1、江蘇省南通市通州區(qū)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題 文（含解析）參考公式：樣本數(shù)據(jù)的方差，其中。一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1-i（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第_象限.【答案】一【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，即可得到答案.【詳解】的共軛復(fù)數(shù)是，在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故位于第一象限.【點(diǎn)睛】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的概念，難度很小.2.在半徑為2的圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到圓心的距離不大于1的概率為_.【答案】【解析】【分析】通過計(jì)算對(duì)應(yīng)面積，即可求得概率.【詳解】該點(diǎn)取自圓內(nèi)，占有面積為，而該點(diǎn)到圓心的距

2、離不大于1占有面積為：，故所求概率為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型的相關(guān)計(jì)算，難度不大.3.根據(jù)所示的偽代碼，若輸入的的值為-1,則輸出的結(jié)果為_.【答案】【解析】【分析】通過讀條件語句，該程序是分段函數(shù)，代入即可得到答案.【詳解】根據(jù)偽代碼，可知，當(dāng)時(shí)，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查條件程序框圖的理解，難度不大.4.甲、乙兩位射擊愛好者在某次射擊比賽中各射靶5次，命中的環(huán)數(shù)分別為：甲：7,8,7,4,9；乙：9,5,7,8,6,則射擊更穩(wěn)定的愛好者成績(jī)的方差為_.【答案】2【解析】【分析】分別計(jì)算出甲，乙的方差，較小的更加穩(wěn)定，故為答案.【詳解】根據(jù)題意，同理，故更穩(wěn)定的為乙，方差為2.【

3、點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)量方差的計(jì)算，難度不大.5.己知復(fù)數(shù)和均是純虛數(shù)，則的模為_.【答案】1【解析】【分析】通過純虛數(shù)的概念，即可求得，從而得到模長(zhǎng).【詳解】根據(jù)題意設(shè)，則，又為虛數(shù)，則，故，則，故答案為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查純虛數(shù)及模的概念，難度不大.6.某校為了解高二年級(jí)學(xué)生對(duì)教師教學(xué)的意見，打算從高二年級(jí)500名學(xué)生中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取50名進(jìn)行調(diào)查，記500名學(xué)生的編號(hào)依次為1,2,，500,若抽取的前兩個(gè)號(hào)碼為6,16,則抽取的最大號(hào)碼為_.【答案】496【解析】【分析】通過系統(tǒng)抽樣的特征，即可計(jì)算出最大編號(hào).【詳解】由于間距為，而前兩個(gè)號(hào)碼為6,16,則編號(hào)構(gòu)成是以6為首項(xiàng)，

4、10為公差的等差數(shù)列，因此最大編號(hào)為，故答案為496.【點(diǎn)睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣相關(guān)計(jì)算，難度不大.7.如圖所示的流程圖中，輸出的結(jié)果S為_.【答案】25【解析】【分析】按照程序框圖的流程，寫出每次循環(huán)后得到的結(jié)果，并判斷每個(gè)結(jié)果是否滿足判斷框的條件，直到不滿足條件，輸出即可.【詳解】經(jīng)過第一次循環(huán)，；經(jīng)過第二次循環(huán)，；經(jīng)過第三次循環(huán)，；經(jīng)過第四次循環(huán)，；經(jīng)過第五次循環(huán)，；此時(shí)已不滿足條件，輸出.于是答案為25.【點(diǎn)睛】本題主要考查循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的輸出結(jié)果，難度不大.8.某種飲料每箱裝6聽，若其中有2聽不合格，質(zhì)檢員從中隨機(jī)抽出2聽，則含有不合格品的概率為_.【答案】【解析】【分析】含有不

5、合格品分為兩類：一件不合格和兩件不合格，分別利用組合公式即可得到答案.【詳解】質(zhì)檢員從中隨機(jī)抽出2聽共有種可能，而其中含有不合格品共有種可能，于是概率為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查超幾何分布的相關(guān)計(jì)算，難度不大.9.已知集合若，則a的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】首先可先求出二次方程的兩根，由于可判斷兩根與0 的大小，于是可得到答案.【詳解】由于的兩根為，由于，所以，即，解得，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查含參數(shù)的一元二次不等式解法，意在考查學(xué)生的分析能力和計(jì)算能力，難度不大.10.在平面直角坐標(biāo)系中，己知直線與圓相切，則k的值為_.【答案】【解析】【分析】通過圓心到直線的距離等于半徑構(gòu)建

