1、,在應(yīng)力分析中，僅從靜力學(xué)的觀點出發(fā)，引入了9個應(yīng)力分量 ，它們滿足三個平衡微分（運動方程）剪應(yīng)力互等定理，由此得到應(yīng)力張量對稱的結(jié)論，因此獨立的應(yīng)力分量只有六個。在應(yīng)變分析中，從物體的幾何連續(xù)性觀點出發(fā)，研究物體變形，得到三個位移分量 和6個獨立的應(yīng)變分量 。這樣我們總共引入了十五個變量 ，它們滿足的方程只有九個:,第四章 應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系,其中 是已知的體力。從數(shù)學(xué)分析的角度，上述方程是不封閉的，因此沒有唯一的一組解。還需補充六個方程，使得方程組封閉。 另外，應(yīng)力與應(yīng)變是相輔相成的，有應(yīng)力就有應(yīng)變，反之亦然。對于每一種材料在一定溫度下，它們之間存在著確定的關(guān)系，反映了材料的固有特性。本章的

2、任務(wù)就是建立在彈性階段應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系。,第四章 應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系,第一節(jié) 廣義胡克定律 第二節(jié) 彈性變形過程中的能量 第三節(jié) 各向異性彈性體 第四節(jié) 各向同性彈性體 第五節(jié) 彈性常數(shù)的測定 各向同性體應(yīng)變能密度,第一節(jié) 廣義胡克定律,物體中一點的應(yīng)力狀態(tài)由6個應(yīng)力分量所確定，同一點附近的變形狀態(tài)由6個應(yīng)變分量所確定。應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系可表示為:,(4-1),當(dāng)變形較小時，可展開成泰勒級數(shù)，并略去二階以上的小量。,由沒有初應(yīng)力的基本假設(shè)，上式可表示為,上式中 (m,n=1,26)是彈性系數(shù)，共36個，對于均勻材料它們?yōu)槌?shù),稱為彈性常數(shù),與坐標無關(guān)。,(4-2),上式即為廣義胡克定律，可

3、以看出應(yīng)力和應(yīng)變之間是線性的。 可以證明各彈性常數(shù)之間存在關(guān)系式 = 。對于最一般的各向異性介質(zhì)，彈性常數(shù)也只有21個。,4.2 彈性體變形過程中的功與能,本節(jié)使用熱力學(xué)的原理推導(dǎo)能量形式的物理方程（本構(gòu)關(guān)系）。,外力作用,彈性體變形,變形過程外力作功,彈性體內(nèi)的能量也發(fā)生變化。,絕熱過程：利用熱力學(xué)第一定律,等溫過程：利用熱力學(xué)第二定律,統(tǒng)一的形式：,彈性體的應(yīng)變能函數(shù)表達式,4.3 各向異性彈性體,1. 極端各向異性彈性體,根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)次序可交換原則，可證C25=C52。對于其它的彈性常數(shù)可以作同樣的分析，則 Cmn=Cnm 。 上述結(jié)論表明完全各向異性彈性體只有21個彈性常數(shù) 。,2具有一

4、個彈性對稱面的各向異性彈性體,如果物體內(nèi)每一點都存在這樣一個平面，和該面對稱的方向具有相同的彈性性質(zhì)，則稱該平面為物體的彈性對稱面。垂直于彈性對稱面的方向稱為物體的彈性主方向。,假設(shè)yz坐標面為彈性對稱面，則x軸為彈性主方向。將x軸繞動 z 軸轉(zhuǎn)動 角度，成為新的 Oxyz坐標系。,新舊坐標系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為,根據(jù)對稱性質(zhì):關(guān)于x軸對稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標系變換時保持不變，而關(guān)于x軸反對稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標系變換時取負值（也可按照轉(zhuǎn)軸時的變換公式計算）。有,sx =sx，sy =sy，sz =sz，txy =-txy，tyz =tyz，tzx =-tzx ex =ex，ey =ey，ez

