1、小學(xué)四年級奧數(shù)教程,第九講 和倍問題,生活中常常有這樣的事情：四班同學(xué)到果園里去 植樹，栽蘋果樹和梨樹共150棵，其中蘋果樹是梨樹的2 倍，問植蘋果樹和梨樹各多少棵？這是一道已知兩個數(shù) （或幾個數(shù)）的和以及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求兩個數(shù) （或幾個數(shù)）的問題，在數(shù)學(xué)上稱之為和倍問題。解答 這類題的關(guān)鍵是在已知條件中確定一個數(shù)為標準（一般 以小數(shù)為標準），也就是把它看作1倍數(shù)（或1份數(shù)）， 再根據(jù)另一個數(shù)與這個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，確定總和相當于1 倍數(shù)的多少倍，然后用除法求出1倍的數(shù)，再算出另一個 數(shù)。和倍問題的數(shù)量關(guān)系是：和（倍數(shù)+1）=小數(shù) 小數(shù)倍數(shù)=大數(shù) 和-小數(shù)=大數(shù),例1：慶“六一”四二班剪紅花

2、和黃花共630朵，已知要剪的紅花是黃花的2倍，求剪紅花和黃花各多少朵？,分析：我們可以用畫線段圖的方法來幫助理解： 黃花： 1倍 ？朵 630朵 紅花： 1倍 1倍 ？朵 先把黃花（小數(shù)）看成是1倍數(shù)，紅花就是2倍數(shù)，紅花和 黃花總共是3倍，正好是630朵。把630朵平均分成3份，每份就 是1倍數(shù)，也就是黃花的朵數(shù)。,例1：慶“六一”四二班剪紅花和黃花共630朵，已知要剪的紅花是黃花的2倍，求剪紅花和黃花各多少朵？,例2：學(xué)校食堂里運來大米和面粉共1450千克， 其中大米比面粉重量的3倍少150千克，求運來 大米和面粉各多少千克？,例2：學(xué)校食堂里運來大米和面粉共1450千克，其 中大米比面粉

3、重量的3倍少150千克，求運來大米 和面粉各多少千克？ 分析：可以用畫線段圖如下： 面粉： 1倍 ？千克 3倍 共1450千克 大米： ？千克 少150千克 由圖可以看出：已知大米和面粉共1450千克，大米比面粉 重量的3倍少150千克，假如大米增加150千克，就恰好是面粉 的3倍了。 但大米增加150千克，那么大米和面粉的總重量也 增加150千克，共是1450+150=1600千克。,例3：甲、乙兩箱蘋果共96千克，如果從甲箱取 出16千克放入乙箱，那么乙箱的千克數(shù)是甲箱 的3倍，兩箱原有蘋果各多少千克？,例3：甲、乙兩箱蘋果共96千克，如果從甲箱取出16千克 放入乙箱，那么乙箱的千克數(shù)是甲

4、箱的3倍，兩箱原有蘋 果各多少千克？ 分析：兩箱蘋果放來放去之后，部總千克數(shù)沒有改變，只 是甲箱取出16千克，就是減少了16千克，放入乙箱16千 克，就是乙箱增加16千克。這時乙箱的千克數(shù)就是甲箱的 3倍。我們可以把移動后的甲箱千克數(shù)看成1倍數(shù)，移動后 的乙箱千克數(shù)就是這樣的3倍數(shù)，兩箱的總重量則是這樣 的4倍數(shù)?？傊亓繘]變，是96千克。用除法便可求出移后 結(jié)果。然后再求出原來重量。 1倍 移后甲箱： ？千克 3倍 96千克 移后乙箱： ？千克,例4：3籃橘子共有126個，第一籃橘子個數(shù)是第 二籃的2倍，第三籃的橘子個數(shù)是第一籃的3倍。 這3籃橘子各多少個？,例4：3籃橘子共有126個，第一籃

5、橘子個數(shù)是第二籃的 2倍，第三籃的橘子個數(shù)是第一籃的3倍。這3籃橘子各 多少個？ 分析：這道題有一個選標準的問題，是選第一籃為標 準，還是選第二籃為標準。從題意上可以想到第二籃 是最小的數(shù)。那就把第二籃的橘子數(shù)確定為標準，把 它看作1倍數(shù)，第一籃就是2倍數(shù)，第三籃是第一籃的3 倍，也就是第二籃的23倍，3籃一共是1+2+6=9倍， 正好是126個，用和倍問題解答即可。,例5：學(xué)校買來828本科技書分給4、5、6三個 年級，6年級分得的是4年級的3倍多5本，5年 級分得的是4年級的2倍多1本，4、5、6三個年 級各分得科技書多少本？,例5：學(xué)校買來828本科技書分給4、5、6三個年級，6 年級分

6、得的是4年級的3倍多5本，5年級分得的是4年 級的2倍多1本，4、5、6三個年級各分得科技書多少 本？ 分析：5年級和6年級分得的本數(shù)都是以4年級作為標準 的，所以我們把4年級分得的本數(shù)看作是1倍數(shù)，6年級去 掉5本就正好是4年級的3倍，5年級去掉1本也就正好是4年 級的2倍數(shù)，這樣總數(shù)里也就去掉了5+1=6（本），變成了 828-5-1=822（本），它也就是3+2+1=6（倍數(shù)），用和倍 問題可求出結(jié)果。,4年級： 5年級： 6年級：,？本,1倍,2倍,多1本,？本,3倍,多5本,？本,828本,例6：小亮和小芳兄妹倆把過年的壓在錢共1000 元存入銀行。開學(xué)初，小亮取出240元，小芳又