6、等式，于是得到答案.【詳解】根據(jù)題意，可知圓心為，半徑為2，于是圓心到直線的距離，而直線與圓相切，故，因此解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，難度不大.11.在中，己知，則的值為_.【答案】0【解析】【分析】通過展開，然后利用已知可得，于是整理化簡(jiǎn)即可得到答案.【詳解】由于，因此，所以，即，所以,則，故答案為0.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，意在考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，難度中等.12.已知函數(shù)，存在唯一的負(fù)數(shù)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】對(duì)，三種情況分別討論可得到取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，而時(shí)，則零點(diǎn)在右段函數(shù)取得，故時(shí)

7、，解得；當(dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，負(fù)零點(diǎn)在左端點(diǎn)取得，于是時(shí)，成立；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)含參零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的分類討論能力，計(jì)算能力，分析能力，難度較大.13.將一根長(zhǎng)為1米的木條鋸成兩段，分別作三角形ABC的兩邊AB，AC，且.則當(dāng)AC最短時(shí)，第三邊BC的長(zhǎng)為_米.【答案】【解析】【分析】設(shè)出邊長(zhǎng)，利用余弦定理可找出關(guān)系式，化為二次函數(shù)用配方法即可得到最小值.【詳解】設(shè)，則，設(shè)，通過余弦定理可得：，即，化簡(jiǎn)整理得，要使AC最短，則使AB最長(zhǎng)，故當(dāng)時(shí)，AB最長(zhǎng)，故答案.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，意在考查學(xué)生的分析能力及計(jì)算能力，難度不大.14.在平

8、面凸四邊形ABCD中，點(diǎn)M，N分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，且，若，則的值為_.【答案】【解析】【分析】通過表示，再利用可計(jì)算出，再計(jì)算出可得答案.【詳解】由于M，N分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，故，所以，所以，所以，而，所以，即，故，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的基底表示，數(shù)量積運(yùn)算，意在考查學(xué)生的空間想象能力，運(yùn)算能力，邏輯分析能力，難度較大.二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在四棱錐中，是棱PD的中點(diǎn)，且.（1）求證：CD平面ABE；（2）求證：平面ABE丄平面PCD.【答案】(1)見解析；（2）見解析.【

9、解析】【分析】(1)要證CD平面ABE，只需說明即可；（2）要證平面ABE丄平面PCD，只需證明平面CDP即可.【詳解】（1）證明：根據(jù)題意，,故CD平面ABE；（2）證明：由于是棱PD的中點(diǎn)，故，而，因此，顯然，故平面CDP，而平面ABE，平面ABE丄平面PCD.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行，面面垂直的判定，意在考查學(xué)生的空間想象能力和分析能力，難度不大.16.在中，己知（1）求的值；（2）求值.【答案】(1) ;(2) 【解析】【分析】（1）通過，可計(jì)算出C角正弦及余弦值，于是通過誘導(dǎo)公式可得答案；（2）通過，可得，再利用可得答案.【詳解】(1) 在中, 由于，故 ，解得，所以；（2）由（

10、1）可知，而，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力及分析能力，難度不大.17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，右準(zhǔn)線，過橢圓的右焦點(diǎn)F作軸的垂線，橢圓的切線與直線分別交于兩點(diǎn).（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由橢圓的離心率公式和準(zhǔn)線的方程，可得到關(guān)于兩個(gè)等式，這樣可以求出的值，再利用，可以求出，然后寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）因?yàn)槭菣E圓的切線，所以方程組有唯一解，利用代入消元法，根據(jù)根的判別式為零，可以求出的值，而后由題意可以求出的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式可以求出的值.

