1、, 1引言 問題的提出 函數(shù)解析式未知,通過實驗觀測得到的一組數(shù)據(jù), 即在某個區(qū)間a, b上給出一系列點的函數(shù)值 yi= f(xi) 或者給出函數(shù)表,y=f(x),y=p(x),第二章 插值法,插值法的基本原理 設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在區(qū)間a, b上, 是 a, b上取定的n+1個互異節(jié)點,且在這些點處的函數(shù)值 為已知 ,即 若存在一個f(x)的近似函數(shù) ,滿足 則稱 為f(x)的一個插值函數(shù), f(x)為被插函數(shù), 點 xi為插值節(jié)點, 稱(2.1)式為插值條件, 而誤差函數(shù) R(x)= 稱為插值余項, 區(qū)間a, b稱為插值 區(qū)間, 插值點在插值區(qū)間內(nèi)的稱為內(nèi)插, 否則稱外插,(2.1),插

2、值函數(shù) 在n+1個互異插值節(jié)點 (i=0,1,n ) 處與 相等,在其它點x就用 的值作為f(x) 的近似值。這一過程稱為插值，點x稱為插值點。換 句話說, 插值就是根據(jù)被插函數(shù)給出的函數(shù)表“插出”所要點的函數(shù)值。用 的值作為f(x)的近似值,不僅希 望 能較好地逼近f(x),而且還希望它計算簡單 。由于代數(shù)多項式具有數(shù)值計算和理論分析方便的優(yōu)點。所以本章主要介紹代數(shù)插值。即求一個次數(shù)不超過n次的多項式。,滿足,則稱P(x)為f(x)的n次插值多項式。這種插值法通常稱為代數(shù)插值法。其幾何意義如下圖所示,定理1 n次代數(shù)插值問題的解是存在且惟一的,證明: 設(shè)n次多項式,是函數(shù) 在區(qū)間a, b上的

3、n+1個互異的節(jié)點 (i=0,1,2,n )上的插值多項式,則求插值多項式P(x) 的問題就歸結(jié)為求它的系數(shù) (i=0,1,2,n )。,由插值條件: (i=0,1,2,n),可得,這是一個關(guān)于待定參數(shù) 的n+1階線性方 程組,其系數(shù)矩陣行列式為,稱為Vandermonde（范德蒙）行列式，因xixj （當(dāng)ij），故V0。根據(jù)解線性方程組的克萊姆 （Gramer）法則，方程組的解 存在惟一，從而P(x)被惟一確定。,惟一性說明，不論用何種方法來構(gòu)造，也不論用何種形式來表示插值多項式,只要滿足插值條件(2.1)其結(jié)果都是相互恒等的。,2 拉格朗日（Lagrange）插值 為了構(gòu)造滿足插值條件 (

4、i=0,1,2,n ) 的便于使用的插值多項式P(x),先考察幾種簡單情形, 然后再推廣到一般形式。（ 線性插值與拋物插值） （1）線性插值 線性插值是代數(shù)插值的最簡單形式。假設(shè)給定了函數(shù) f(x)在兩個互異的點的值， ,現(xiàn)要求用線性函數(shù) 近似地代替f(x)。選 擇參數(shù)a和b, 使 。稱這樣的線性函數(shù)P(x)為f(x)的線性插值函數(shù) 。,線性插值的幾何意義:用 通過點 和 的直線近似地代替曲線 y=f(x)由解析幾何知道, 這條直線用點斜式表示為,為了便于推廣，記,這是一次函 數(shù),且有性質(zhì),與 稱為線性插值基函數(shù)。且有,于是線性插值函數(shù)可以表示為與基函數(shù)的線性組合,例2.1 已知 , , 求,

5、解: 這里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, 利用線性插值,（2） 拋物插值 拋物插值又稱二次插值，它也是常用的代數(shù)插值之一。設(shè)已知f(x)在三個互異點x0，x1，x2的函數(shù)值y0，y1，y2，要構(gòu)造次數(shù)不超過二次的多項式 使?jié)M足二次插值條件： 這就是二次插值問題。其幾何意義是用經(jīng)過3個點 的拋物線 近似代替曲線 ,如下圖所示。因此也稱之為拋物插值。,P(x)的參數(shù) 直接由插值條件決定， 即 滿足下面 的代數(shù)方程組：,該三元一 次方程組 的系數(shù)矩陣,的行列式是范德蒙行列式，當(dāng) 時， 方程組的解唯一。,為了與下一節(jié)的Lagrange插值公式比較,仿線性插值,用基函數(shù)的方法求解方

