1、第四章,第 四 章 方差分析與試驗(yàn)設(shè)計(jì),4.1 單因素方差分析 4.2 雙因素方差分析 4.3 正交設(shè)計(jì),4.1 一元方差分析,一、方差分析及其有關(guān)術(shù)語(yǔ),（一）指標(biāo)、因素、水平,1、指標(biāo)試驗(yàn)結(jié)果值稱為指標(biāo)，一般表示為,數(shù)值，用 X 表示。,2、因素影響指標(biāo)的因子，一般表示為分類變量。用 A，B，C 表示,3、水平因素所處的狀態(tài)，一般用A1、A2、 A3、 Ar 。,單因素方差分析：眾多因素中僅有一個(gè)因素的的水平有多個(gè)，其余因素只有一個(gè)水平。,多因素方差分析：多個(gè)因素有多個(gè)水平。,【例】為了比較四種肥料對(duì)小麥畝產(chǎn)量的影響，取一片土壤肥沃程度和水利灌溉條件差不多的土地分成16塊，肥料品種A1、A2

2、、 A3、A4，每種肥料施在四塊土地上，得畝產(chǎn)：,指標(biāo)：畝產(chǎn),因素：肥料,水平： 品種,（二）什么是方差分析(ANOVA) (analysis of variance),1、引例用上例,研究問(wèn)題：各肥料品種是否有差異。,問(wèn)題轉(zhuǎn)化：各肥料品種是否有差異體現(xiàn)為各肥料品種對(duì)小麥畝產(chǎn)量的影響否有顯著差異。,記 X1 為肥料A1下的小麥畝產(chǎn)量， m1為平均畝產(chǎn)量； X2 為肥料A2下的小麥畝產(chǎn)量， m2為平均畝產(chǎn)量； X3 為肥料A3下的小麥畝產(chǎn)量， m3為平均畝產(chǎn)量； X4 為肥料A4下的小麥畝產(chǎn)量， m4為平均畝產(chǎn)量；問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,H0: m1 = m2 = m3 = m4,H1: m1 m2 m3

3、m4不全等,檢驗(yàn)多個(gè)母體平均數(shù)是否相等,2、什么是方差分析,手段：分析數(shù)據(jù)的誤差判斷各母體均值是否相等,（三）方差分析的有關(guān)術(shù)語(yǔ),試驗(yàn)這里只涉及一個(gè)因素，因此稱為單因素四水平的試驗(yàn) 母體因素的每一個(gè)水平可以看作是一個(gè)母體 比如肥料品種A1、A2、 A3、A4， 子樣數(shù)據(jù) 畝產(chǎn)量可以看作是從這四個(gè)母體中抽取的子樣數(shù)據(jù),【例】為了對(duì)幾個(gè)行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)，消費(fèi)者協(xié)會(huì)在四個(gè)行業(yè)分別抽取了不同的企業(yè)作為樣本。最近一年中消費(fèi)者對(duì)總共23家企業(yè)投訴的次數(shù)如下表,二、方差分析的基本原理,（一）圖形分析,子樣平均值的折線,1、從散點(diǎn)圖上可以看出 不同行業(yè)被投訴的次數(shù)是有明顯差異的 即使是在同一個(gè)行業(yè)，不同

4、企業(yè)被投訴的次數(shù)也明顯不同 家電制造被投訴的次數(shù)較高，航空公司被 投訴的次數(shù)較低 2、行業(yè)與被投訴次數(shù)之間有一定的關(guān)系 如果行業(yè)與被投訴次數(shù)之間沒(méi)有關(guān)系，那么 它們被投訴的次數(shù)應(yīng)該差不多相同，在散點(diǎn)圖 上所呈現(xiàn)的模式也就應(yīng)該很接近,1、僅從散點(diǎn)圖上觀察還不能提供充分的證據(jù)證明不 同行業(yè)被投訴的次數(shù)之間有顯著差異 這種差異也可能是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的 2、需要有更準(zhǔn)確的方法來(lái)檢驗(yàn)這種差異是否顯著， 也就是進(jìn)行方差分析 所以叫方差分析，因?yàn)殡m然我們感興趣的是均值， 但在判斷均值之間是否有差異時(shí)則需要借助于方差 這個(gè)名字也表示：它是通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)誤差來(lái)源的分析 判斷不同母體的均值是否相等。因此，進(jìn)行

