1、（1）使用復(fù)化梯形公式、Simpson公式，首先要確定步長(zhǎng) ；,（2）而步長(zhǎng)要根據(jù)余項(xiàng)確定，這就涉及到高階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)；,（3）高階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)一般比較困難，且估計(jì)值往往偏大；,（4）計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)起來(lái)不方便，通常采用“事后估計(jì)法”。,三、積分步長(zhǎng)的自動(dòng)選?。?注意事項(xiàng)：,基本思想：,將積分區(qū)間逐次分半,終止法則：,前后兩次近似值的誤差小于已知精度,主講人：,具體過(guò)程（以復(fù)化梯形公式為例）,1、首先將區(qū)間 n等分：,2、再將區(qū)間 2n等分，即步長(zhǎng)減半：,上述條件滿(mǎn)足，程序終止；否則，繼續(xù)分半計(jì)算。,3、終止條件：,由復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)知,由此得到近似關(guān)系式,誤差控制條件,對(duì)于復(fù)化Simpson公式、

2、Cotes公式可以類(lèi)似得到,對(duì)于復(fù)化梯形公式,加速 收斂,應(yīng)用步長(zhǎng)逐次減半得到的復(fù)化梯形值、復(fù)化 Simpson值、復(fù)化Cotes值與精確值的比較,Romberg積分法/*Romberg Integration Method */, Romberg積分思想,由上節(jié)分析知，用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分值,的誤差大約為：,令,由復(fù)化梯形公式知,梯形加速公式：,上述公式說(shuō)明：,Romberg積分公式正是由此思想產(chǎn)生,Romberg 值序列,Simpson加速公式：,Cotes加速公式：,類(lèi)似于梯形加速公式的處理方法，得到：,通過(guò)上述3個(gè)積分值序列求積分近似值的方法， 稱(chēng)之為Romberg積分法。,4個(gè)積分

3、值序列：,梯形值序列,Simpson值序列,Romberg值序列,Cotes值序列,Romberg積分法的一般公式,其中,Romberg積分表,用龍貝格方法計(jì)算積分的步驟為： （1）：準(zhǔn)備初值，先用梯形公式計(jì)算積分近 似值： （2）：按變步長(zhǎng)梯形公式計(jì)算積分近似值： 令 計(jì)算： （3）：按加速公式求積分（為便于編程，寫(xiě) 為下列形式）,梯形加速： 辛普生加速： 柯特斯加速： （4）：精度控制 當(dāng) 時(shí)終止計(jì)算 并取 為近似值，否則，將步長(zhǎng)折半，轉(zhuǎn) （2）執(zhí)行。實(shí)際計(jì)算時(shí)的加工流程圖7.4.1示：,例7.4.2 用龍貝格算法加工例7.4.1得到的近似值 解：用算法圖7.4.2計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表7.4.1,

4、表中 k表示二分次數(shù) ：,例3：利用Romberg 積分法式計(jì)算積分 要求精確到小數(shù)點(diǎn)后面7位。,解：,根據(jù)Romberg 積分法計(jì)算得,具體結(jié)果見(jiàn)下表,例3：取e=0.00001,用龍貝格方法計(jì)算積分,解：由題意 f(x)=4/(1+x2) a=0 b=1 f(0)=4 f(1)=2 由梯形公式得 T1=1/2f(0)+f(1)=3 計(jì)算f(1/2)=16/5 用變步長(zhǎng)梯形公式得 T2=1/2T1+f(1/2)=3.1 由加速公式得 S1=1/3(4T2-T1)=3.133333333,求出f(1/4) f(3/4) 進(jìn)而求得 T4=1/2T2+1/2f(1/4)+f(3/4) =3.131176471 S2=1/3(4T4-T2)=3.141568628 C1=1/15(16S2-S1)=3.142117648 計(jì)算f(1/8) f(3/8) f(5/8) f(7/8)進(jìn)而求得 T8=1/2T4+1/4f(1/8)+f(3/8)+f(5/8)+f(7/8) =3.138988495 S4=1/3(4T3-T4)=3.141592503 C2=1/15(16S4-S2)=3.141594095 R1=1/63(64C2-C1)=3.141585784,把區(qū)間再二分，重復(fù)上述步驟算得 T16=3.140941613 S8=3.1