1、第十一章 曲線積分與曲面積分11-1 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,定義：設(shè) L 為 面內(nèi)的一條光滑曲 線弧，函數(shù) 上有界，在 上 任意插入一點(diǎn)列 把 L 分成 n 個(gè)小段，設(shè)第 個(gè)小段的長(zhǎng)度 為 為第 個(gè)小段上任意 取定的一點(diǎn)，,作乘積 并作和 如果當(dāng)各小弧段的長(zhǎng)度的最 大值 時(shí)，這和的極限總存在，則稱 此極限為函數(shù) 在曲線弧上 L 上 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或第一類曲線積分， 其中 叫做被積函數(shù)，L 叫做 積分弧段。,例1計(jì)算 ，其中L為圓 周 ，直線 及 軸在第二象限內(nèi)所圍成的扇形整個(gè)邊界。,例2計(jì)算 ，其中 為 折線 ，這里 依次為點(diǎn),例計(jì)算 ， 其中L為曲線 。,例4計(jì)算 ， 其中L為折線 所圍成 的

2、區(qū)域的整個(gè)邊界,例5計(jì)算半徑為R，中心角為 的圓弧 L 對(duì)于它的對(duì)稱軸的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（設(shè)線密度 ）。,11-2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,定義：設(shè) L 為 面內(nèi)從點(diǎn) A 到點(diǎn) B 的一條有向光滑曲線弧，函數(shù) 上有界，在 L 上沿 L 的方向任意插入一點(diǎn)列 把 L 分成 n 個(gè)有向小弧線段,設(shè) 為 上任意取定點(diǎn)，如果當(dāng)各小弧段 長(zhǎng)度的最大值 時(shí)， 的極限總存在，則稱此極限為函數(shù) 在有向曲線弧 L 上對(duì)坐標(biāo) 的 曲線積分，記作 ，類似 地，如果 總存在，則 稱此極限為函數(shù) 在有向曲線弧 L 上對(duì)坐標(biāo) 的曲線積分，,記作 其中 叫做被積函數(shù)， L 叫做積分弧段。 以上兩個(gè)積分也稱為第二類曲線積分。,(一)定理

3、：設(shè) 在有向曲 線弧 L 上有定義且連續(xù)，L 的參數(shù)方程 為 ，當(dāng)參數(shù) 單調(diào)地由 變到 時(shí)，點(diǎn) 從 L 的起點(diǎn) A 沿L運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn) B，,在以 為端點(diǎn)的閉區(qū)間上 具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且 則曲線積分 存在， 且,例1計(jì)算 ，其中 L 為拋 物線 上從點(diǎn) 到點(diǎn) 的一段弧。,例2計(jì)算 ，其中L為 （1）半徑為 ，圓心為原點(diǎn)，按逆時(shí)針方向繞行的上半圓周。 （2）從點(diǎn) 沿 軸到點(diǎn) 的直線段。,例3計(jì)算 ，其中 L為 （1）拋物線 上從 的一段弧。 （2）拋物線 上從 的一段弧。 （3）有向折線 ,這里O,A,B依次是 點(diǎn)（0，0），（1，0），（1，1）.,例4計(jì)算 其中 為橢圓 若從 軸正向看去， 的方向

4、 是順時(shí)針的。,例5設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在 處受到 力F的作用，F(xiàn)的大小與M到原點(diǎn)O 的距離成正比，F(xiàn)的方向恒指向原 點(diǎn)，此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn) 沿橢圓 按逆時(shí)針方向移動(dòng)到 點(diǎn) ，求力F所做的功W。,例6將對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 化成對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，其中L 為沿拋物線 從點(diǎn) 到點(diǎn) 。,11-3 格林公式及其應(yīng)用,例1求橢圓 所圍成圖形的面積。,例2設(shè) L 是任意一條分段光滑 的閉曲線，證明：,例3計(jì)算 ， 其中D是 為頂點(diǎn)三角形閉區(qū)域。,例4計(jì)算 ，其中 L 為一條無(wú)重點(diǎn)分段光滑且不經(jīng)過(guò)原 點(diǎn)的連續(xù)閉曲線，L 的方向?yàn)槟鏁r(shí) 針方向。,例5計(jì)算 其中 L 是曲線 及 所圍成的區(qū)域的邊 界，按逆時(shí)針方向。,例6計(jì)算 ， 其

5、中L是以 為頂點(diǎn)的三角形正向邊界曲線。,例7計(jì)算 ，其 中 L 為 （1）圓周 的正向。 （2）正方形邊界 的正向。,例8計(jì)算 其中L為曲線 按 增大的方向。,定理2 設(shè)區(qū)域G是一個(gè)單連通域，函數(shù) 在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏 導(dǎo)數(shù)，則曲線積分 在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)（或沿G內(nèi)任意閉曲線的曲 線積分為零）的充分必要條件是 在G內(nèi)恒成立。,例9計(jì)算曲線積分 其中L是以點(diǎn) 為中心，R為半徑的圓周 取逆時(shí)針方向。,定理3 設(shè)區(qū)域G是一個(gè)單連通域，函數(shù) 在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏 導(dǎo)數(shù)，則 在G內(nèi)為某一函數(shù) 的全微分的 充分必要條件是 在G內(nèi)恒成立。,推論 設(shè)區(qū)域G是一個(gè)單連通域，函數(shù) 在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏 導(dǎo)數(shù)，則曲線