5、方差分析 時(shí)，需要考察數(shù)據(jù)誤差的來(lái)源。,（二）方差分析的思想,1.比較兩類誤差，以檢驗(yàn)均值是否相等 2.比較的基礎(chǔ)是方差比 3.如果系統(tǒng)(處理)誤差顯著地不同于隨機(jī)誤差，則均值就是不相等的；反之，均值就是相等的 4.誤差是由各部分的誤差占總誤差的比例來(lái)測(cè)度的,（三）方差分析的基本原理,1、隨機(jī)誤差 因素的同一水平(母體)下，子樣各觀察值之 間的差異，對(duì)數(shù)據(jù)形成組內(nèi)差。 比如，同一行業(yè)下不同企業(yè)被投訴次數(shù)是不 同的 這種差異可以看成是隨機(jī)因素的影響，稱為 隨機(jī)誤差,附：兩類誤差,2、系統(tǒng)誤差 因素的不同水平(不同母體)下，各觀察值之 間的差異，對(duì)數(shù)據(jù)形成組間差。 比如，不同行業(yè)之間的被投訴次數(shù)之

6、間的差 異 這種差異可能是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的，也可能是由于行業(yè)本身所造成的，后者所形成的誤差是由系統(tǒng)性因素造成的，稱為系統(tǒng)誤差,附：兩類誤差,三、單因素方差分析（一元）,（一）模型,1、【例】為了比較四種肥料對(duì)小麥畝產(chǎn)量的影響，取一片土壤肥沃程度和水利灌溉條件差不多的土地分成16塊，肥料品種A1、A2、 A3、A4，每種肥料施在四塊土地上，得畝產(chǎn)：,？不同品種肥料對(duì)小麥畝產(chǎn)量的作用是否有差異,不同品種肥料對(duì)小麥畝產(chǎn)量的作用是否有差異？轉(zhuǎn)化為是否拒絕 H0,H0: m1 = m2 = m3 = m4,H1: m1 m2 m3 m4不全等,設(shè)因素有r個(gè)水平（r個(gè)母體Xi i =1,2, n

7、） 每個(gè)水平的均值分別用1、2、 r 表示,2、一般模型,設(shè),H0: 1 2 r,H1: 1 ，2 ，r不全相等（ ！H1可以不寫）,且各母體獨(dú)立,1、平方和 （1）總平方和（總離差）,其中,第 i 行 （水平） 的平均數(shù),全部子樣的平均數(shù),（二） H0檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,（2）組內(nèi)差（誤差項(xiàng)離差平方和）（隨機(jī)誤差）,為第 i 行的子樣方差,（3）組間差（水平項(xiàng)離差平方和） （系統(tǒng)誤差）,（4）三個(gè)平方和的關(guān)系,2、各平方和的作用及分布,（1） QE 反映隨機(jī)抽樣誤差的大小，該誤差是 由于各母體子樣值內(nèi)部的差異，可認(rèn)為是由 引起的誤差。由于,（3） QT 反映全部數(shù)據(jù)總的誤差程度,2、各平方和的作用

