1、1,一、聯(lián)合分布與邊緣分布 定義3.16 n維隨機(jī)向量(X1，X2，Xn) 定義3.17 n維隨機(jī)向量(X1,X2,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為 F(x1,x2,xn)=PX1x1,X2x2,Xnxn 記FXi(xi)=Fi(xi)=PXixi為關(guān)于Xi的邊緣分布函數(shù)。 定義3.18 離散型n維隨機(jī)向量(X1,X2, ,Xn)的聯(lián)合概率函數(shù)為 p(x1,x2,xn)=PX1=x1,X2=x2,Xn=xn 記pXi(xi)=pi(xi)=PXi=xi為關(guān)于Xi的邊緣概率函數(shù)。 定義3.19 連續(xù)型n維隨機(jī)向量(X1,X2,Xn)的聯(lián)合密度函數(shù)為 f(x1,x2,xn) 記 fXi(xi)=fi(xi)

2、 為關(guān)于Xi的邊緣密度函數(shù)。,第五節(jié)*、n維隨機(jī)向量,2,二、獨(dú)立性 定義3.20 對于n維隨機(jī)向量(X1，X2，Xn)，如果對任意的xiR, 都有F(x1, x2, , xn)=FX1(x1)FX2( x2) FXn(xn) 則稱X1，X2，Xn 相互獨(dú)立。 等價(jià)于：聯(lián)合分布函數(shù)等于各個邊緣分布函數(shù)之積,第五節(jié)*、n維隨機(jī)向量,也可這樣定義： 如果對于任意的aibi，i=1,2, ,n，都有 Pa1X1b1,a2X2b2,anXnbn =Pa1X1b1P a2X2b2PanXnbn 則稱X1，X2，Xn 相互獨(dú)立。,3,對于離散型n維隨機(jī)向量(X1，X2，Xn)，則 X1,X2,Xn 相互獨(dú)

3、立的充分必要條件是：對于任意的 x1,x2,xn，有 PX1=x1,X2=x2,Xn=xn=PX1=x1PX2=x2PXn=xn 即聯(lián)合概率函數(shù)等于各個邊緣概率函數(shù)之積。,第五節(jié)*、關(guān)于n維隨機(jī)向量的獨(dú)立性,對于連續(xù)型n維隨機(jī)向量(X1，X2，Xn) ，則 X1,X2, ,Xn 相互獨(dú)立的充分必要條件是：對于任意的 x1,x2,xn，有 f(x1,x2,xn)= fX1(x1) fX2(x2) fXn(xn) 即聯(lián)合密度函數(shù)等于各個邊緣密度函數(shù)之積。,定義3.21 (獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列) 若隨機(jī)向量序列X1,X2,Xn中任意n個隨機(jī)變量(n=2,3,)都相互獨(dú)立，且每個隨機(jī)變量Xi都服從

4、同一種分布， 則稱X1,X2,Xn,獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列。,4,三、n維機(jī)向量函數(shù) n維隨機(jī)向量(X1，X2，Xn)的函數(shù)記為 Y=g(X1，X2，Xn) 定理3.11：設(shè)XiN(mi,si2)，i=1,2,n，且X1,X2,Xn相互獨(dú)立，則它們的非零線性組合仍服從正態(tài)分布，即存在不全為零的常數(shù)a1,a2,an，有,第五節(jié)*、n維隨機(jī)向量,推論：設(shè)X1,X2,Xn相互獨(dú)立且同分布，XiN(m,s2)，i=1,2,n，則,5,第五節(jié)*、n維隨機(jī)向量,例1：假設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,X3,X4相互獨(dú)立，且同服從參數(shù)p=0.4的“0-1”分布，即PXi=0=0.6,PXi=1=0.4 (i=1,2

5、,3,4)，求行列式Z的概率分布。,解：由22階行列式表示Z=X1X4-X2X3，根據(jù)X1，X2，X3，X4的地位是等價(jià)且相互獨(dú)立的，X1X4與X2X3也是獨(dú)立同分布的，因此可先求出X1X4和X2X3的分布律，再求Z的分布律. 記Y1=X1X4，Y2=X2X3，則Z=Y1-Y2，隨機(jī)變量Y1和Y2獨(dú)立同分布： PY1=1=PY2=1=PX2=1,X3=1=0.16 PY1=0=PY2=0=1-0.16=0.84,6,第五節(jié)*、n維隨機(jī)向量,例1：假設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,X3,X4相互獨(dú)立，且同服從參數(shù)p=0.4的“0-1”分布，即PXi=0=0.6,PXi=1=0.4 (i=1,2,3,4)，