6、積分 在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)的充分必要條件是： 在G 內(nèi)存在函數(shù) ， 使,例10驗(yàn)證 在右半平 面 內(nèi)是某個(gè)函數(shù)的全微 分，并求出一個(gè)這樣的函數(shù)。,例11驗(yàn)證：在整個(gè) 面 內(nèi)， 是某個(gè)函 數(shù)的全微分，并求出一個(gè)這樣的 函數(shù)。,例12驗(yàn)證：在整個(gè) 面內(nèi)， 是某個(gè)函數(shù)的全微分，并求出一 個(gè)這樣的函數(shù)。,例13求解方程,11-4 對(duì)面積的曲面積分,定義 設(shè)曲面 是光滑的，函數(shù) 在 上有界，把 任 意分成 小塊 （ 同時(shí)也代 表第 小塊曲面的面積），設(shè) 是 上任意取定的一點(diǎn)，作乘積,并作和 ，如果當(dāng)各小塊 曲面的直徑的最大值 時(shí)，這和 的極限總存在，則稱此極限為函數(shù) 在曲面 上對(duì)面積的曲面 積分或第一類曲面

7、積分，記作 即 其中 叫做被積函數(shù)， 叫 做積分曲面。,例1計(jì)算曲面積分 ，其中 是球面 被平 面 截出的頂部。,例2計(jì)算曲面積分 其中 是介于 之間的圓柱面 。,例3計(jì)算 ，其中 是 由平面 及 所圍成的四面體的 整個(gè)邊界曲面。,例4計(jì)算 ， 其中 是圓錐面 被柱面 所截的部 分。,例5設(shè) 為橢球面 的上半部分,點(diǎn) （ 為 在點(diǎn)P處的切平面） 為點(diǎn) 到平面的距離， 求,11-5 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,定義 設(shè) 為光滑的有向曲面，函數(shù) 在 上有界，把 任意分 成 塊小曲面 （ 同時(shí)又表示第 塊 小曲面的面積）， 在 面上的投影 為 上任意取定的一 點(diǎn)，如果當(dāng)個(gè)小塊曲面的直徑的最大值 時(shí)，,總存在，

8、則稱此極限為函數(shù) 在有向曲面 上對(duì)坐標(biāo) 的曲面積 分，記作 即 其中 叫做被積函數(shù)， 叫 做積分曲面。,類似地可以定義函數(shù) 在 有向曲面 上對(duì)坐標(biāo) 的曲面積 分 及函數(shù) 在有向曲面 上對(duì)坐標(biāo) 的曲面 積分 分別為,以上三個(gè)曲面積分也稱為第二類曲面 積分。,例1計(jì)算曲面積分 其中 是長(zhǎng)方體 的整個(gè)表面的 外側(cè)，,例2計(jì)算曲面積分 其中 是球面 外 側(cè)在 的部分。,例3計(jì)算 ，其 中 為錐面 及平面 所圍成的空間區(qū)域 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)。,例4計(jì)算曲面積分 其中 是旋轉(zhuǎn)拋物面 介于平面 之間的部分 的下側(cè)。,例5計(jì)算 其中 是平面 在第一卦限部分的上側(cè)。,11-6 高斯公式 通量與散度,一、高斯

9、公式 （一）定理1 設(shè)空間閉區(qū)域 是由分 布光滑的閉曲面 所圍成，函數(shù) 在 上 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有,這里 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)， 處的 法向量的方向余弦，上面公式叫做高斯 公式。,例1利用高斯公式計(jì)算曲面積分 其中 為柱面 及平面 所圍成的空間閉區(qū)域 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)。,例2利用高斯公式計(jì)算曲面積分 其中 為錐面 介于平面 之間的部分的下側(cè)， 在點(diǎn) 處 的法向量的方向余弦。,例3計(jì)算曲面積分 其中 為上半球面 的上側(cè)。,例4設(shè)函數(shù) 在閉區(qū) 域 上具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明： 其中 是閉區(qū)域 的整個(gè)邊界曲面 為函 數(shù) 沿 的外法線方向的方向?qū)?數(shù)，符號(hào) 稱為拉普拉斯算 子，這個(gè)公式

10、叫做格林第一公式。,二、通量與散度 （一）通量定義 設(shè)某向量場(chǎng)由 給出，其中 具有一階連續(xù)偏導(dǎo) 數(shù)， 是場(chǎng)內(nèi)的一片有向曲面， 處的單位法向量，則,叫做向量場(chǎng) A 通過(guò)曲面 向著指定側(cè) 的通量（或流量）,例5求向量場(chǎng) 穿過(guò) 曲面 流向上側(cè)的通量，其中 為柱面 ，被平 面 截下的有限部分。,11-7 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度,一、斯托克斯公式 （一）定理：設(shè) 為分段光滑的空間 有向閉曲線， 是以 為邊界的分片 光滑的有向曲面， 的正向與 的 側(cè)符合右手規(guī)則，函數(shù) 在曲面 （連同邊 界 ）上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有,上面公式叫做斯托克斯公式。,例1利用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分 其中 為平面 被三個(gè)坐標(biāo)面所截成 的三角形的整個(gè)邊界，它的正向與這個(gè) 三角形上側(cè)的法向量之間符合右手規(guī)則。,例2利用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分 其中 是用平面 截立方 體 的表面所得的截痕，若從 軸的正 向看去取逆時(shí)針方向。,二、環(huán)流量與旋度 （一）環(huán)流量 設(shè)有向量場(chǎng) 其中函數(shù) 均連續(xù)， 的定 義域內(nèi)的一條分段光滑的有向閉曲線, 處的單位切向量，,則積分 稱為向量場(chǎng) A 沿有向閉曲線 的環(huán)流 量，其中 是有向 曲線 處