1、限時規(guī)范訓練概率、隨機變量及其分布列一、選擇題(本題共6小題，每小題5分，共30分)1(2016高考全國卷)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是()A.B.C.D.解析：選B.如圖，7：50至8：30之間的時間長度為40分鐘，而小明等車時間不超過10分鐘是指小明在7：50至8：00之間或8：20至8：30之間到達發(fā)車站，此兩種情況下的時間長度之和為20分鐘，由幾何概型概率公式知所求概率為P.2(2017山東濟南模擬)4個高爾夫球中有3個合格、1個不合格，每次任取一個，不放回

2、地取兩次若第一次取到合格的高爾夫球，則第二次取到合格高爾夫球的概率為()A. B.C.D.解析：選B.記事件A第一次取到的是合格高爾夫球，事件B第二次取到的是合格高爾夫球由題意可得事件B發(fā)生所包含的基本事件數(shù)n(AB)326，事件A發(fā)生所包含的基本事件數(shù)n(A)339，所以P(B|A).3(2017江西七校聯(lián)考)在區(qū)間，內(nèi)隨機取兩個數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)x22axb2有零點的概率為()A. B.C.D.解析：選B.函數(shù)f(x)有零點4a24(b2)0，即a2b2，設(shè)事件A表示“函數(shù)f(x)x22axb2有零點”如圖所示，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域是矩形ABCD及其內(nèi)部，事件A發(fā)生的

3、區(qū)域是圖中陰影部分，且S陰影42232，P(A).4(2017河南洛陽模擬)箱中裝有標號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個球從箱中一次摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎現(xiàn)有4人參與摸獎(每人一次)，則恰好有3人獲獎的概率是()A. B.C.D.解析：選B.由題意得任取兩球有C種情況，取出兩球號碼之積是4的倍數(shù)的情況為(1,4)，(2,4)，(3,4)，(2,6)，(4,6)，(4,5)共6種情況，故每人摸球一次中獎的概率為，故4人中有3人中獎的概率為C.故選B.5某班舉行了一次“心有靈犀”的活動，教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個同學，這個同學再用身體語

4、言把成語的意思傳遞給本組其他同學若小組內(nèi)同學甲猜對成語的概率是0.4，同學乙猜對成語的概率是0.5，且規(guī)定猜對得1分，猜不對得0分，則這兩個同學各猜1次，得分之和X(單位：分)的數(shù)學期望為()A0.9B0.8C1.2D1.1解析：選A.由題意得X0,1,2，則P(X0)0.60.50.3，P(X1)0.40.50.60.50.5，P(X2)0.40.50.2，所以E(X)10.520.20.9.6小明準備參加電工資格考試，先后進行理論考試和操作考試兩個環(huán)節(jié)，每個環(huán)節(jié)各有兩次考試機會，在理論考試環(huán)節(jié)，若第一次考試通過，則直接進入操作考試；若第一次未通過，則進行第2次考試，第2次考試通過后進入操作

5、考試環(huán)節(jié)，第2次未通過則直接被淘汰在操作考試環(huán)節(jié)，若第1次考試通過，則直接獲得證書；若第1次未通過，則進行第2次考試，第2次考試通過后獲得證書，第2次未通過則被淘汰若小明每次理論考試通過的概率為，每次操作考試通過的概率為，并且每次考試相互獨立，則小明本次電工考試中共參加3次考試的概率是()A. B.C.D.解析：選B.設(shè)“小明本次電工考試中共參加3次考試”為事件A，“小明本次電工考試中第一次理論考試沒通過，第二次理論考試通過，第一次操作考試通過”為事件B，“小明本次電工考試中第一次理論考試通過，第一次操作考試沒通過，第二次操作考試通過”為事件C，“小明本次電工考試中第一次理論考試通過，第一次操

6、作考試沒通過，第二次操作考試沒通過”為事件D，則P(A)P(BCD)P(B)P(C)P(D)，而P(B)，P(C)，P(D)，所以P(A)，故選B.二、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)7在區(qū)間0,1上隨機取兩個數(shù)x、y，則事件“yx4”發(fā)生的概率為_解析：在區(qū)間0,1上隨機取兩個數(shù)x、y，則(x，y)組成的平面區(qū)域的面積為1.事件“yx4”發(fā)生，則(x，y)組成的平面區(qū)域的面積為x4dxx5，所以所求概率為.答案：8在1,2,3,4,5,6,7,8這組數(shù)據(jù)中，隨機取出五個不同的數(shù)，則數(shù)字5是取出的五個不同數(shù)的中位數(shù)的概率為_解析：分析題意可知，抽取的除5以外的四個數(shù)字中，有兩個比5