6、程組。先考察一個特殊的二次插值問題： 求二次式 ,使其滿足條件：,這個問題容易求解。由上式的后兩個條件知: 是 的兩個零點。于是,再由另一條件 確定系數(shù),從而導(dǎo)出,類似地可以構(gòu)造出滿足條件： 的插值多項式,及滿足條件： 的插值多項式,這樣構(gòu)造出來的 稱為拋物插值的基函數(shù),取已知數(shù)據(jù) 作為線性組合系數(shù),將基函數(shù) 線性組合可得,容易看出,P(x)滿足條件,拉格朗日插值多項式 兩個插值點可求出一次插值多項式,而三 個插值點可求出二次插值多項式。插值點增加到n+1 個時,也就是通過n+1個不同的已知點 ,來構(gòu)造一個次數(shù)為n的代數(shù)多項式P(x)。與推導(dǎo)拋物插值的基函數(shù)類似,先構(gòu)造一個特殊n次多項式 的插

7、值問題,使其在各節(jié)點 上滿足,即,由條件 ( )知, 都是n次 的零點,故可設(shè),其中 為待定常數(shù)。由條件 ,可求得,于是,代入上式,得,稱 為關(guān)于基點 的n次插值基函數(shù)(i=0,1,n),以n+1個n次基本插值多項式 為基礎(chǔ),就能直接寫出滿足插值條件 的n次代數(shù)插值多項式。 事實上，由于每個插值基函數(shù) 都是n次值多項式,所以他們的線性組合,是次數(shù)不超過n次的多項式 , 稱形如（2.8）式的插 值多項式為n次拉格朗日插值多項式。并記為,（2.8）,例2.2 已知y=f(x)的函數(shù)表 求線性插值多項式, 并計算x=1.5 的值,X 1 3 y 1 2,解: 由線性插值多項式公式得,例2.3 已知x

8、=1, 4, 9 的平方根值, 用拋物插值公式, 求,(x0 x1)(x0 x2),(xx1)(xx2),y0,+,(x1x0)(x1x2),(xx0)(xx2),y1,+,(x2x0)(x2x1),(xx0)(xx1),y2,p2(7) =,x0=1, x1=4, x2=9,y0=1, y1=2, y2=3,(14)(19),(74)(79),* 1,+,(41)(49),(71)(79),* 2,+,(91)(94),(71)(74),* 3,= 2.7,p2(x) =,例2.4 已知函數(shù)y=f(x)在節(jié)點上滿足 x x0 x1 x2 y y0 y1 y2 求二次多項式 p(x) = a0

9、 + a1x + a2x2 使之滿足 p(xi) = yi i=0, 1, 2 解: 用待定系數(shù)法, 將各節(jié)點值依次代入所求多項式, 得,解上述方程, 將求出的a0, a1, a2 代入 p(x) = a0 + a1x + a2x2 即得所求二次多項式,例2.5 求過點(0,1)、(1,2)、(2,3)的三點插值多項式,解:由Lagrange 插值公式,（給定的三個點在一條直線上）,例2.6 已知f (x)的觀測數(shù)據(jù) x 0 1 2 4 f (x) 1 9 23 3 構(gòu)造Lagrange插值多項式,解 四個點可構(gòu)造三次Lagrange插值多項式:基函數(shù)為,Lagrange插值多項式為,為便于上

10、機計算,常將拉格朗日插值多項式(5.8)改寫成,例2.7 已知f(x)的觀測數(shù)據(jù),x 1 2 3 4 f(x) 0 -5 -6 3,構(gòu)造插值多項式,解: 四個點可以構(gòu)造三次插值多項式, 將數(shù)據(jù) 代入插值公式，有,這個例子說明p(x)的項數(shù)不超過n+1項，但可以有 缺項。,拉格朗日插值算法實現(xiàn),x0 x1 xixi+1 xn-1 xn,y=f(x),y=p(x),a,b,在插值區(qū)間a, b上用插值多項式p(x)近似代替f(x), 除了在插值節(jié)點xi上沒有誤差外，在其它點上一般是存在誤差的。,若記 R (x) = f(x) - p(x) 則 R(x) 就是用 p(x) 近似代替 f(x) 時的截斷

