1、直線系與對(duì)稱問(wèn)題,直線系方程的定義,直線系： 具有某種共同性質(zhì)的所有直線的集合,1.與直線L：Ax+By+C=0平行的直線系方程為： Ax+By+m=0 （其中mC）；,直線系方程的種類1:,2與直線L：Ax+By+C=0垂直的直線系方程為: Bx-Ay+m=0 （m為待定系數(shù)）.,直線系方程的種類2:,直線系方程的種類3:,3. 過(guò)定點(diǎn)P（x0，y0）的直線系方程為：,推導(dǎo)：,設(shè)直線的斜率為,A(x-x0)+B(y-y0)0,說(shuō)明:(2)比(1)少一條直線,即:(2)應(yīng)考慮k不存在的情況,(1),(2),A(x-x0)+B(y-y0)0,直線系方程的種類4:,4. 若直線L1：A1x+B1y

2、+C1=0與直線L2：A2x+B2y+C2=0 相交，交點(diǎn)為P（x0，y0），則過(guò)兩直線的交點(diǎn)的 直線系方程為:m(A1x+B1y+C1 )+n( A2x+B2y+C2)=0(1), 其中m、n為待定系數(shù).,A1x+B1y+C1 +k( A2x+B2y+C2)=0(2) 其中k為待定系數(shù).方程(2)比(1)少一條直線。,4. 若直線L1：A1x+B1y+C1=0與直線L2：A2x+B2y+C2=0 相交，交點(diǎn)為P（x0，y0），則過(guò)兩直線的交點(diǎn)的 直線系方程為：A1x+B1y+C1k( A2x+B2y+C2)=0, 其中k為待定系數(shù).,所以,A1x0+B1y0+C1+k(A2x0+B2y0+C

3、2)=0,證明：,直線A1x0+B1y0+C1+k(A2x0+B2y0+C2)=0 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（x0，y0）,直線系方程的應(yīng)用:,例1.求證：無(wú)論m取何實(shí)數(shù)時(shí)，直線 (m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。,解法1：,將方程變?yōu)椋?解得：,即：,故直線恒過(guò),例2. 求過(guò)兩直線x-2y+4=0和x+y-2=0的交點(diǎn)， 且滿足下列條件的直線L的方程。 (1) 過(guò)點(diǎn)(2, 1) (2) 和直線3x-4y+5=0垂直。,代（2，1）入方程，得：,所以直線的方程為：,3x+2y+4=0,解（1）設(shè)經(jīng)二直線交點(diǎn)的直線方程為：,例2.求過(guò)兩直線x-2y+4=0和x+y-2=0的交

4、點(diǎn)， 且滿足下列條件的直線L的方程。 (1) 過(guò)點(diǎn)(2, 1) (2) 和直線3x-4y+5=0垂直。,解得：,由已知：,故所求得方程是：,4x+3y-6=0,將方程變?yōu)椋?解:（2）設(shè)經(jīng)二直線交點(diǎn)的直線方程為：,直線對(duì)稱問(wèn)題,點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、線點(diǎn)、線線對(duì)稱,知識(shí)歸納:,二.對(duì)稱問(wèn)題的相關(guān)結(jié)論:,知識(shí)歸納:,二.對(duì)稱問(wèn)題的相關(guān)結(jié)論:,5、常用的對(duì)稱關(guān)系 點(diǎn)(a,b) 關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)(a,-b)， 關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-a,b)， 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)(-a,-b), 關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為(b,a)， 關(guān)于直線y= -x的對(duì)稱點(diǎn)(-b,-a),， 關(guān)于直線y=x+m的對(duì)稱點(diǎn)為(b-m,a+m),

5、關(guān)于直線y= -x+m的對(duì)稱點(diǎn)(m-b,m-a). 只要斜率為1都可以直接代換！,例題講解:,3x+y-12=0,3x-y+3=0,y2=16-4x,8x+16y+21=0,例2：光線從點(diǎn)A（-3，4）發(fā)出，經(jīng)過(guò)x軸反射，再經(jīng)過(guò)y軸反射，光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-2，6），求射入y軸后的反射線的方程。,變式：一條光線經(jīng)過(guò)P(2,3)點(diǎn)，射在直線 ：x+y+1=0上，反射后穿過(guò)點(diǎn)Q(1,1) （1）求入射光線所在的直線方程 （2）求這條光線從P到Q的長(zhǎng)度。,【思維點(diǎn)撥】：由物理中光學(xué)知識(shí)，入射光線和反射光線關(guān)于法線對(duì)稱轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問(wèn)題。,例3、已知平面上兩點(diǎn)A ( 4，1 ) 和B ( 0，4 ) 在直線

6、：3x y 1 = 0 上求一點(diǎn) M， 使| | MA | | MB | | 為最大；,M,(2) 使 | MA | + | MB | 為最小。,B (0, 4),M,M1,例3、已知平面上兩點(diǎn)A ( 4，1 ) 和B ( 0，4 ) 在直線 ：3x y 1 = 0 上求一點(diǎn) M， 使| | MA | | MB | | 為最大；,M,由圖知：A、B1、M三點(diǎn)共線 且 M 在線段AB1的延長(zhǎng)線上 時(shí)，| | MA | | MB | | 最大,分析：先求B關(guān)于 的對(duì)稱點(diǎn)B1,M( 2, 5 ),(2) 使 | MA | + | MB | 為最小。,B (0, 4),M,解：由圖知：A、M、B 三點(diǎn)共線且 M 在線 段AB 上時(shí)， | MA | + | MB | 最小, | M1A | + | M1B | | AB |,M1,變式,思考：若A,B兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)呢？,例4已知點(diǎn)M（3，5），在直線： 和y軸上