1、3.2雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)等).2.理解離心率的定義、取值范圍和漸近線方程.3.掌握標(biāo)準(zhǔn)方程中 a，b，c，e 間的關(guān)系.4.能用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問題.知識(shí)點(diǎn)一雙曲線的范圍、對(duì)稱性思考觀察下面的圖形：(1)從圖形上可以看出雙曲線是向兩端無(wú)限延伸的，那么是否與橢圓一樣有范圍限制？(2)是不是軸對(duì)稱圖形？對(duì)稱軸是哪條直線？是不是中心對(duì)稱圖形？對(duì)稱中心是哪個(gè)點(diǎn)？梳理(1)雙曲線1(a0，b0)中要求x_，y_.雙曲線1(a0，b0)中要求x_，y_.(2)雙曲線的對(duì)稱軸為_，對(duì)稱中心為_.知識(shí)點(diǎn)二雙曲線的頂點(diǎn)思考 (1)雙曲

2、線的頂點(diǎn)就是雙曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，你認(rèn)為對(duì)嗎？為什么？(2)雙曲線是否只有兩個(gè)頂點(diǎn)？雙曲線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)能在虛軸上嗎？梳理雙曲線1(a0，b0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_，_；雙曲線1(a0，b0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_，_.知識(shí)點(diǎn)三漸近線與離心率思考1能否和橢圓一樣，用a，b表示雙曲線的離心率？思考2離心率對(duì)雙曲線開口大小有影響嗎？滿足什么對(duì)應(yīng)關(guān)系？梳理(1)漸近線：直線_叫作雙曲線1(a0，b0)的漸近線.(2)離心率：雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比_，叫作雙曲線的離心率，用e表示(e1).(3)雙曲線的性質(zhì)見下表：標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xaya或ya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心

3、：原點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)：A1(a,0)，A2(a,0)頂點(diǎn)坐標(biāo)：A1(0，a)，A2(0，a)漸近線離心率e，e(1，)，其中ca，b，c間的關(guān)系c2a2b2(ca0，cb0)類型一已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其簡(jiǎn)單性質(zhì)例1求雙曲線nx2my2mn(m0，n0)的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程.引申探究將本例改為“求雙曲線9y24x236的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率和漸近線方程”，請(qǐng)給出解答.反思與感悟由雙曲線的方程研究性質(zhì)的解題步驟(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決本題的關(guān)鍵.(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置，確定a，b的值.(3)由c2a2b2求出c的值，

4、從而寫出雙曲線的性質(zhì).跟蹤訓(xùn)練1求雙曲線9y216x2144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程.類型二由雙曲線的性質(zhì)確定標(biāo)準(zhǔn)方程例2求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)與橢圓1有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(2，)；(2)過點(diǎn)(3,9)，離心率e.反思與感悟(1)根據(jù)雙曲線的某些性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點(diǎn)的位置，從而正確選擇方程的形式.(2)巧設(shè)雙曲線方程的六種方法與技巧焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為1(a0，b0).焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為1(a0，b0).與雙曲線1共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為1(0，b20，b0)的離心率e，過點(diǎn)A(0，

5、b)和B(a,0)的直線與原點(diǎn)的距離為，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.類型三共軛雙曲線與等軸雙曲線命題角度1共軛雙曲線例3已知雙曲線E與雙曲線1共漸近線，且過點(diǎn)A(2，3).若雙曲線M以雙曲線E的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，試求雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程.反思與感悟雙曲線1(a0，b0)與雙曲線1(a0，b0)互為共軛雙曲線，兩者：(1)有共同的漸近線.(2)四個(gè)焦點(diǎn)共圓.(3)它們的離心率不同，設(shè)它們的離心率分別為e1，e2，則1.(4)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸不同，一個(gè)在x軸上，另一個(gè)在y軸上.跟蹤訓(xùn)練3與雙曲線1有共同漸近線，且過點(diǎn)(3,2)的雙曲線的共軛雙曲線的方程為_.命題角度2等軸雙曲線例4已知等軸雙曲線的焦點(diǎn)

