1、第二講 數(shù)列的綜合應(yīng)用考情分析數(shù)列在解答題中的考查常以數(shù)列的相關(guān)項(xiàng)以及關(guān)系式，或數(shù)列的前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系入手，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式與等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義展開(kāi)，求解數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和，有時(shí)與參數(shù)的求解、數(shù)列不等式的證明等加以綜合試題難度中等.年份卷別考查角度及命題位置2017卷等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用T17卷已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)與裂項(xiàng)求和T172016卷等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算T17卷數(shù)列的遞推關(guān)系式、等比數(shù)列的定義T17真題自檢1(2017高考全國(guó)卷)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，a11，b11，a2b22.(1)若a3b35，求bn的通項(xiàng)公式；(2)

2、若T321，求S3.解析：設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則an1(n1)d，bnqn1.由a2b22得dq3.(1)由a3b35得2dq26.聯(lián)立和解得(舍去)，因此bn的通項(xiàng)公式為bn2n1.(2)由b11，T321得q2q200，解得q5，q4.當(dāng)q5時(shí)，由得d8，則S321.當(dāng)q4時(shí)，由得d1，則S36.2(2017高考全國(guó)卷)設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和解析：(1)因?yàn)閍13a2(2n 1)an2n，故當(dāng)n2時(shí)，a13a2(2n3)an12(n1)兩式相減得(2n 1)an2，所以an(n2)又由題設(shè)可得a12，符合上式

3、，從而an的通項(xiàng)公式為an.(2)記的前n項(xiàng)和為Sn.由(1)知.則Sn.3(2016高考全國(guó)卷)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列an滿(mǎn)足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通項(xiàng)公式解析：(1)由題意可得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10得2an1(an1)an(an1)因此an的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以.故an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，因此an.4(2016高考全國(guó)卷)已知an是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿(mǎn)足b11，b2，anbn1bn1nbn.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求bn的前n項(xiàng)和解析：(1)由已知，a1b2b2b1，b11，b2，得a1

4、2.所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an3n1.(2)由(1)知， anbn1bn1nbn，得bn1，因此bn是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列記bn的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn.由遞推關(guān)系求通項(xiàng)方法結(jié)論求數(shù)列通項(xiàng)常用的方法(1)定義法：形如an1anC(C為常數(shù))，直接利用定義判斷其為等差數(shù)列形如an1kan(k為非零常數(shù))且首項(xiàng)不為零，直接利用定義判斷其為等比數(shù)列(2)疊加法：形如an1anf(n)，利用ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)，求其通項(xiàng)公式(3)疊乘法：形如f(n)0，利用ana1，求其通項(xiàng)公式(4)待定系數(shù)法：形如an1panq(其中p，q均為常數(shù)，p

5、q(p1)0)，先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an1tp(ant)，其中t，再轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解(5)構(gòu)造法：形如an1panqn(其中p，q均為常數(shù)，pq(p1)0)，先在原遞推公式兩邊同除以qn1，得，構(gòu)造新數(shù)列bn，得bn1bn，接下來(lái)用待定系數(shù)法求解題組突破1(2017威海模擬)已知數(shù)列an滿(mǎn)足a11，且anan1()n(n2且nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為()AanBanCann2 Dan(n2)3n解析：由anan1()n(n2且nN*)得，3nan3n1an11,3n1an13n2an21，32a23a11，以上各式相加得3nann2，故an.答案：B2已知數(shù)列an滿(mǎn)足：a1

6、，an1an，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an()A. B1C1 D.解析：通解：an11an1(an1)，令bnan1，則，從而得到，又b1a11，得bnb1，所以an1，選C.優(yōu)解：a11，a21，a31，歸納可得an1，選C.答案：C3(2017宜昌調(diào)研)已知數(shù)列an滿(mǎn)足a11，an(nN*，n2)，數(shù)列bn滿(mǎn)足關(guān)系式bn(nN*)(1)求證：數(shù)列bn為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解析：(1)證明：bn，且an，bn1，bn1bn4.又b11，數(shù)列bn是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列(2)由(1)知數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn1(n1)44n3，又bn，an.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an.4已

7、知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn2an3n12(nN*)證明：數(shù)列an3為等比數(shù)列，并求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式解析：當(dāng)n1時(shí)，S1a12a1312，a19.當(dāng)n1時(shí)，SnSn1an2an3n122an13(n1)122an2an13，an32(an13)，an3是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列an362n1，an62n13.誤區(qū)警示依據(jù)遞推式an1panq(p，q為常數(shù))求數(shù)列通項(xiàng)公式是最常見(jiàn)的一類(lèi)題型當(dāng)p1時(shí)，an為等差數(shù)列；當(dāng)p1，p0，q0時(shí)，an為等比數(shù)列；當(dāng)p1，p0，q0時(shí)，如何求出其通項(xiàng)公式是一個(gè)難點(diǎn)，化解這類(lèi)問(wèn)題的思路是利用待定系數(shù)法，轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列數(shù)列求和方法結(jié)論常用求和方法(

