1、5.4平面向量的應用2014高考會這樣考1.考查向量與平面幾何知識、三角函數(shù)的綜合應用；2.考查向量的物理應用，利用向量解決一些實際問題復習備考要這樣做1.掌握向量平行、垂直的條件和數(shù)量積的意義，會求一些角、距離；2.體會數(shù)形結(jié)合思想，重視向量的工具性作用1 向量在平面幾何中的應用平面向量在平面幾何中的應用主要是用向量的線性運算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題(1)證明線段平行或點共線問題，包括相似問題，常用共線向量定理：abab(b0)x1y2x2y10.(2)證明垂直問題，常用數(shù)量積的運算性質(zhì)abab0x1x2y1y20.(3)求夾角問題，利用夾角公式

2、cos (為a與b的夾角)2 平面向量在物理中的應用(1)由于物理學中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識來解決(2)物理學中的功是一個標量，這是力F與位移s的數(shù)量積即WFs|F|s|cos (為F與s的夾角)3 平面向量與其他數(shù)學知識的交匯平面向量作為一個運算工具，經(jīng)常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識結(jié)合，當平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關(guān)于該未知數(shù)的關(guān)系式在此基礎(chǔ)上，可以求解有關(guān)函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問題此類問題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：一是利用平面向量平行

3、或垂直的充要條件；二是利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)難點正本疑點清源1 向量兼具代數(shù)的抽象與嚴謹和幾何的直觀，向量本身是一個數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物在利用向量解決問題時，要注意數(shù)與形的結(jié)合、代數(shù)與幾何的結(jié)合、形象思維與邏輯思維的結(jié)合2 要注意變換思維方式，能從不同角度看問題，要善于應用向量的有關(guān)性質(zhì)解題1 一質(zhì)點受到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)已知F1，F(xiàn)2成120角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為1和2，則F1與F3所成的角為_答案90解析如圖，F(xiàn)3(F1F2)在OACB中，|OA|1，|AC|2，OAC60，|OC|，AOC90，即，F(xiàn)1F3.2 平面上有三個點A(2，y)

4、，B，C(x，y)，若，則動點C的軌跡方程為_答案y28x (x0)解析由題意得，又，0，即0，化簡得y28x (x0)3 河水的流速為2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船的靜水速度大小為_答案2 m/s解析如圖所示小船在靜水中的速度為2 m/s.4 已知A、B是以C為圓心，半徑為的圓上的兩點，且|，則等于()A B. C0 D.答案A解析|r，ACB60，|cosACBcos 60.5 a，b為非零向量，“ab”是“函數(shù)f(x)(xab)(xba)為一次函數(shù)”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案B解析因為f

5、(x)(xab)(xba)(ab)x2(|b|2|a|2)xab.當f(x)為一次函數(shù)時，必須滿足即故f(x)為一次函數(shù)時一定有ab.當ab且|a|b|時，f(x)為常函數(shù)，所以“ab”不是“f(x)為一次函數(shù)”的充分條件，故選B.題型一應用平面向量的幾何意義解題例1平面上的兩個向量，滿足|a，|b，且，a2b24.向量xy (x，yR)，且a22b221.(1)如果點M為線段AB的中點，求證：；(2)求|的最大值，并求此時四邊形OAPB面積的最大值思維啟迪：對第(1)問，可先求，再由條件即可得到結(jié)論；對第(2)問，先設(shè)點M為線段AB的中點，進而利用第(1)問的結(jié)論，并由條件確定P，O，A，B

6、四點共圓，結(jié)論即可得到(1)證明因為點M為線段AB的中點，所以.所以(xy).(2)解設(shè)點M為線段AB的中點，則由，知|1.又由(1)及a22b221，得|2|222222a22b21.所以|1.故P，O，A，B四點都在以M為圓心、1為半徑的圓上，所以當且僅當OP為圓M的直徑時，|max2. 這時四邊形OAPB為矩形，則S四邊形OAPB|ab2，當且僅當ab時，四邊形OAPB的面積最大，最大值為2.探究提高本題是一道典型的考查向量幾何意義的應用問題求解第(2)問的難點就是如何利用第(1)問的結(jié)論來解決新的問題，突破這一難點的關(guān)鍵主要是從設(shè)點M為線段AB的中點入手，借助條件及第(1)問的結(jié)論，去

7、探究|的最大值問題 在ABC所在平面上有一點P，滿足，則PAB與ABC的面積之比是 ()A. B. C. D.答案A解析由已知可得2，P是線段AC的三等分點(靠近點A)，易知SPABSABC，即SPABSABC13.題型二平面向量在物理計算題中的應用例2質(zhì)點受到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成60角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，則F3的大小為_答案2解析方法一由已知條件F1F2F30，則F3F1F2，F(xiàn)FF2|F1|F2|cos 6028.因此，|F3|2.方法二如圖，|2|F1|2|F2|22|F1|F2|cos 6012，則|2|2|2