6、在x軸上，且焦點(diǎn)到漸近線的距離是，求此雙曲線的方程.反思與感悟(1)實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫作等軸雙曲線.(2)等軸雙曲線的性質(zhì)：漸近線方程為yx；漸近線互相垂直；離心率e.(3)等軸雙曲線的特征是ab，等軸雙曲線的方程可以設(shè)為x2y2(0).當(dāng)0時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)0，b0)的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率e為()A. B.2 C. D.類型四直線與雙曲線的位置關(guān)系命題角度1直線與雙曲線位置關(guān)系的判定與交點(diǎn)問題例5已知直線ykx1與雙曲線x2y24.(1)若直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，求k的取值范圍；(2)若直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，求k的取值范圍；(3)若直線與雙曲線只有一個(gè)公共

7、點(diǎn)，求k的值.反思與感悟研究直線與雙曲線的位置關(guān)系，一般通過解直線方程與雙曲線方程所組成的方程組的解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷.代入得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20.當(dāng)b2a2k20，即k時(shí)，直線與雙曲線漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線交于一點(diǎn).當(dāng)b2a2k20，即k時(shí)，(2a2mk)24(b2a2k2)(a2m2a2b2).0直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，稱直線與雙曲線相交；0直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，稱直線與雙曲線相切；時(shí)，直線l只與雙曲線一支相交，交點(diǎn)有兩個(gè)；如圖，0)與直線l：xy1相交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn).(1)求雙曲線的離心率e的取值范圍；(2)設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，且，求a的值.命

8、題角度2直線與雙曲線的相交弦及弦長(zhǎng)問題例6(1)求直線yx1被雙曲線x21截得的弦長(zhǎng)；(2)求過定點(diǎn)(0,1)的直線被雙曲線x21截得的弦中點(diǎn)的軌跡方程.反思與感悟(1)利用弦長(zhǎng)公式|AB|xAxB|，求解的關(guān)鍵是正確應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系，整理時(shí)要始終保持兩根之和、兩根之積的形式.(2)涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系.其具體解題思路如下：設(shè)直線與雙曲線相交所得弦AB端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k，則|AB|x1x2|.涉及弦長(zhǎng)的問題，常常設(shè)而不求.中點(diǎn)弦問題：

9、設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是雙曲線1(a0，b0)上不同的兩點(diǎn)，且x1x2，x1x20，M(x0，y0)為線段AB的中點(diǎn)，則兩式相減可得，即kAB.跟蹤訓(xùn)練6已知雙曲線的方程為2x2y22.(1)過定點(diǎn)P(2,1)作直線交雙曲線于P1，P2兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P(2,1)是弦P1P2的中點(diǎn)時(shí)，求此直線方程；(2)過定點(diǎn)Q(1,1)能否作直線l，使l與此雙曲線相交于Q1，Q2兩點(diǎn)，且Q是弦Q1Q2的中點(diǎn)？若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.1.設(shè)雙曲線1的漸近線方程為3x2y0，則a的值為()A.4 B.3 C.2 D.12.已知雙曲線1(a0)的右焦點(diǎn)為(3,0)，則雙曲線的離心率等于

10、()A. B. C. D.3.等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是F1(6,0)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1 B.1C.1 D.14.若雙曲線1的漸近線方程為yx，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_.5.設(shè)雙曲線1(a0，b0)的虛軸長(zhǎng)為2，焦距為2，則雙曲線的漸近線方程為_.雙曲線的綜合問題常涉及其離心率、漸近線、范圍等，與向量、三角函數(shù)、不等式等知識(shí)交匯考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.(1)當(dāng)與向量知識(shí)結(jié)合時(shí)，注意運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將向量間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)問題，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，將所求問題與條件建立關(guān)系求解.(2)當(dāng)與直線有關(guān)時(shí)，常常聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消元后利用一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造相

11、關(guān)關(guān)系求解.提醒：完成作業(yè)第三章33.2答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考(1)有限制，因?yàn)?，即x2a2，所以xa或xa.(2)關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱的，x軸、y軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，又叫作雙曲線的中心.梳理(1)(，aa，)RR(，aa，)(2)x軸、y軸原點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二思考 (1)不對(duì)，雙曲線的頂點(diǎn)是雙曲線與其對(duì)稱軸的交點(diǎn)，只有在標(biāo)準(zhǔn)形式下，坐標(biāo)軸才是雙曲線的對(duì)稱軸，此時(shí)雙曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn).(2)是，只有兩個(gè)頂點(diǎn).雙曲線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)都不能在虛軸上，只能在實(shí)軸上.梳理(a,0)(a,0)(0，a)(0，a)知識(shí)點(diǎn)三思考1能，離心率e .思考2有影響，因?yàn)閑 ，故當(dāng)

