáng)),氣流量(風(fēng)量),壓力/流量,電阻,閥門阻力系數(shù),風(fēng)阻力系數(shù),流體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(3/5),1. 機(jī)理分析. 根據(jù)水槽中所盛的水量的平衡關(guān)系和流量與壓力(水面高度,液位差)的關(guān)系,有,其中代表平衡工作點(diǎn)附近的變化量. 將上述方程的中間變量Q1和Qo消去,則有,流體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(4/5),2. 選擇狀態(tài)變量.

7、由于只有兩個(gè)獨(dú)立的微分方程,故可選擇兩個(gè)狀態(tài)變量. 對本例的流體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),可選水面高度的變化量h1和h2為狀態(tài)變量,即 x1(t)=h1(t), x2(t)=h2(t) 3. 將狀態(tài)變量代入上述水面高度變化量的動(dòng)態(tài)方程,則有如下狀態(tài)方程,流體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(5/5),4. 建立輸出方程 y=x2 5. 經(jīng)整理,可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型,典型化工(熱工)過程 (1/5),3. 典型化工(熱工)過程的狀態(tài)空間描述 圖2-9為一化學(xué)反應(yīng)器,它是一均勻、連續(xù)流動(dòng)單元,其中發(fā)生如下二級吸熱反應(yīng),圖2-9 某化工(熱工)過程,2AB 該化工反應(yīng)生產(chǎn)過程為: 溫度為f(常量),含A物質(zhì)濃度為CAf(常量

8、)的料液以Q(t)的流量進(jìn)入反應(yīng)器; 為保證單元內(nèi)的液體體積不變,假定流出的流量亦為Q(t);,典型化工(熱工)過程 (2/5),為了使化學(xué)反應(yīng)向右進(jìn)行,用蒸汽對反應(yīng)器內(nèi)的溶液進(jìn)行加熱,蒸汽加熱量為q(t)。 試以料液的流量Q(t)和蒸汽加熱量q(t)為輸入,容器內(nèi)的液體的溫度(t)和濃度CA(t)為輸出,建立狀態(tài)空間模型。,典型化工(熱工)過程 (3/5),解 1. 機(jī)理分析. 在化學(xué)反應(yīng)中,一般應(yīng)保持熱量和物料的平衡關(guān)系。 因此,對整個(gè)反應(yīng)器作熱量和物料平衡,就有,其中V,CP分別為容器體積、比重和比熱;k為反應(yīng)速率常數(shù); H為反應(yīng)熱。,典型化工(熱工)過程 (4/5),2. 選擇狀態(tài)變量

9、. 顯然,選擇容器內(nèi)的液體的溫度(t)和濃度CA(t)為狀態(tài)變量是合理的。因此,令 x1(t)=(t) x2(t)=CA(t) 3. 將狀態(tài)變量代入上述微分方程,則有如下狀態(tài)方程,典型化工(熱工)過程 (5/5),上述狀態(tài)空間模型表示的是一個(gè)雙輸入雙輸出的非線性定常系統(tǒng)。,和輸出方程,機(jī)電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)(1/5),4. 機(jī)電系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 圖2-10表示某電樞控制的直流電動(dòng)機(jī),其中Ra和La為電樞回路總電阻和總電感,J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,負(fù)載為摩擦系數(shù)為f的阻尼摩擦. 試列寫以電樞電壓u(t)為輸入,軸的角位移(t)為輸出的狀態(tài)空間模型.,機(jī)電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)(2/5),解 1. 設(shè)電動(dòng)機(jī)勵(lì)磁電流不變,

10、鐵心工作在非飽和區(qū). 按照圖2-10所描述的電動(dòng)機(jī)系統(tǒng),可以寫出如下主回路電壓方程和軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程,其中Ea和M分別為如下電樞電勢和轉(zhuǎn)矩 Ea=Ced/dt, M=CMia 其中Ce和Cm分別為電樞電勢常數(shù)和轉(zhuǎn)矩常數(shù)(含恒定的磁通量) .,機(jī)電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)(3/5),因此,上述主回路電壓方程和軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程可記為,2. 選擇狀態(tài)變量. 對于本例,若已知電樞電流ia(t),角位移(t)和其導(dǎo)數(shù)d/dt在初始時(shí)刻t0的值,以及電樞電壓u,則上述微分方程組有唯一解. 因此,可以選擇狀態(tài)變量如下,機(jī)電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)(4/5),3. 將狀態(tài)變量代入上述微分方程,則有如下狀態(tài)方程,4. 建立輸出方程 y=

11、x2,機(jī)電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)(5/5),5. 經(jīng)整理,可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型,根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型-小結(jié)(1/3),本節(jié)小結(jié) 由上述4個(gè)例子,可總結(jié)出由系統(tǒng)的物理機(jī)理建立狀態(tài)空間模型的基本步驟為: Step 1. 根據(jù)系統(tǒng)內(nèi)部機(jī)理得到各物理量所滿足的微分方程. 如: 回路電壓和節(jié)點(diǎn)電流方程, 牛頓第二定律, 熱量和物料平衡關(guān)系, 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的投入產(chǎn)出方程等,還記得自動(dòng)控制原理課中怎么寫模型,根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型-小結(jié)(2/3),Step 2. 選擇狀態(tài)變量. 一般狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)應(yīng)為獨(dú)立的一階儲能元件數(shù),并將儲能元件上的物理變量及各階導(dǎo)數(shù)選為狀態(tài)變量,如 電網(wǎng)絡(luò)中電容電壓和電感電流, 剛體力學(xué)系統(tǒng)中慣性體的位移和速度(或角位移和角速度), 流體力學(xué)系統(tǒng)中流量和液面高度(容量、體積), 化工系統(tǒng)中熱量(或溫度)和流量(或濃度) 等物理變量作為狀態(tài)變量,是較方便的.,寫狀態(tài)空間模型的關(guān)鍵喔,根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型-小結(jié)(3/3),Step 3. 將選擇好的狀態(tài)變量代換Step 1得到的各微分方程組,整理得一階微分方