11、誤差, 或稱 插值余項我們可根據(jù)后面的定理來估計它的大小。,插值多項式的誤差,定理2 設(shè)f(x)在a, b有n+1階導(dǎo)數(shù)， x0, x1, xn 為 a, b上n+1個互異的節(jié)點, p(x)為滿足 p(xi) = f(xi) (i=1,2, , n) 的n 次插值多項式，那么對于任何x a, b有 插值余項,其中,ab 且依賴于x,證明 ( 略 ),對于線性插值，其誤差為 對于拋物插值（二次插值），其誤差為,例2.8 已知 =100, =121, 用線性插值估計 在x=115時的截斷誤差,解: 由插值余項公式知,因為,例2.9 已知x0=100, x1=121, x2=144,當(dāng)用拋物插值求

12、在x=115時的近似值，估計其的截斷誤差,解,=,例2.10 設(shè)f(x)=x4, 用余項定理寫出節(jié)點 -1, 0, 1, 2的三次插值多項式,解: 根據(jù)余項定理,3 均差與牛頓插值多項式 拉格朗日插值多項式結(jié)構(gòu)對稱，使用方便。但由于是用基函數(shù)構(gòu)成的插值，這樣要增加一個節(jié)點時，所有的基函數(shù)必須全部重新計算，不具備承襲性，還造成計算量的浪費。這就啟發(fā)我們?nèi)?gòu)造一種具有承襲性的插值多項式來克服這個缺點，也就是說，每增加一個節(jié)點時，只需增加相應(yīng)的一項即可。這就是牛頓插值多項式。,由線性代數(shù)知,任何一個不高于n次的多項式, 都可以表示成函數(shù),的線性組合, 也就是說, 可以把滿足插值條件 p(xi)=yi

13、 (i=0,1,n)的n次插值多項式, 寫成如下形式,其中ak (k=0,1,2,n)為待定系數(shù),這種形式的插值多項式稱為Newton插值多項式。我們把它記為Nn(x)即,（3.12）,可見，牛頓插值多項式Nn(x)是插值多項式p(x)的另一種表示形式, 與Lagrange多項式相比它不僅克服了“增加一個節(jié)點時整個計算工作重新開始”的缺點, 且可以節(jié)省乘除法運算次數(shù), 同時在Newton插值多項式中用到差分與差商等概念，又與數(shù)值計算的其他方面有密切的關(guān)系.,它滿足 其中ak (k=0,1,2,n)為待定系數(shù)，形如（3.12）的 插值多項式稱為牛頓(Newton)插值多項式。,3.1差商及其性質(zhì)

14、,定義 函數(shù)y= f(x)在區(qū)間xi ,xi+1上的平均變化率,自變量之差和因變量之差之比叫差商,稱為f(x)關(guān)于xi , xi+1 的一階差商,并記為fxi ,xi+1 二階差商,m階差商,fxi,xj,xk是指,fxi , xj , xk=,fxj , xk- fxi , xj ,xk- xi,一般的,可定義區(qū)間xi, xi+1 , xi+n上的n階差商為,差商及其性質(zhì),差商表,例2.11 求 f(xi)= x3在節(jié)點 x=0, 2, 3, 5, 6上的各階差商值 解: 計算得如下表,在n+1個節(jié)點處各階差商的計算方法,差商及其性質(zhì),這個性質(zhì)可用數(shù)學(xué)歸納法證明（用Lagrange插值多項式

15、比較最高項系數(shù)來得到）,性質(zhì)1 函數(shù) f(x) 的 n 階差商 f x0, x1 , , xn 可由 函數(shù)值 f (x0), f (x1 ), , f (xn ) 的線性組 合表示, 且,差商及其性質(zhì),fx0 , x1=,fx1 , x0,f(x1)- f(x0),x1 x0,性質(zhì)2 差商具有對稱性,即在k階差商中 任意交換兩個節(jié)點 和 的次序,其值不變。 例如,性質(zhì)3 若fx, x0, x1 , , xk 是 x 的 m 次多項式, 則 fx, x0, x1 , xk , xk+1是 x 的 m-1 次多項式 證：由差商定義,右端分子為 m 次多項式, 且當(dāng) x = xk+1 時, 分子為0