7、存入80元，這時小芳的存款錢數(shù)正好是小亮的3 倍。原來誰比誰存的錢多，多多少元？,例6：小亮和小芳兄妹倆把過年的壓在錢共1000元存 入銀行。開學(xué)初，小亮取出240元，小芳又存入80 元，這時小芳的存款錢數(shù)正好是小亮的3倍。原來誰 比誰存的錢多，多多少元？ 分析：要求原來誰比誰存的錢多，多多少元，首先得 求出小亮和小芳原來各存款多少元。根據(jù)題意，小亮 取出，小芳存入后兩人的共存款數(shù)為1000240+80=840 （元），已知這時小芳的存款錢數(shù)是小亮的3倍，把 小亮現(xiàn)在存款錢數(shù)看作1倍，小芳的存款數(shù)就是3倍， 現(xiàn)在總存款數(shù)就是1+3=4倍，也就是840元，用和倍問 題便能求出小亮和小芳現(xiàn)在存錢數(shù)

8、，再求原來存錢 數(shù)，從而知道誰存的多，多多少元？,例7：已知A、B兩數(shù)之積為5000，是A、B兩數(shù)之 和的20倍，而A數(shù)又是B數(shù)的4倍，A、B兩數(shù)各是 多少？,例7：已知A、B兩數(shù)之積為5000，是A、B兩數(shù)之和的20 倍，而A數(shù)又是B數(shù)的4倍，A、B兩數(shù)各是多少？ 分析：此題如果能求出A、B兩數(shù)的和是多少，就能用 和倍問題解題。已知A、B兩數(shù)之積為5000，是A、B兩 數(shù)之和的20倍，那5000是和的20倍，可以求出A、B兩 數(shù)的和，然后把B數(shù)看作1倍數(shù)，A數(shù)就是4倍數(shù)，和為 1+4=5倍數(shù)，這樣便可以求解。,例8：游泳館里有大小兩個水池，大水池里有水 2800立方數(shù)，小水池里有水1000立

9、方數(shù)，如果 大水池里的水以每分鐘20立方米的速度流入小 水池，那么多少分鐘后小水池中的水是大水池 的4倍？,例8：游泳館里有大小兩個水池，大水池里有水2800立 方數(shù)，小水池里有水1000立方數(shù)，如果大水池里的水 以每分鐘20立方米的速度流入小水池，那么多少分鐘 后小水池中的水是大水池的4倍？ 分析：解答這道題時，應(yīng)明確不管大水池的水往小水 池里流，還是小水池的水往大水池里流，兩池水的總 量是不變的。兩池里的水一共是2800+1000=380（m3）， 把大水池所剩的水看作是1倍數(shù)，那么小水池現(xiàn)在的水 就是4倍數(shù)，兩池水一共是1+4=5倍數(shù)，從而能求出大水 池里所剩的水。再用2800減法剩下的

10、水就等于流走的 水，流出的水除以流速就求出流水的時間。,例9：被除數(shù)、除數(shù)、商三個數(shù)的和是215，已 知商是2，被除數(shù)和除數(shù)各是多少？ 兩數(shù)相除的商為12，余數(shù)是26，被除數(shù)、 除數(shù)、商、余數(shù)的和等于454，被除數(shù)和除數(shù)各 是多少？,例9：被除數(shù)、除數(shù)、商三個數(shù)的和是215，已知商 是2，被除數(shù)和除數(shù)各是多少？ 兩數(shù)相除的商為12，余數(shù)是26，被除數(shù)、除數(shù)、 商、余數(shù)的和等于454，被除數(shù)和除數(shù)各是多少？ 分析：已知商是2，說明被除數(shù)是除數(shù)的2倍。把除數(shù) 看作是1倍數(shù)，被除數(shù)則是2倍數(shù)，從215里去掉2所得的 結(jié)果則是3倍數(shù)，從而就可以求出1倍數(shù)除數(shù)，然后 再用“商除數(shù)=被除數(shù)”的關(guān)系式，算出

11、被除數(shù)。 根據(jù)題意，用4個數(shù)的和減去商12，再減去余數(shù)26就 得到了被除數(shù)和除數(shù)之和，因為商是12，也就是被除數(shù) 是除數(shù)的12倍，可以把除數(shù)看作是1倍數(shù)，被除數(shù)就是 12倍數(shù)，它們的和是1+12=13倍數(shù)，用和倍公式即可求 出除數(shù)。,例10：甲、乙兩數(shù)之和為737，其中甲數(shù)的個 位是0，如果把0去掉，就和乙數(shù)相同。甲、乙 兩數(shù)各是多少？ 甲、乙、丙三數(shù)之和是2220，甲是乙 的一半，乙是丙的2倍，甲、乙、丙三數(shù)各是多 少？,例10：甲、乙兩數(shù)之和為737，其中甲數(shù)的個位是 0，如果把0去掉，就和乙數(shù)相同。甲、乙兩數(shù)各是多 少？ 甲、乙、丙三數(shù)之和是2220，甲是乙的一半，乙是 丙的2倍，甲、乙、丙三數(shù)各是多少？ 分析：已知甲數(shù)的個位是0，如果把0去掉，就和乙數(shù)相 同，說明甲數(shù)是乙數(shù)的10倍，把乙數(shù)看作是1倍數(shù)，甲數(shù) 就是10倍