8、1)錯(cuò)位相減法：適用于各項(xiàng)由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積組成的數(shù)列把Sna1a2an兩邊同乘以相應(yīng)等比數(shù)列的公比q，得到qSna1qa2qanq，兩式錯(cuò)位相減即可求出Sn.(2)裂項(xiàng)相消法：即將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和的形式，然后通過(guò)累加抵消中間若干項(xiàng)的方法裂項(xiàng)相消法適用于形如(其中an是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列(3)拆項(xiàng)分組法：把數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)(或多項(xiàng))，再重新組合成兩個(gè)(或多個(gè))簡(jiǎn)單的數(shù)列，最后分別求和典例(2017大連一中模擬)已知數(shù)列an是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn(1)na，求數(shù)列bn的前

9、2n項(xiàng)和T2n.解析：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由已知得a10，令n1，則S1，所以a1a23，令n2，則S2，所以a2a315，a2a1d，a3a12d，聯(lián)立，解得或(舍去)，所以an2n1.(2)由題意知，bn(1)na(1)nn(n1)1，所以T2n(121)(231)(341)(1)2n2n(2n1)1(121)(231)(341)(451)(2n1)2n12n(2n1)1484n2n22n.類(lèi)題通法分類(lèi)討論思想在數(shù)列求和中的應(yīng)用(1)當(dāng)數(shù)列通項(xiàng)中含有(1)n時(shí)，在求和時(shí)要注意分n為奇數(shù)與偶數(shù)處理(2)對(duì)已知數(shù)列滿(mǎn)足q，在求an的前n項(xiàng)和時(shí)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求和演練沖關(guān)1已知函

10、數(shù)f(n)且anf(n)f(n1)，則a1a2a3a100()A0B100C100D10 200解析：由題意，a1a2a3a1001222223232424252992100210021012(12)(32)(99100)(101100)(1299100)(23100101)1101100，故選B.解析：B2已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，anan13n，則S2 017_.解析：由anan13n，得an1an3n1(n2)，所以3(n2)，則數(shù)列an的所有奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均構(gòu)成以3為公比的等比數(shù)列，又a11，a1a23，所以a23，所以S2 01731 0092.答案：31 00923(

11、2017廣西三市聯(lián)考)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且6Sn3n1a(nN*)(1)求a的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn(1an)log3(aan1)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解析：(1)6Sn3n1a(nN*)，當(dāng)n1時(shí)，6S16a19a，當(dāng)n2時(shí)，6an6(SnSn1)23n，即an3n1，an是等比數(shù)列，a11，則9a6，得a3，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n1(nN*)(2)由(1)得bn(1an)log3(aan1)(3n2)(3n1)，Tn(1).數(shù)列與其他知識(shí)交匯的綜合問(wèn)題數(shù)列中的綜合問(wèn)題，大多與函數(shù)、方程、不等式及解析幾何交匯，考查利用函數(shù)與方程的思想及分類(lèi)討論思想解決數(shù)

12、列中的問(wèn)題，用不等式的方法研究數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列與解析幾何交匯，主要涉及點(diǎn)列問(wèn)題交匯點(diǎn)一數(shù)列與函數(shù)交匯典例1(2016大連雙基測(cè)試)已知函數(shù)f(x)2sin(x)(0，|)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)(1)求，的值；(2)設(shè)annf(nN*)，求數(shù)列an的前30項(xiàng)和S30.解析：(1)由題可得2 k，kZ，2k，kZ，解得2，2k，kZ.|，.(2)an2nsin(nN*)，數(shù)列(nN*)的周期為3，前三項(xiàng)依次為0，a3n2a3n1a3n(3n2)0(3n1)3n()(nN*)，S30(a1a2a3)(a28a29a30)10.類(lèi)題通法數(shù)列與函數(shù)的交匯問(wèn)題的類(lèi)型及解題方法(1)已知函數(shù)條件

13、，解決數(shù)列問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問(wèn)題；(2)已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法等對(duì)式子化簡(jiǎn)變形演練沖關(guān)1設(shè)曲線y2 018xn1(nN*)在點(diǎn)(1,2 018)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，令anlog2 018xn，則a1a2a2 017的值為()A2 018B2 017C1 D1解析：因?yàn)閥2 018(n1)xn，所以切線方程是y2 0182 018(n1)(x1)，所以xn，所以a1a2a2 017log2 018(x1x2x2 017)log2 018()log2 0181.答案：D交匯點(diǎn)二數(shù)列與不等式交匯典例2(2017武漢調(diào)研)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a19，a2為整數(shù)，且SnS5.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：Tn.解析：(1)由a19，a2為整數(shù)可知，等差數(shù)列an的公差d為整數(shù)又SnS5，a50，a60，于是94d0,95d0，解得d.d為整數(shù)，d2.故an的通項(xiàng)公式為an112n.(2)證明：由(1)，得()，Tn()()()()令bn，由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(4.5，0)對(duì)稱(chēng)及其單調(diào)性，知0b1b2b3b4，b5b6b70，bnb41.Tn(1).類(lèi)題通法數(shù)列與不等式的交匯多為不等式恒成立與證明和形式的不等式，在求