16、 ,故分子含有因子 xk+1 x，與分母相消后，右端為m-1 次多項式。,4.4 .1 差商及其性質(zhì),性質(zhì)4 若 f(x)是n次多項式, 則f x, x0, x1 , , xn 恒為0 證： f (x)是n次多項式，則f x, x0 是 n-1次多 項式, f x, x0, x1 是 n-2 次多項式, 依次遞推 ， f x, x0, x1 , , xn-1 是零次多項式，所以 fx,x0,x1 ,xn 0,性質(zhì)5 k階差商 和k階導(dǎo)數(shù)之間有下 列關(guān)系 這個性質(zhì)可直接用羅爾（Rolle）定理證明（或以下方法即余項方法）,牛頓(Newton)插值多項式,的系數(shù) 可根據(jù)插值條件推出, 即由 有,這

17、是關(guān)于 的下三角方程組,可以求得,一般，用數(shù)學(xué)歸納法可證明,所以n次牛頓(Newton)插值公式為,其余項,為牛頓插值多項式的誤差。由插值多項式的存在惟一性定理知，滿足同一組插值條件的拉格朗日插值多項式P(x)與牛頓插值多項式Nn(x)實際上是同一個多項式，僅是同一插值多項式的不同表達形式而已，因此得到牛頓插值多項式的誤差與拉格朗日插值多項式的誤差也完全相等。故有,可以看出，牛頓插值公式計算方便，增加一個插值點，只要多計算一項，而Nn(x)的各項系數(shù)恰好是各階差商值，很有規(guī)律,fx0,x(x- x0),= f(x) - f(x0),f(x),+ fx0,x(x- x0),=f(x0),fx1,

18、x0,x(x-x1),=fx0,x-fx1,x0,fx0,x,+ fx1,x0,x(x-x1),= fx1,x0,f(x),+ (x- x0) fx1,x0,=f(x0),+ (x- x0) (x-x1) fx1,x0,x,牛頓插值公式(另一種推導(dǎo)方法）,f(x)=f(x0)+(x- x0)fx1,x0+(x- x0)(x-x1)fx1,x0,x,fx1,x0,x,= (x-x2) fx2,x1,x0,x,+fx2,x1,x0,f(x)=f(x0)+(x- x0)fx1,x0,+ (x- x0)(x-x1)fx2,x1,x0 + (x- x0)(x-x1)(x-x2) fx2,x1,x0,x,

19、Nn(x),Rn(x),如當(dāng)n=1時， f(x) = f(x0) + (x- x0)fx1,x0 + (x- x0)(x-x1) fx1,x0,x Nn(x)= f(x0) + (x- x0)fx1,x0,其中Nn(x)稱為牛頓插值多項式 Rn(x)稱為牛頓插值余項,4.4.2 牛頓插值公式,N2(7)=1+(7-1)*0.33333+ (7-1)*(7-4)*(-0.01667)= 2.69992,+ (x- x0) (x-x1) fx1,x0,x2,+ (x- x0) fx1,x0,=f(x0),N(x),例 2.12 已知 x = 1, 4, 9 的平方根值，求 解：,牛頓插值余項,由,

20、建起了差商和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,用導(dǎo)數(shù)代替牛頓插值多項式中的差商，有,差商和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系也可用羅爾定理證出，余項,R(x) =f(x)- P(x),R(xi) =f(xi)- P(xi)=0 i=0,1, ,n,Rn(n)(x) =f (n)(x)- Pn(n)(x),=f (n)(x)- f(x0)+(x-x0) fx0, x1,+(x-x0)(x-x1) fx0, x1 , x2,+(x-x0)(x-x1)(x-xn-1)fx0,x1,xn(n),=f (n)(x)- n! fx0,x1,xn,Rn(xi)=0 (i=0,1,.,n),Rn(i)=0 (i=0,1,.,n-1),Rn(n)()=0

21、(x0,x1,xn),Rn(n)()=0=f (n)()- n! fx0,x1,xn,即R(x)在x0, xn有n+1個零點，根據(jù)羅爾定理R(n)(x)在 x0, xn有1個零點，設(shè)為，即有 Rn(n)()=0,增加新節(jié)點x，并且f(x)為(n+1)階可導(dǎo)時，有,(x0,x1,xn),(x0,x1,xn,x),|f(x)(n+1)|Mn+1,4.4 .1 差商及其性質(zhì),例2.13 已知 x=0, 2, 3, 5 對應(yīng)的函數(shù)值為 y=1, 3, 2, 5 , 作三次Newton插值多項式。 xi f(xi) 一階差商 二階差商 三階差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2