8、，即OF1F2為直角，|F3|22. 如圖所示，已知力F與水平方向的夾角為30(斜向上)，F(xiàn)的大小為50 N，F(xiàn)拉著一個重80 N的木塊在摩擦因數(shù)0.02的水平平面上運動了20 m，問F、摩擦力f所做的功分別為多少？解設(shè)木塊的位移為s，則Fs|F|s|cos 305020500 (J)，F(xiàn)在豎直方向上的分力大小為|F|sin 305025(N)，所以摩擦力f的大小為|f|(8025)0.021.1(N)，所以fs|f|s|cos 1801.120(1)22(J)F，f所做的功分別為500 J，22 J.題型三平面向量與三角函數(shù)的交匯例3已知在銳角ABC中，兩向量p(22sin A，cos As

9、in A)，q(sin Acos A,1sin A)，且p與q是共線向量(1)求A的大??；(2)求函數(shù)y2sin2Bcos取最大值時，B的大小解(1)pq，(22sin A)(1sin A)(cos Asin A)(sin Acos A)0，sin2A，sin A，ABC為銳角三角形，A60.(2)y2sin2Bcos2sin2Bcos2sin2Bcos(2B60)1cos 2Bcos(2B60)1cos 2Bcos 2Bcos 60sin 2Bsin 601cos 2Bsin 2B1sin(2B30)，當2B3090，即B60時，函數(shù)取最大值2.探究提高向量與三角函數(shù)的結(jié)合往往是簡單的組合如

10、本題中的條件通過向量給出，根據(jù)向量的平行得到一個等式向量與其他知識的結(jié)合往往也是這種簡單組合，因此這種題目較為簡單 ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c，設(shè)向量m(ab，sin C)，n(ac，sin Bsin A)，若mn，則角B的大小為_答案解析mn，(ab)(sin Bsin A)sin C(ac)0，又，則化簡得a2c2b2ac，cos B，0B，B.題型四平面向量與解析幾何的綜合問題例4已知平面上一定點C(2,0)和直線l：x8，P為該平面上一動點，作PQl，垂足為Q，且0.(1)求動點P的軌跡方程；(2)若EF為圓N：x2(y1)21的任一條直徑，求的最小值解(1)

11、設(shè)P(x，y)，則Q(8，y)由0，得|2|20，即(x2)2y2(x8)20，化簡得1.所以點P在橢圓上，其方程為1.(2)因()()()()()2221，P是橢圓1上的任意一點，設(shè)P(x0，y0)，則有1，即x16，又N(0,1)，所以2x(y01)2y2y017(y03)220.因y02，2，所以當y02時，2取得最小值(21)2134，(此時x00)，故的最小值為124.探究提高本題是平面向量與解析幾何的綜合性問題，涉及向量數(shù)量積的基本運算，數(shù)量積的求解以及軌跡、直線和曲線等問題，該題的難點是向量條件的轉(zhuǎn)化與應用，破解此問題應從向量的坐標運算入手，這也是解決解析幾何問題的基本方法坐標法

12、在解題過程中應該注意結(jié)合向量的有關(guān)運算技巧，先化簡后運算 已知圓C：(x3)2(y3)24及點A(1,1)，M是圓C上的任意一點，點N在線段MA的延長線上，且2，求點N的軌跡方程解設(shè)M(x0，y0)、N(x，y)由2得(1x0,1y0)2(x1，y1)，點M(x0，y0)在圓C上，(x03)2(y03)24，即(32x3)2(32y3)24.x2y21.所求點N的軌跡方程是x2y21.利用平面向量解三角形典例：(12分)已知角A，B，C是ABC的內(nèi)角，a，b，c分別是其對邊長，向量m，n，mn.(1)求角A的大小；(2)若a2，cos B，求b的長審題視角先根據(jù)mn，利用兩個向量的數(shù)量積將已知

13、條件轉(zhuǎn)化成三角形中邊、角的條件，然后利用正弦定理或余弦定理解題規(guī)范解答解(1)已知mn，所以mnsin A(cos A1)0，2分即sin Acos A1，即sin，4分因為0A，所以A，所以A，所以A.6分(2)在ABC中，A，a2，cos B，sin B，由正弦定理知：，9分所以ba，所以b.12分答題模板利用向量解三角形問題的一般步驟為第一步：分析題中條件，觀察題中向量和三角形的聯(lián)系；第二步：脫去向量外衣，利用數(shù)量積將已知條件轉(zhuǎn)化成三角形中的邊角關(guān)系；第三步：利用正弦定理或余弦定理解三角形；第四步：反思回顧，檢查所得結(jié)果是否適合題意作答溫馨提醒解三角形問題要分析清楚題目條件，利用正弦定理

