1、34函數(shù)的應(yīng)用()1理解直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長的含義(重點(diǎn))2區(qū)分指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長速度的差異(易混點(diǎn))3會(huì)選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型分析和解決一些實(shí)際問題(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理幾類不同增長的函數(shù)模型閱讀教材P112P113，完成下列問題1三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)圖象的變化隨x的增大逐漸與y軸平行隨x的增大逐漸與x軸平行隨n值的不同而不同2.三種函數(shù)增長速度的比較(1)在區(qū)間(0，)上，函數(shù)yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函數(shù)，但增長速度不同，且不在同一個(gè)“檔次”上(

2、2)隨著x的增大，yax(a1)的增長速度越來越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于yxn(n0)的增長速度，而ylogax(a1)的增長速度越來越慢(3)存在一個(gè)x0，當(dāng)xx0時(shí)，有axxnlogax.判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí)，y增加或減少的量為定值，則y是x的一次函數(shù)()(3)不存在一個(gè)實(shí)數(shù)m，使得當(dāng)xm時(shí)，1.1xx100.()【解析】(1).因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的圖象是直線，所以當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí)，y增加或減少的量為定值(3).根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)增長速度的比較可知存在一個(gè)實(shí)數(shù)m，使得當(dāng)xm時(shí)，1.1xx100.【答案】(1)(2)(3)小組合作型函數(shù)模型的增長差異(1)下列

3、函數(shù)中，增長速度最快的是() Ay2 016x Byx2 016Cylog2 016x Dy2 016x(2)四個(gè)自變量y1、y2、y3、y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907則關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是_【精彩點(diǎn)撥】(1)由題意，指數(shù)函數(shù)增長速度最快(2)【自主解答】(1)比較冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)可知，指數(shù)函數(shù)增長速度最快，故選A.(2)以爆炸式增長的變量呈

4、指數(shù)函數(shù)變化從表格中可以看出，四個(gè)變量y1，y2，y3，y4均是從2開始變化，且都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量y2的增長速度最快，畫出它們的圖象(圖略)，可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化故填y2.【答案】(1)A(2)y21指數(shù)函數(shù)模型yax(a1)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，形象地稱為“指數(shù)爆炸”2對(duì)數(shù)函數(shù)模型ylogax(a1)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢3冪函數(shù)模型yxn(n0)的增長速度介于指數(shù)增長和對(duì)數(shù)增長之間再練一題1下列函數(shù)中隨x的增大而增長速度最快的是()Ayex By100ln xCyx100 Dy1002x【

5、解析】指數(shù)函數(shù)yax，在a1時(shí)呈爆炸式增長，并且隨a值的增大，增長速度越快，應(yīng)選A.【答案】A根據(jù)函數(shù)圖象確定函數(shù)模型函數(shù)f(x)2x和g(x)x3的圖象如圖341所示，設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2.圖341(1)請(qǐng)指出圖中曲線C1，C2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，判斷f(6)，g(6)，f(2 016)，g(2 016)的大小【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長差異進(jìn)行判斷【自主解答】(1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)x3，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)2x.(2)f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(9)，f(10)g(10)，1x12,9x

6、210，x16x2,2 016x2.從圖象上可以看出，當(dāng)x1xx2時(shí)，f(x)g(x)，f(6)g(6)；當(dāng)xx2時(shí)，f(x)g(x)，f(2 016)g(2 016)又g(2 016)g(6)，f(2 016)g(2 016)g(6)f(6)根據(jù)函數(shù)圖象判斷增長函數(shù)模型時(shí)，通常是根據(jù)函數(shù)圖象上升的快慢來判斷，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，圖象趨于平緩的函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，中間的是冪函數(shù).再練一題圖3422函數(shù)f(x)lg x，g(x)0.3x1的圖象如圖342所示(1)試根據(jù)函數(shù)的增長差異指出曲線C1，C2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)；(2)比較兩函數(shù)的增長差異(以兩圖象交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對(duì)f

7、(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較). 【解】(1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)0.3x1，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)lg x.(2)當(dāng)xf(x)；當(dāng)x1xg(x)；當(dāng)xx2時(shí)，g(x)f(x)；當(dāng)xx1或xx2時(shí)，f(x)g(x)探究共研型函數(shù)模型的選擇探究1在我們學(xué)習(xí)過的函數(shù)中，哪些函數(shù)是其定義域上的單調(diào)函數(shù)？【提示】一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)探究2在選擇函數(shù)模型時(shí)，若隨著自變量的變大、函數(shù)值增加得速度急劇變化，應(yīng)選擇哪個(gè)函數(shù)模型？若變化的速度很平緩，應(yīng)選擇哪個(gè)函數(shù)模型？【提示】前者應(yīng)選擇指數(shù)函數(shù)模型，后者選擇對(duì)數(shù)函數(shù)模型某跨國飲料公司在對(duì)全世界所有人均GDP(即人均純收入)在0.58千美元的地區(qū)

8、銷售該公司A飲料的情況調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn)：該飲料在人均GDP處于中等的地區(qū)銷售量最多，然后向兩邊遞減(1)下列幾個(gè)模擬函數(shù)中：yax2bx；ykxb；ylogaxb；yaxb(x表示人均GDP，單位：千美元，y表示年人均A飲料的銷售量，單位：L)用哪個(gè)模擬函數(shù)來描述人均A飲料銷售量與地區(qū)的人均GDP關(guān)系更合適？說明理由；(2)若人均GDP為1千美元時(shí)，年人均A飲料的銷售量為2 L，人均GDP為4千美元時(shí)，年人均A飲料的銷售量為5 L，把(1)中你所選的模擬函數(shù)求出來，并求出各個(gè)地區(qū)中，年人均A飲料的銷售量最多是多少？【精彩點(diǎn)撥】(1)理解題意，根據(jù)所給函數(shù)模型的增長趨勢來選擇；(2)根據(jù)(1)中所選擇