5、 =ez，gxy =-gxy，gyz =gyz，gzx =-gzx,根據(jù)完全各向異性彈性體的本構(gòu)方程，將上述關(guān)系式代入廣義胡克定律表達式(4-2)得,將上式與式(4-2)相比較，要使變換后的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系保持不變，則必須有 C15=C16=C25=C26=C35=C36=C45=C46=0 對于具有一個彈性對稱面的彈性體，其彈性常數(shù)由21個將減少為13個。,3正交各向異性彈性體,假設(shè)物體內(nèi)每一點具有兩個彈性對稱面，以下類似地推演具有兩個彈性對稱面的各向異性彈性體的本構(gòu)方程。,設(shè) xz 平面也是彈性對稱面，即y 軸也是彈性主方向，將 y 軸繞動 z 軸轉(zhuǎn)動p角度，成為新的Oxyz坐標系,如圖所示

6、。,根據(jù)對稱性質(zhì), 關(guān)于y 軸對稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標系變換時也保持不變，而關(guān)于y 軸反對稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標系變換時取負值。所以，則新舊坐標系下的應(yīng)力和應(yīng)變分量的關(guān)系為,sx =sx，sy =sy，sz =sz，txy =-txy，tyz =-tyz，tzx =tzx ex =ex，ey =ey，ez =ez，gxy =-gxy，gyz =-gyz，gzx =gzx,將上述關(guān)于y 軸彈性對稱的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系代入具有一個彈性對稱面的各向異性材料本構(gòu)關(guān)系。為保持應(yīng)力和應(yīng)變在坐標變換后不變，則必有 C14= C24= C34= C56=0 其彈性常數(shù)由13個將減少為9個。于是其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系簡化

7、為,(4-10),兩個彈性對稱面,9個彈性常數(shù),相互垂直的3個平面中有兩個彈性對稱面， 第三個必為彈性對稱面,彈性體的拉壓與剪切變形,不同平面內(nèi)的剪切之間沒有耦合作用,稱為正交各向異性體。,正應(yīng)力僅與正應(yīng)變有關(guān)； 切應(yīng)力僅與對應(yīng)的切應(yīng)變有關(guān)。,4 橫觀各向同性彈性體 假如過彈性體中的任意點都有一個平面，在這個平面內(nèi)，從各個方向看，彈性關(guān)系都相同。,不妨假定oxy面和平行于oxy面的平面就是這樣的各向同性面。討論在這種情況下的彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，最方便的是將x、y軸繞z軸旋轉(zhuǎn)900，得到新的坐標系ox/y/z/，新系和舊系之間的關(guān)系如下,在新舊坐標系之間，應(yīng)力分量和應(yīng)變分量的變換關(guān)系為,(a),(

8、b),利用式(4-10)和(a),(b),將以上諸式與(4-10)比較可得,因此(4-10)變?yōu)?(c),獨立的彈性常數(shù)有6個，用矩陣表示為,然后將坐標系oxyz繞z軸轉(zhuǎn)450，得到新坐標系ox/y/z/，新舊坐標系的關(guān)系如下,按照同樣的方法，可以得到,因此(c)式變?yōu)?具有一個各向同性面的彈性材料稱為橫觀各向同性材料，這種材料的獨立的彈性常數(shù)有5個。,(4-11),物理意義物體各個方向上的彈性性質(zhì)完全相同，即物理性質(zhì)的完全對稱。 數(shù)學(xué)反映應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系在所有方位不同的坐標系中都一樣。,4.4 各向同性彈性體,完全各向同性彈性材料 將oxyz坐標系繞x軸逆時針轉(zhuǎn)900，新舊坐標系的關(guān)系如下所示,可以得到,此時(4-11)變?yōu)?稍加整理得,各向同性材料廣義胡克（Hooke）定律,l, m稱為拉梅（Lame）彈性常數(shù),各向同性材料 主應(yīng)力狀態(tài)對應(yīng)的切應(yīng)力分量均為零。 所有的切應(yīng)變分量也為零。 所以，各向同性彈性體: 應(yīng)力主軸同時又是應(yīng)變主軸; 應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向是重合的;,考察 及 與彈性模量E及泊松比 之間的關(guān)系。,先考察x方向簡單拉伸時：,將,代入第一式，則可得,進一步可得,4.5 彈性常數(shù)的測定 各向同性材料的應(yīng)變能密度,再利用單軸拉伸時的胡克定律，得,工程彈性常數(shù)與拉梅彈性常數(shù)之間的關(guān)系為,其中只有兩個獨立的彈性常數(shù)。,實驗測定