22、 5/6 3/10 所求的三次Newton插值多項式為,4.4 .1 差商及其性質(zhì),例2.14 已知 f(x) = x7+ x4+ 3x+ 1 求 f 20, 21, 27 及 f 20, 21, 27, 28 分析：本題 f(x)是一個多項式, 故應(yīng)利用差商的性質(zhì) 解: 由差商與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,例2.15 求 并估計其誤差,解：作函數(shù) f(x) =,取 x0=4, x1=9, x2=6.25 , 建立差商表,N2(7)= 2,+ (7-4)*0.2,+ (7-4)*(7-9)*(-0.00808),= 2.64848,f 3(x) =,Rn (x),在區(qū)間 4 , 9 上，,余式近似 0.5

23、 *10 -2, N2(7) = 2.64848 可舍入為2.65,| f(x)(n+1) | Mn+1,由,差分與等距節(jié)點插值,等距節(jié)點 xi+1 - xi = h ， 函數(shù)在等距節(jié)點上的值為y0 , y1, , yn ，稱 yi-1= yi - yi-1 為函數(shù)f(x) 在xi-1, xi上的一階差分。稱 2yi-1= yi - yi-1= yi+1 - 2yi + yi-1 為函數(shù)f(x) 在xi-1, xi+1上的二階差分。稱 kyi-1= k-1yi - k-1yi-1 為函數(shù)f(x) 在xi-1, xi+k-1上的 k 階差分。,當(dāng)插值節(jié)點等距分布時, 被插值函數(shù)的變化率就可用差分

24、來表示, 這時牛頓插值公式的形式更簡單, 計算量更小,y0 = y1 y0,y1 = y2 y1,y2 = y3 y2,y3 = y4 y3,2y0 = y1 - y0,2y1= y2 - y1,2y2= y3 - y2,3y0= 2y1 - 2y0,3y1= 2y2 - 2y1,4y0,等距節(jié)點插值,y0= y1 y0 y1= y2 y1 y2= y3 y2,= y2 2y1 +y0,2y0= y1 - y0,3y0= 2y1 - 2y0,= y3 2y2 +y1, (y2 2y1 +y0),= y3 3y2 +3y1 y0,2y1= y2 - y1,= y3 2y2 +y1,(a-b)3=

25、a3-3a2b+3ab2-b3,(a-b)2=a2-2ab+b2,(a-b)4=a4-4a3b+6a2b2-4ab3+b3,結(jié)論：各階差分中函數(shù)值的系數(shù)正好等于 (a-b)r展開式中的系數(shù),等距節(jié)點情況下xi= x0+ih ，用差分表示差商：,=,y1 y0,h,=,y0,1!h,fx1 , x2=,y2 y1,h,=,y1,1!h,fx0,x1,x2=,fx1,x2- fx0,x1,x2 x0,=,2h,=,y1-y0,2h2,=,2y0,2!h2,fx1,x2,x3=,fx3,x2- fx2,x1,x3 x1,=,2h,=,=,fx0,x1,x2 ,x3=,3h,=,2y1 - 2y0,2

26、*3h3,=,3y0,3!h3,ny0,n!hn,例2.16 計算 f (x) = x3在等距節(jié)點0，1，2，3, 4上的各 階差分值,1,7,19,37,6,12,18,6,6,0,牛頓前插公式,取間距為h, 等距節(jié)點 x0 x1 xn 順序建立牛頓差商公式,fx0 , x1=,y0,1!h,fx0,x1,x2=,2y0,2!h2,fx0,x1,x2 ,x3=,3y0,3!h3,Nn(x),=y0,+(x-x0),+(x-x0)(x-x1),+,(x-x0)(x-x1) (x-xn-1),牛頓前插公式,Nn(x),Rn(x),因 ,設(shè) ,則,向后差分,函數(shù)y=f(x), 若記y-1=f(x0