9、的函數(shù)模型，求出其解析式并求最大值【自主解答】(1)用來模擬比較合適因?yàn)樵擄嬃显谌司鵊DP處于中等的地區(qū)銷售量最多，然后向兩邊遞減而，表示的函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，所以，都不合適，故用來模擬比較合適(2)因?yàn)槿司鵊DP為1千美元時(shí)，年人均A飲料的銷量為2升；人均GDP為4千美元時(shí)，年人均A飲料的銷量為5升，把x1，y2；x4，y5代入到y(tǒng)ax2bx，得解得a，b，所以函數(shù)解析式為yx2x.(x0.5,8)yx2x，當(dāng)x時(shí)，年人均A飲料的銷售量最多是 L.不同的函數(shù)模型能刻畫現(xiàn)實(shí)世界中不同的變化規(guī)律1線性函數(shù)增長模型適合于描述增長速度不變的變化規(guī)律2指數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度急劇的變化規(guī)

10、律3對(duì)數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律4冪函數(shù)增長模型適合于描述增長速度一般的變化規(guī)律因此，需抓住題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息，恰當(dāng)、準(zhǔn)確地建立相應(yīng)變化規(guī)律的函數(shù)模型來解決實(shí)際問題再練一題3某化工廠開發(fā)研制了一種新產(chǎn)品，在前三個(gè)月的月生產(chǎn)量依次為100t,120t,130t.為了預(yù)測今后各個(gè)月的生產(chǎn)量，需要以這三個(gè)月的月產(chǎn)量為依據(jù)，用一個(gè)函數(shù)來模擬月產(chǎn)量y(t)與月序數(shù)x之間的關(guān)系對(duì)此模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)yf(x)ax2bxc(a，b，c均為待定系數(shù)，xN*)或函數(shù)yg(x)pqxr(p，q，r均為待定系數(shù)，xN*)，現(xiàn)在已知該廠這種新產(chǎn)品在第四個(gè)月的月產(chǎn)量為137t，則選用這兩個(gè)函數(shù)中

11、的哪一個(gè)作為模擬函數(shù)較好？【解】根據(jù)題意可列方程組：解得所以yf(x)5x235x70.同理yg(x)800.5x140.再將x4分別代入與式得：f(4)54235470130(t)，g(4)800.54140135(t)與f(4)相比，g(4)在數(shù)值上更為接近第四個(gè)月的實(shí)際月產(chǎn)量，所以式作為模擬函數(shù)比式更好，故選用函數(shù)yg(x)pqxr作為模擬函數(shù)較好1.如圖343給出了紅豆生長時(shí)間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點(diǎn)圖，用下列哪個(gè)函數(shù)模型擬合紅豆生長時(shí)間與枝數(shù)的關(guān)系最好()圖343A指數(shù)函數(shù)：y2tB對(duì)數(shù)函數(shù)：ylog2tC冪函數(shù)：yt3D二次函數(shù)：y2t2【解析】根據(jù)圖象中的點(diǎn)，經(jīng)驗(yàn)證用指數(shù)函數(shù)

12、模型擬合效果最好【答案】A2某人2013年1月1日到銀行存入一年期存款a元，若年利率為x，并按復(fù)利計(jì)算，到2018年1月1日可取款(不計(jì)利息稅)()Aa(1x)5元Ba(1x)6元Ca(1x5)元 Da(1x6)元【解析】2014年1月1日可取款a(1x)元，2015年1月1日可取款a(1x)2元，同理可得2018年1月1日可取款a(1x)5元【答案】A3某公司為了適應(yīng)市場需求對(duì)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)做了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤增長迅速，后來增長越來越慢，若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤與時(shí)間的關(guān)系，可選用()A一次函數(shù) B二次函數(shù)C指數(shù)型函數(shù) D對(duì)數(shù)型函數(shù)【解析】結(jié)合“直線上升，對(duì)數(shù)增長，指數(shù)

13、爆炸”可知，只有D選項(xiàng)對(duì)數(shù)型函數(shù)符合題設(shè)條件，故選D.【答案】D4表示一位騎自行車和一位騎摩托車的旅行者在相距80 km的甲、乙兩城間從甲城到乙城所行駛的路程與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系，有人根據(jù)函數(shù)圖象，提出了關(guān)于這兩個(gè)旅行者的如下信息：圖344騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3 h，晚到1 h；騎自行車者是變速運(yùn)動(dòng)，騎摩托車者是勻速運(yùn)動(dòng)；騎摩托車者在出發(fā)1.5 h后追上了騎自行車者；騎摩托車者在出發(fā)1.5 h后與騎自行車者速度一樣其中，正確信息的序號(hào)是_. 【解析】看時(shí)間軸易知正確；騎摩托車者行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象是直線，所以是勻速運(yùn)動(dòng)，而騎自行車者行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象是折線，所以是變速運(yùn)動(dòng)，因此正確；兩條曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)著4.5，故正確；錯(cuò)誤【答案】5函數(shù)f(x)1.1x，g(x)ln x1，h(x)x的圖象如圖345所示，試分別指出各曲線對(duì)應(yīng)的