11、【詳解】（1）橢圓的離心率為，所以有，橢圓右準(zhǔn)線，所以有，而，所以，而，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）因?yàn)槭菣E圓的切線，所以方程組有唯一解，把直接方程代入橢圓方程中得：，所以有，解得，所以橢圓的切線方程為，因此橢圓的切線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，因?yàn)檫^橢圓的右焦點(diǎn)F作軸的垂線的方程為，所以橢圓的切線與的交點(diǎn)為，.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的方程、橢圓的切線方程、兩點(diǎn)間距離公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18.某農(nóng)場(chǎng)灌溉水渠長(zhǎng)為1000m,橫截面是等腰梯形ABCD（如圖），,其中渠底BC寬為1m，渠口AD寬為3m,渠深.根據(jù)國家對(duì)農(nóng)田建設(shè)補(bǔ)貼的政策，該農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃在原水渠的基礎(chǔ)上分別沿AD方向加寬、AB方向加深，若擴(kuò)建后

12、的水渠橫截面仍是等腰梯形，且面積是原面積的2倍.設(shè)擴(kuò)建后渠深為hm，若挖掘費(fèi)為ah2元/m3，擴(kuò)建后的水渠的內(nèi)壁AB1，C1D1和渠底B1C1鋪設(shè)混凝土費(fèi)為3a元/m2.（1）試用h表示渠底B1C1的寬，并確定h的取值范圍； （2）問：渠深h為多少時(shí)，可使總建設(shè)費(fèi)最少？（注：總建設(shè)費(fèi)為挖掘費(fèi)與鋪設(shè)混凝土費(fèi)之和）【答案】（1），h的取值范圍；（2）1m【解析】【分析】（1）通過前后面積是兩倍關(guān)系可計(jì)算出擴(kuò)建后的面積，通過梯形面積公式可找出關(guān)系式，于是可得答案；（2）找出總建設(shè)費(fèi)用關(guān)于h的函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出極值，于是可得答案.【詳解】（1）設(shè)，由于，原來的橫截面面積，故擴(kuò)建后的面積為，擴(kuò)建后，可

13、列方程為：，化簡(jiǎn)整理得到，而，故，故渠底B1C1的寬為，h的取值范圍；（2）由（1）可表示，故，因此總建設(shè)費(fèi)用為：，令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故在處取得極小值，故總建設(shè)費(fèi)用最小為，即渠深h為時(shí)，可使總建設(shè)費(fèi)最少.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力，計(jì)算能力，邏輯推理能力，難度中等.19.己知數(shù)列的首項(xiàng)均為1,各項(xiàng)均為正數(shù)，對(duì)任意的不小于2的正整數(shù)n，總有，成立，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，求所有使得等式成立的正整數(shù)m, 的值.【答案】（1），；（2），.【解析】【分析】(1)通過因式分解可判斷為等差數(shù)列，于是可得通項(xiàng)，通過等比中項(xiàng)性質(zhì)可知為

14、等比數(shù)列，于是可求通項(xiàng)；（2）計(jì)算出前n項(xiàng)和，化簡(jiǎn)式子，通過分解因式找出因子，然后利用正整數(shù)解可求得，.【詳解】(1)由于 ，整理得，而，故，所以為等差數(shù)列，所以；由于，可知為等比數(shù)列，所以；（2）由（1）可得，所以轉(zhuǎn)化為，整理即，要m, 都為正整數(shù)，則都分別是2的倍數(shù)，且，故2的冪指數(shù)中，只有4與16相差12，故，故，此時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和的計(jì)算，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力，計(jì)算能力，難度中等.20.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的極值；（2）若，其中為自然對(duì)數(shù)底數(shù)，求證：函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn)；（3）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】（1）極小值為；無極大值（2）證明過程見解析；（3）.【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用極值定義求出函數(shù)的極值；（2）利用導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)的單調(diào)性和最大值，然后分類討論在不同單調(diào)區(qū)間上函數(shù)存在零點(diǎn)，最后能證明出函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn)；（3）構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，求出的值域，然后能求出實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，所以函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)單調(diào)遞減，因此是函數(shù)的極小值，故函數(shù)的極值為極小值，值為；無極大值（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)樗?，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，