27、-h), y-2=f(x0-2h), 則各階向后差分 一階 y0= y0- y-1， y1= y1- y0， y2= y2- y1， 二階 2y0= y0- y-1= y0- y-1- (y-1- y-2 )= y0- 2y-1+ y-2 2y1= y1-y0 = y1- y0- (y0- y-1 ) = y1- 2y0+ y-1 K階 ky0= k-1y0- k-1y-1 ky1= k-1y1-k-1y0,同樣利用向后差分可以得到牛頓向后插值公式 其中 ,公式 稱之為牛頓向后插值公式余項。,解：建立差分表,= -1+1+0+0.375,= 0.375,例5.16 按下列數(shù)值表用牛頓前插公式求

28、y(-0.5) 的近似值,N3(x),例5.17 估計用線性插值法計算lg47時的誤差限,取x0=45, x1=48,=1.671898401,解：應(yīng)用n=1的拉格朗日插值公式,( 45, 48 ),誤差限,插值公式的唯一性及其應(yīng)用,插值公式的唯一性 若插值節(jié)點相同，則插值公式是唯一的。 Pn(x)與Qn(x)有相同的插值節(jié)點， 令Rn(x)= Pn(x)- Qn(x) 對于x=x0, x1,xn, Rn(xi)= Pn(xi)- Qn(xi)=0,4 分段線性插值,2.4.1 高次插值的龍格現(xiàn)象 插值多項式余項公式說明插值節(jié)點越多，一般說 來誤差越小，函數(shù)逼近越好，但這也不是絕對的， 因為余

29、項的大小既與插值節(jié)點的個數(shù)有關(guān)，也與函 數(shù)f(x)的高階導(dǎo)數(shù)有關(guān)。換句話說，適當(dāng)?shù)靥岣卟?值多項式的次數(shù)，有可能提高計算結(jié)果的準確程度 ，但并非插值多項式的次數(shù)越高越好。當(dāng)插值節(jié)點 增多時，不能保證非節(jié)點處的插值精度得到改善， 有時反而誤差更大?？疾旌瘮?shù),考察函數(shù),右圖給出了 和 的圖像,當(dāng)n 增大時, 在兩端 會發(fā)出激烈的振蕩 ,這就是所謂龍格現(xiàn) 象。該現(xiàn)象表明,在 大范圍內(nèi)使用高次 插值,逼近的效果往 往是不理想的,另外，從舍入誤差來看，高次插值誤差的傳播 也較為嚴重，在一個節(jié)點上產(chǎn)生的舍入誤差會在計 算中不斷擴大，并傳播到其它節(jié)點上。因此，次數(shù) 太高的高次插值多項式并不實用，因為節(jié)點數(shù)增

30、加 時，計算量增大了，但插值函數(shù)的精度并未提高。 為克服在區(qū)間上進行高次插值所造成的龍格現(xiàn)象， 采用分段插值的方法，將插值區(qū)間分成若干個小的 區(qū)間，在每個小區(qū)間進行線性插值，然后相互連接 ，用連接相鄰節(jié)點的折線逼近被插函數(shù)，這種把插 值區(qū)間分段的方法就是分段線性插值法。,2.4.2 分段線性插值 分段線性插值就是通過插值節(jié)點用折線段連接起 來逼近f(x)。 設(shè)f(x)在n+1個節(jié)點 上的函數(shù)值為 ,在每個小區(qū)間 (k=0,1,，n）上作線性插值，得,在幾何上就是用折線 替代曲線,如右圖所示 若用插值基函數(shù)表示, 則在a,b上,其中,顯然， 是分段線性連續(xù)函數(shù)，且 稱S(x)為f(x)的分段線性

31、插值函數(shù)。 由線性插值的余項估計式知,f(x)在每個子段 上有誤差估計式 其中,例2.19 已知f(x)在四個節(jié)點上的函數(shù)值如下表所示,30 45 60 90,1,求f(x)在區(qū)間30,90上的分段連續(xù)線性插值函數(shù)S(x),解 將插值區(qū)間30,90分成連續(xù)的三個小區(qū)間 30,45,45,60,60,90 則S(x)在區(qū)間30,45上的線性插值為,S(x)在區(qū)間45,60上的線性插值為,S(x)在區(qū)間60,90上的線性插值為,將各小區(qū)間的線性插值函數(shù)連接在一起，得,5 三次樣條插值 我們知道,給定n+1個節(jié)點上的函數(shù)值可以作n次插值多項式,但當(dāng)n較大時,高次插值不僅計算復(fù)雜,而且可能出現(xiàn)Rung