8、及分布,H0: 1 2 r,如果H0真 （1 2 r ） xij可以視為來(lái)自N ( ，2 ) 的容量為n的子樣。故H0真的條件下有,（3） QA反映水平之間的差異,2、各平方和的作用及分布,故當(dāng)H0真時(shí)1 2 r ，有,故 QA是由于水平之間的差異引起的,（4） QA分布,2、各平方和的作用及分布,QT QA QE的意義：總離差由兩部份構(gòu)成， 其一是由各水平（母體）的子樣值內(nèi)部的差異引 起，其二是由于水平之間的差異引起的，,由于QT QA QE,當(dāng)H0真時(shí),故當(dāng)H0真時(shí),如果原假設(shè)H0成立，即有,3、 H0的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,:m1 = m2 = mr,相差不大，而,故H0 成立時(shí)QA 不應(yīng)太大，取

9、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為,由于QA及 QT QA QE，故QA與F 等價(jià)， H0 成立時(shí) F 應(yīng)小。故 H0 的拒絕域?yàn)?（三）H0 的拒絕域,滿足,F 臨界值為,（四）單因素方差分析表,（五）單因素方差計(jì)算,1、用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算SPSSTSP,在Excel實(shí)現(xiàn)：（1）輸入數(shù)據(jù)（ r列）；（2）在“工具”下拉“數(shù)據(jù)分析”，即可找到“單因方差分析”,【例】為了比較四種肥料對(duì)小麥畝產(chǎn)量的影響，取一片土壤肥沃程度和水利灌溉條件差不多的土地分成16塊，肥料品種A1、A2、 A3、A4，每種肥料施在四塊土地上，得畝產(chǎn)：,？不同品種肥料對(duì)小麥畝產(chǎn)量的作用是否有差異,解：在Excel下運(yùn)算得：,子樣落入拒絕域，拒絕H0，

10、有證據(jù)表明，不同的肥料品種對(duì)小麥畝產(chǎn)量的影響是有顯著差異。,各平方和的計(jì)算 由子樣方差的計(jì)算公式,得：,（1）簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)（全部數(shù)據(jù)加減同一個(gè)數(shù)，或 同乘一個(gè)數(shù)，F(xiàn)值不變）,2、手工計(jì)算,（2）列表計(jì)算,和,（3）計(jì)算QT ，QE ，QA,（4）計(jì)算,（5）判斷子樣是否落入拒絕域,【例】某燈泡廠用四種不同配料方案制成的燈絲生產(chǎn)四批燈泡，在每批中抽取若干試驗(yàn)，得,問(wèn)不同的燈絲配方對(duì)燈泡的壽命的影響有無(wú)顯著差異？,解：所有數(shù)據(jù)減1600,所以，在 = 0.05的水平上不拒絕H0。認(rèn)為不同燈泡的配方對(duì)燈泡的壽命的影響無(wú)顯著差異。,四、母體平均數(shù)的兩兩比較,2、方法：可采用Fisher提出的最小顯著差異方

11、法，簡(jiǎn)寫為L(zhǎng)SD（或t 檢驗(yàn)） LSD方法是對(duì)檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值是否相等的t 檢驗(yàn)方法的總體方差估計(jì)加以修正(用MSE來(lái)代替 )而得到的,1、意義：若拒絕H0，只能得到各母體的平均 數(shù)有差異。通過(guò)對(duì)母體平均數(shù)之間的兩兩比較 來(lái)進(jìn)一步檢驗(yàn)到底哪些均值之間存在差異,（一）母體平均數(shù)的兩兩比較檢驗(yàn),3、 LSD方法步驟： （1）提出假設(shè) H0: mi = mj (第i個(gè)母體的均值等于第j個(gè)總體的均值) H1: mi mj (第i個(gè)母體的均值不等于第j個(gè)總體的均值),（2）計(jì)算 LSD :,（3） H0拒絕域?yàn)?或：（t檢驗(yàn)） （1）提出假設(shè) H0: mi = mj (第i個(gè)母體的均值等于第j個(gè)總體的均