7、小，有兩個比5大，故所求概率P.答案：9(2017湖北武漢模擬)公共汽車車門高度是按男子與車門碰頭機會不高于0.022 8來設(shè)計的，設(shè)男子身高X服從正態(tài)分布N(170,72)(單位：cm)，參考以下概率P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5，P(3X3)0.997 5，則車門的高度(單位：cm) 至少應(yīng)設(shè)計為_解析：因為公共汽車車門高度是按男子與車門碰頭機會不高于0.022 8來設(shè)計的，所以利用P(2X2)0.954 5，男子身高X服從正態(tài)分布N(單位：cm)，可得車門的高度(單位：cm)至少應(yīng)設(shè)計為17027184 cm.答案：184 cm三、解答題(本題共3小題，每小題12分，

8、共36分)10(2017北京豐臺區(qū)二模)張先生家住H小區(qū)，他工作在C科技園區(qū)，從家到公司上班的路上有L1，L2兩條路線(如圖所示)，L1路線上有A1，A2，A3三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為；L2路線上有B1，B2兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為，.(1)若走L1路線，求最多遇到1次紅燈的概率；(2)若走L2路線，求遇到紅燈的次數(shù)X的數(shù)學期望；(3)按照“遇到紅燈的平均次數(shù)最少”的要求，請你幫助張先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說明理由解：(1)設(shè)“走L1路線最多遇到1次紅燈”為事件A，則P(A)CC.所以走L1路線，最多遇到1次紅燈的概率為.(2)依題意，X的可能取值為

9、0,1,2.P(X0)，P(X1)，P(X2).故隨機變量X的分布列為X012PE(X)012.(3)設(shè)選擇L1路線遇到紅燈的次數(shù)為Y，隨機變量Y服從二項分布，即YB，所以E(Y)3.因為E(X)E(Y)，所以選擇L2路線上班最好11甲、乙、丙三位同學彼此獨立地從A，B，C，D，E五所高校中，任選2所高校參加自主招生考試(并且只能選2所高校)，但同學甲特別喜歡A高校，他除選A校外，在B，C，D，E中再隨機選1所；同學乙和丙對5所高校沒有偏愛，都在5所高校中隨機選2所即可(1)求甲同學未選中E高校且乙、丙都選中E高校的概率(2)記X為甲、乙、丙三名同學中未參加E校自主招生考試的人數(shù)，求X的分布列

10、及數(shù)學期望解：(1)由題意知：甲同學選中E高校的概率為p甲，乙、丙兩同學選中E高校的概率為p乙p丙，所以甲同學未選中E高校且乙、丙都選中E高校的概率為：P(1p甲)p乙p丙.(2)由題意知：X所有可能的取值為0,1,2,3，P(X0)p甲p乙p丙，P(X1)(1p甲)p乙p丙p甲(1p乙)p丙p甲p乙(1p丙)，P(X2)(1p甲)(1p乙)p丙(1p甲)p乙(1p丙)p甲(1p乙)(1p丙)，P(X3)(1p甲)(1p乙)(1p丙)，所以X的分布列為：X0123P所以E(X)0123.12(2017廣州五校聯(lián)考)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種芯片，其質(zhì)量按測試指標劃分為：指標大于或等于82為合格品，小

11、于82為次品現(xiàn)隨機抽取這兩種芯片各100件進行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計如下：測試指標70,76)76,82)82,88)88,94)94,100)芯片甲81240328芯片乙71840296(1)試分別估計芯片甲、芯片乙為合格品的概率；(2)生產(chǎn)一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品則虧損5元；生產(chǎn)一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品則虧損10元在(1)的前提下，記X為生產(chǎn)一件芯片甲和一件芯片乙所得的總利潤，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；求生產(chǎn)5件芯片乙所獲得的利潤不少于140元的概率解：(1)芯片甲為合格品的概率約為，芯片乙為合格品的概率為.(2)隨機變量X的所有可能取值為90,4