32、e現(xiàn)象,采用分段插值雖然計算簡單、也有一致收斂性,但不能保證整條曲線在連接點處的光滑性 ,如分段線性插值,其圖形是鋸齒形的折線,雖然連續(xù),但處都是“尖點”,因而一階導(dǎo)數(shù)都不存在,這在實用上,往往不能滿足某些工程技術(shù)的高精度要求。如在船體、飛機等外形曲線的設(shè)計中,不僅要求曲線連續(xù),而且要有二階光滑度,即有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。這就要求分段插值函數(shù)在整個區(qū)間上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。因此有必要尋求一種新的插值方法,這就是樣條函數(shù)插值法,2.5.1 三次樣條函數(shù) 定義5.4 .設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間a, b上，給定n+1個 節(jié)點和一組與之對應(yīng)的函數(shù)值，若函數(shù) 滿足: （1）在每個節(jié)點上滿足 S(xi)=f(xi)(

33、i=0,1,n) （2）在a, b上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù) （3）在每個小區(qū)間 xi,xi+1 (i=0,1,n-1) 上是一個三次多項式。 則稱S(x)為三次樣條插值函數(shù)。,其中四個待定系數(shù)為 ,子區(qū)間共有n個 所以要確定S(x)需要4n個待定系數(shù)。 另一方面,要求分段三次多項式S(x)及其導(dǎo)數(shù) 和 在整個插值區(qū)間a,b上連續(xù),則要求它們在 各個子區(qū)間的連接點 上連續(xù)， 即滿足條件,三次樣條插值函數(shù)S(x)是一個分段三次多項式,要求出S(x),在每個小區(qū)間xi,xi+1上要確定4個待定參數(shù),若用Si(x)表示它在第i個子區(qū)間xi,xi+1上的表達式，則,（1） 插值條件 （2） 連接條件 上述二式

34、共給出了4n-2個條件,而待定系數(shù)有4n個,因此還需要2個條件才能確定S(x),通常在區(qū)間端點上 各加一個條件,稱為邊界條件, 常用邊 界條件有三種類型。,第一種類型：給定兩端點f(x)的一階導(dǎo)數(shù)值： 第二種類型：給定兩端點f(x)的二階導(dǎo)數(shù)值： 作為特例, 稱為自然邊界條件。滿 足自然邊界條件的三次樣條插值函數(shù)稱為自然樣 條插值函數(shù)。 第三種類型：當(dāng)f(x)是以為 周期的函數(shù)時，則要求S(x)也是周期函數(shù),這時邊界條件應(yīng)滿足 當(dāng) 時，,這樣，由上給定的任一種邊界條件加上插值條件和連接條件，就能得出4n個方程，可以惟一確定4n個系數(shù)。從而得到三次樣條插值函數(shù)S(x)在各個子區(qū)間xi , xi+

35、1上的表達式S(xi）(i=1,2,)。但是，這種做法當(dāng)n較大時，計算工作很大，不便于實際應(yīng)用。因此我們希望找到一種簡單的構(gòu)造方法。,2.5.2 三次樣條插值函數(shù)的求法 設(shè)S(x)在節(jié)點xi處的二階導(dǎo)數(shù)為 因為在子區(qū)間xi-1,xi上 是三次多項 式,所以 在此小區(qū)間上是x的線性函數(shù), 且因為 ,用線性插值,可知其表達式為,記 ，則有,其中,Ai,Bi為積分常數(shù),可利用插值條件 確定,即要求Ai,Bi滿足 并記 ，則得,連續(xù)兩次積分得,(5.31),將其代入（5.31）即得,（5.32）,由上討論可知,只要確定 這n+1個值, 就 可定出三樣條插值函數(shù)S(x)。 為了求出 ,利用一階導(dǎo)數(shù)在子區(qū)