6、求行列式Z的概率分布。,隨機(jī)變量Z=Y1-Y2有三個可能值-1，0，1.易見 PZ=-1=PY1=0，Y2=1=0.840.16=0.1344 PZ=1=PY1=1，Y2=0=0.160.84=0.1344， PZ=0=1-20.1344=0.7312 于是行列式的概率分布為,7,第五節(jié)*、n維隨機(jī)向量,例2 設(shè)X1,X2,Xn相互獨(dú)立且同分布，分布函數(shù)均為F(x)，Y=maxX1,X2,Xn，Z=minX1,X2,Xn，分別求隨機(jī)變量Y和Z的分布函數(shù)。 解：FY(x)=PYx=PmaxX1,X2,Xnx =PX1x,X2x,Xnx =PX1xPX2xPXnx=F(x)n PZx=PminX1

7、,X2,Xnx =PX1x,X2x,Xnx =PX1xPX2xPXnx=1-F(x)n FZ(x)=PZx=1-PZx=1-1-F(x)n,8,第五節(jié)*、n維隨機(jī)向量,四、數(shù)學(xué)期望與方差 期望向量與方差向量 定義3.22：如果n維隨機(jī)向量(X1,X2,Xn)中每個分量的期望、方差都存在，則稱(EX1,EX2,EXn)為(X1,X2,Xn)的期望向量；稱(DX1,DX2,DXn)為(X1,X2,Xn)的方差向量。 關(guān)于n個隨機(jī)變量的期望與方差的性質(zhì) 如果隨機(jī)變量X1,X2,Xn的期望都存在，則對任意常數(shù)a1,a2,an有,特別地：,9,第五節(jié)*、n維隨機(jī)向量,若隨機(jī)變量X1,X2,Xn相互獨(dú)立，

8、且期望都存在，則 E(X1X2Xn)=EX1EX2EXn (注意逆命題不成立),如果X1,X2,Xn中任意兩個隨機(jī)變量的協(xié)方差Cov(Xi,Xj)都存在，則,若隨機(jī)變量X1,X2,Xn相互獨(dú)立，且方差都存在，則 D(X1X2Xn)=DX1+DX2+DXn,并且對任意常數(shù)a1,a2,an有,10,五、協(xié)方差矩陣和相關(guān)系數(shù)矩陣,定義3.23 如果n維隨機(jī)向量(X1，X2，Xn)中的各個分量Xi (i=1,2, ,n)的方差都存在，則以Cov(Xi,Xj)為元素的n階矩陣稱為該隨機(jī)向量的協(xié)方差陣。記作V，即,其中vii=Cov(Xi,Xi)=DXi vij=Cov(Xi,Xj)=Cov(Xj,Xi)

9、=vji 如n=2時(shí),11,五、協(xié)方差矩陣和相關(guān)系數(shù)矩陣,定義3.24 如果n維隨機(jī)向量(X1，X2，Xn)中任意兩個分量Xi與Xj的相關(guān)系數(shù)rij都存在(i,j=1,2, ,n) ，則以rij為元素的n階矩陣稱為該隨機(jī)向量的相關(guān)系數(shù)矩陣。記作R，即,其中rii=1，rij=rji ，(i,j=1,2,n) 如n=2時(shí),12,例題3,參見P132,例3 已知X與Y的協(xié)方差矩陣V，求X與Y的相關(guān)系數(shù)矩陣.其中,解 由X與Y的協(xié)方差矩陣V,即得DX=25，DY=36，Cov(X,Y)=12，由相關(guān)系數(shù)公式,13,例題4,參見P132,例4 已知EX=m，DX=s2，Y=3-4X，求X與Y的協(xié)方差矩陣及相關(guān)系數(shù)矩陣.,解 由DX=s2，DY=D(3-4X)=16s2 由Y=aX+b知r=-1,14,補(bǔ)充例題,參見P137例2,已知XN(0,1)，YN(0,1)，D(X-Y)=0，求X與Y的協(xié)方差矩陣.,解 由N(0,1)知EX=EY=0，DX=DY=1，D(X-Y)=0 而D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)，得Cov(X