12、的值越大，漸近線yx的斜率越大，雙曲線的開口越大，e也越大，所以e反映了雙曲線開口的大小，即雙曲線的離心率越大，它的開口就越大.梳理(1)yx(2)(3)yxyx題型探究例1解把方程nx2my2mn(m0，n0)化為標(biāo)準(zhǔn)方程為1(m0，n0)，由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a，虛半軸長(zhǎng)b，c，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)，離心率e ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)，所以漸近線方程為y x，即yx.引申探究解將9y24x236變形為1，即1，所以a3，b2，c，因此頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，(3,0)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)，實(shí)軸長(zhǎng)是2a6，虛軸長(zhǎng)是2b4，離心率e，漸近線方程為yxx.跟蹤訓(xùn)練1解把方程9

13、y216x2144化為標(biāo)準(zhǔn)方程1.由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a4，虛半軸長(zhǎng)b3；c5，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，5)，(0,5)；離心率e；漸近線方程為yx.例2解(1)方法一橢圓1的焦點(diǎn)為F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，則有解得故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二由橢圓方程1知焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(160)，則c210k，b2c2a2k.于是，設(shè)所求雙曲線方程為1，或1，把(3,9)代入，得k161與k0矛盾，無(wú)解；把(3,9)代入，得k9，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.跟蹤訓(xùn)練2解(1)設(shè)所求雙曲線的方程為(0).點(diǎn)M(3，2)在雙曲線上，即2.雙曲線的

14、標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)e，a23b2.又直線AB的方程為bxayab0，d，即4a2b23(a2b2).解組成的方程組，得a23，b21.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.例3解由題意，設(shè)雙曲線E的方程為t(t0).點(diǎn)A(2，3)在雙曲線上，t，t，雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.又雙曲線M與雙曲線E互為共軛雙曲線，故雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.跟蹤訓(xùn)練31例4解設(shè)雙曲線方程為x2y2a2(a0)，則它的漸近線方程為yx，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0)，(a,0)，a，雙曲線的方程為x2y22.跟蹤訓(xùn)練4A例5解由得(1k2)x22kx50.(1)直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則式方程無(wú)解.解得k或k或k.(2)直線與雙曲線有兩個(gè)

15、公共點(diǎn)，則式方程有兩個(gè)不相等的根.解得k且k1.(3)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則式方程只有一解.當(dāng)1k20，即k1時(shí)，式方程只有一解；當(dāng)1k20時(shí)，應(yīng)滿足4k220(1k2)0，解得k，故k的值為1或.跟蹤訓(xùn)練5解(1)由得(1a2)x22a2x2a20，由題意得得0a且e.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知P(0,1)，(x1，y11)(x2，y21)，故x1x2.又x1，x2是方程的兩個(gè)根，x2，x.又a0，a.例6解(1)由得4x2(x1)240.化簡(jiǎn)得3x22x50.設(shè)此方程的解為x1，x2，則有x1x2，x1x2.故所截得的弦長(zhǎng)d|x1x2|.(2)方法一該直線的斜

16、率不存在時(shí)，直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，故可設(shè)直線的方程為ykx1，它被雙曲線截得的弦AB對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)為P(x，y).由得(4k2)x22kx50.設(shè)此方程的解為x1，x2，則4k20，4k220(4k2)0，16k280，即|k|，k2，且x1x2，x1x2，x(x1x2)，y(y1y2)(x1x2)1.由消去k，得4x2y2y0(y4或y1).方法二設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦的中點(diǎn)為P(x，y)，則，得4(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，即(k為直線AB的斜率)，整理得4x2y2y0(y0.當(dāng)k22，即k時(shí)，此時(shí)與漸近線的斜率相等，即k的直線l與雙曲線不可能有兩個(gè)交點(diǎn).綜上可知，所求直線的方程為4xy70.(2)假設(shè)這樣的直