12、值) H1: mi mj (第i個(gè)母體的均值不等于第j個(gè)總體的均值),（2）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,（3） H0拒絕域?yàn)?第一步：提出假設(shè) 檢驗(yàn)1： 檢驗(yàn)2： 檢驗(yàn)3： 檢驗(yàn)4： 檢驗(yàn)5： 檢驗(yàn)6：,對(duì)上例,第三步：計(jì)算LSD,（二） mi mj 的置信區(qū)間,由于，故,由獨(dú)立性，有,由獨(dú)立性，有,故有,故有mi mj 的置信區(qū)間為,例：m1 m4 的置信區(qū)間為,即 58.42365m1 m4 164.9098,五、單因素方差分析的等價(jià)模型,1、模型：設(shè)有r個(gè)母體Xi i =1,2, n ，母體,H0: 1 2 r,H1: 1 ，2 ，r不全相等,2、等價(jià)模型：設(shè)，則有,等價(jià)模型：,！H1可以不寫,4.2

13、雙因素方差分析,雙因素方差分析及其類型 無(wú)交互作用的雙因素方差分析 有交互作用的雙因素方差分析,一、雙因素方差分析(two-way analysis of variance),1、雙因素方差分析：分析兩個(gè)因素(行因素 Row和列因素Column)變動(dòng)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響,例1：農(nóng)產(chǎn)品品種（因素1）和肥料（因素2） 對(duì)農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)量（試驗(yàn)結(jié)果）的影響。,例2：銷售地區(qū)（因素1）和品牌（因素2）對(duì) 電視機(jī)銷售量（試驗(yàn)結(jié)果）的影響。,2、雙因素方差分析的類型 （1）如果兩個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響是相互獨(dú)立的，分別判斷行因素和列因素對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的影響，這時(shí)的雙因素方差分析稱為無(wú)交互作用的雙因素方差分析或無(wú)重復(fù)雙因

14、素方差分析(Two-factor without replication) （2）如果除了行因素和列因素對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的單獨(dú)影響外，兩個(gè)因素的搭配還會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生一種新的影響，這時(shí)的雙因素方差分析稱為有交互作用的雙因素方差分析或可重復(fù)雙因素方差分析 (Two-factor with replication ),交互作用 例：兩因素N（氮肥）和P（磷肥），每個(gè)因素 有2個(gè)水平，對(duì)小麥畝產(chǎn)量的影響如下表,560400305080,二、無(wú)交互作用的雙因素方差分析(無(wú)重復(fù)雙因素分析),（一）試驗(yàn)方法和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),因素 A 有r 個(gè)水平，A1、A2、 A3、 Ar ；,因素 B 有s 個(gè)水平，B1、B2、 B3

15、、 Bs .,1、試驗(yàn)方法：A 因素的第 i個(gè)水平Ai ， B 因素的第 j 個(gè)水平Bj 的搭配下試驗(yàn)一次，得母體Xij，觀察得數(shù)據(jù),2、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：,（二）模型：設(shè),對(duì)行因素提出的假設(shè)為,H0:行因素的變動(dòng)對(duì)結(jié)果的影響無(wú)顯著差異,對(duì)行因素提出的假設(shè)為,H1:行因素的變動(dòng)對(duì)結(jié)果的影響有顯著差異,H0:列因素的變動(dòng)對(duì)結(jié)果的影響無(wú)顯著差異,對(duì)列因素提出的假設(shè)為,H1:列因素的變動(dòng)對(duì)結(jié)果的影響有顯著差異,1、平方和 （1）總平方和（總離差）,第 i 行的平均數(shù),全部子樣的平均數(shù),（三） 方差分析,第 j 列的平均數(shù),（2）組內(nèi)差（誤差項(xiàng)離差平方和）（隨機(jī)誤差）,（3）組間差（水平項(xiàng)離差平方和） （系統(tǒng)