14、、余弦定理轉(zhuǎn)化為三角形中各邊之間的關(guān)系或各角之間的關(guān)系，靈活進行變形向量只是題目的載體，三角形中的條件及轉(zhuǎn)化才是解題關(guān)鍵.方法與技巧1向量的坐標運算將向量與代數(shù)有機結(jié)合起來，這就為向量和函數(shù)的結(jié)合提供了前提，運用向量的有關(guān)知識可以解決某些函數(shù)問題2以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題通過向量的坐標運算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法3用向量方法解決平面幾何問題的步驟(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系；(3)把運算結(jié)果

15、“翻譯”成幾何關(guān)系4解析幾何問題和向量的聯(lián)系：可將向量用點的坐標表示，利用向量運算及性質(zhì)解決解析幾何問題失誤與防范1注意向量夾角和三角形內(nèi)角的關(guān)系：兩者并不等價2注意向量的共線和直線平行的關(guān)系3構(gòu)造向量解題：要根據(jù)題目需要靈活構(gòu)造向量A組專項基礎(chǔ)訓練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 在ABC中，已知向量與滿足0且，則ABC為()A等邊三角形 B直角三角形C等腰非等邊三角形 D三邊均不相等的三角形答案A解析因為非零向量與滿足0，所以BAC的平分線垂直于BC，所以ABAC.又cosBAC，所以BAC.所以ABC為等邊三角形2 已知|a|2|b|，|b|0且關(guān)于x

16、的方程x2|a|xab0有兩相等實根，則向量a與b的夾角是 ()A B C. D.答案D解析由已知可得|a|24ab0，即4|b|242|b|b|cos 0，cos ，又0，.3 已知P是ABC所在平面內(nèi)一點，若，其中R，則點P一定在()AABC的內(nèi)部 BAC邊所在直線上CAB邊所在直線上 DBC邊所在直線上答案B解析由題意知：，即，即與共線，點P在AC邊所在直線上4已知點A(2,0)、B(3,0)，動點P(x，y)滿足x2，則點P的軌跡是()A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線答案D解析(2x，y)，(3x，y)，(2x)(3x)y2x2，y2x6.二、填空題(每小題5分，共15分)5 在ABC

17、中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若1，那么c_.答案解析由題意知2，即()22c|.6 已知在平面直角坐標系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，動點P(x，y)滿足不等式01,01，則z的最大值為_答案3解析(x，y)，(1,1)，(0,1)，xy，y，即在條件下，求z2x3y的最大值，由線性規(guī)劃知識，當x0，y1時，zmax3.7 已知在ABC中，a，b，ab0，SABC，|a|3，|b|5，則BAC_.答案150解析0，BAC為鈍角，又SABC|a|b|sinBAC.sinBAC，BAC150.三、解答題(共22分)8 (10分)已知ABC中，C是直角，C

18、ACB，D是CB的中點，E是AB上一點，且AE2EB，求證：ADCE.證明建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)A(a,0)，則B(0，a)，E(x，y)D是BC的中點，D.又2，即(xa，y)2(x，ay)，解得x，ya.(a,0)，(a)aa2a20.，即ADCE.9 (12分)已知向量a(cos x，sin x)，b(cos x，cos x)，c(1,0)(1)若x，求向量a與c的夾角；(2)當x時，求函數(shù)f(x)2ab1的最大值，并求此時x的值解(1)設(shè)a與c的夾角為，當x時，a，cos .0，.(2)f(x)2(cos2xsin xcos x)1sin 2xcos 2xsin.又x，2x.當2

19、x，即x時，f(x)的最大值為1.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 平面上O，A，B三點不共線，設(shè)a，b，則OAB的面積等于()A.B.C.D.答案C解析設(shè)AOB，那么cos ，則sin ，那么OAB的面積S|a|b|sin |a|b|.2. 如圖，ABC的外接圓的圓心為O，AB2，AC3，BC，則等于()A. B.C2 D3答案B解析()，因為OAOB，所以在上的投影為|，所以|2，同理|，故2.3 已知向量m，n的夾角為，且|m|，|n|2，在ABC中，mn，m3n，D為BC邊的中點，則|等于 ()A1 B2 C3 D4答案A解析由題意知：|2m2n|mn|1.二、填空題(每小題5分，共15分)4. 給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為120.如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動若xy，其中x，yR，則xy的最大值是_答案2解析依