36、 間連接點上連續(xù)的條件 對式(5.32)求導(dǎo)一次,得在區(qū)間xi-1,xi上的表達式為,（5.33）,也就是在右端點xi上有,在左端點xi-1上有,將上式中的i-1改為i,即得在子區(qū)間xi,xi+1上的表 達式 ,并由此得,利用 在內(nèi)接點的連續(xù)性,即 就可得到關(guān)于參數(shù) 的一個方程,（5.34）,上式兩邊同乘以 ,即得方程,若記,（5.35）,則所得方程可簡寫成,（5.36）,即,這是一個含有n+1個未知數(shù)、n-1個方程的線性方程 組.要完全確定 的值還需要補充兩個 條件,這兩個條件通常根據(jù)實際問題的需要，根據(jù)插 值區(qū)間a,b的兩個端點處的邊界條件來補充。邊界 條件的種類很多，常見的有以下3種：,

37、第一種邊界條件：即已知插值區(qū)間兩端的一階導(dǎo)數(shù)值： 則可得到包含Mi的兩個線性方程,由(5.33)知,S(x)在子區(qū)間 上的導(dǎo)數(shù)為,由條件 得,即,(5.37),同理,由條件 得,(5.38),將式（5.36）和式（5.37）以及式（5.38）合在一起 即得確定 的線性方程組,(5.39),其中,第二種邊界條件:即已知插值區(qū)間兩端的二階導(dǎo)數(shù)值: , 由于在區(qū)間端點處二階導(dǎo)數(shù) ，所以方程（5.36）中實際上只包含有n-1個未知數(shù) ，從而得方程組,(5.40),第三種邊界條件:由 與 ，可得 和,(5.41),(5.42),(5.43),其中,將式 ( 5.36 ), ( 5.41 ), ( 5.4

38、2 )合在一起，即得關(guān)于 的線性方程組。,(5.44),利用線性代數(shù)知識,可以證明方程組（5.39）, （5.40）和（5.44）的系數(shù)矩陣都是非奇異的，因此有惟一解。,例2.20 已知的函數(shù)值如下： x 1 2 4 5 f (x) 1 3 4 2,在區(qū)間1,5上求三次樣條插值函數(shù)S(x),使它滿足邊 界條件,解:這是在第二種邊界條件下的插值問題，故確定 的方程組形如（5.40）所示， 由已知邊界條件,有 則得求解 的方程組為,根據(jù)給定數(shù)據(jù)和邊界條件算出 與,則得方程組,解得,又,即得S(x)在各子區(qū)間上的表達式 ,由式（5.32）知,S(x)在 上的表達式為,代入式(5.32),將 代入上式

39、化簡后得,同理S(x)在 上的表達式為,S(x)在 上的表達式為,故所求的三次樣條插值函數(shù)S(x)在區(qū)間 上的表達式為,用三次樣條函數(shù)S(x)逼近f(x)是收斂的,并且也是數(shù)值穩(wěn)定的，但其誤差估計與收斂定理的證明都比較復(fù)雜，這里只給出結(jié)論。 定理5設(shè)f(x)是a,b上二次連續(xù)可微函數(shù),在a,b上,以 為節(jié)點的三次樣條插值函數(shù)S(x)滿足 ，其中 證明 （略）,三、誤差界與收斂性,用三次樣條繪制的曲線不僅有很好的光滑度，而且當(dāng)節(jié)點逐漸加密時，其函數(shù)值在整體上能很好地逼近被插函數(shù)，相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也收斂于被插函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，不會發(fā)生龍格現(xiàn)象。因此三次樣條在計算機輔助設(shè)計中有廣泛的應(yīng)用。,本章小結(jié),本章介紹的插值法是實用性很強的方法。它們解決的實際問題雖然各式各樣，但抽象為數(shù)學(xué)問題卻有它的共性，即利用已知的數(shù)據(jù)去尋求某個較為簡單的函數(shù)P(x)來逼近f(x)。插值法給出了尋求這種近似函數(shù)的原則，以及構(gòu)造近似函數(shù)的幾種具體方法。插值法要求近似函數(shù)在已知的數(shù)據(jù)點必須與f(x)完全一致，。,插值法中的拉格朗日插值多項式是研究數(shù)值微積分與微分方程數(shù)值解的重要工具。牛頓插值多項式是拉格朗日插值多項式的變形，具有承襲性，比拉格朗日插值多項式節(jié)省計算量。分段低次多項式插值由于具有良好的穩(wěn)定性與收斂性，且算法簡單，便于應(yīng)用。特別是應(yīng)用廣泛的三次樣條插值，不但有較好的穩(wěn)定性