16、誤差）,（4）各平方和的關(guān)系,QT QA QB QE的意義：總離差由三部份構(gòu)成 ，其一是各水平（母體）的子樣值內(nèi)部的差異（ 2 ） 引起，其二是由于A因素的各水平之間的差異引起的， 第三部份是由于B因素的各水平之間的差異引起的。,QT QA QB QE,（5）各平方和的自由度和分布,2 、 H0的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及拒絕域,行檢驗(yàn)：, 列檢驗(yàn)：,3、方差分析表,【例】在某種橡膠的配方中，考慮了三種不同的促進(jìn)劑，四種不同份量的氧化鋅。各配方試驗(yàn)一次，測(cè)得300%定強(qiáng)如下(=0.05),問(wèn)不同的促進(jìn)劑、不同份量的氧化鋅分別對(duì)定強(qiáng)的影響有無(wú)顯著差異？,解：,1、假設(shè),對(duì)行因素提出的假設(shè)為 H0: 行因素的各

17、個(gè)水平的均值相等 （不同促進(jìn)劑對(duì)定強(qiáng)的影響是無(wú)顯著差異） H1: 行因素的各個(gè)水平的均值不全相等 （不同促進(jìn)劑對(duì)定強(qiáng)的影響是顯著差異） 對(duì)列因素提出的假設(shè)為 H0: 列因素的各個(gè)水平的均值相等 （不同份量氧化鋅對(duì)定強(qiáng)的影響是無(wú)顯著差異的） H1: 列因素的各個(gè)水平的均值不全相等 （不同份量氧化鋅對(duì)定強(qiáng)的影響是顯著差異的）,FA36.3F（2,6）5.14，拒絕原假設(shè)H0，說(shuō)明不同促進(jìn)劑對(duì)定強(qiáng)的影響是有顯著差異 FB56.3F（3,6）4.76，拒絕原假設(shè)H0，不同份量氧化鋅對(duì)定強(qiáng)的影響是顯著差異的。,2、計(jì)算得方差分析表,三、有交互作用的雙因素方差分析(重復(fù)試驗(yàn)雙因素分析),（一）試驗(yàn)方法和數(shù)

18、據(jù)結(jié)構(gòu),因素 A 有r 個(gè)水平，A1、A2、 A3、 Ar ；,因素 B 有s 個(gè)水平，B1、B2、 B3、 Bs .,1、試驗(yàn)方法：A 因素的第 i個(gè)水平Ai ， B 因素的第 j 個(gè)水平Bj 的搭配下試驗(yàn)c（ c 1）次，得母體Xij，子樣值Xij1， Xij2， Xijc。,2、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：,（二）假設(shè),對(duì)行因素提出的假設(shè)為 H0: 行因素的各個(gè)水平的均值相等 H1: 行因素的各個(gè)水平的均值不全相等 對(duì)列因素提出的假設(shè)為 H0: 列因素的各個(gè)水平的均值相等 H1: 列因素的各個(gè)水平的均值不全相等 對(duì)行因素和列因素的搭配提出的假設(shè)為 H0: 行和列因素的各個(gè)水平搭配對(duì)結(jié)果的影響無(wú)差異 H1:行和列因素的各個(gè)水平搭配對(duì)結(jié)果的影響有差異,（三）方差分析表,（四）拒絕域,1、行檢驗(yàn)拒絕域,2、列檢驗(yàn)拒絕域,3、交互作用檢驗(yàn)的拒絕域,即比較F和F-crit,【例】城市道路交通管理部門為研究不同的路段和不同的時(shí)間段對(duì)行車時(shí)間的影響，讓一名交通警察分別在兩個(gè)路段和高峰期與非高峰期親自駕車進(jìn)行試驗(yàn)，通過(guò)試驗(yàn)取得共獲得20個(gè)行車時(shí)間(分鐘)的數(shù)據(jù)，如下表。試分析路段、時(shí)段以及路段和時(shí)段的交互作用對(duì)行車時(shí)間的影響,對(duì)行因素提出的假設(shè)為 H0:不同的時(shí)間段對(duì)行車時(shí)間的影響無(wú)差異 H1:不