1、3.1導(dǎo)數(shù)的概念及運算最新考綱考情考向分析1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景2.通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)yc(c為常數(shù))，yx，yx2，yx3，y，y的導(dǎo)數(shù)4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)的概念和運算是高考的必考內(nèi)容，一般滲透在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中考查；導(dǎo)數(shù)的幾何意義常與解析幾何中的直線交匯考查；題型為選擇題或解答題的第(1)問，低檔難度.1導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的概念(1)當x1趨于x0，即x趨于0時，如果平均變化率趨于一個固定的值，那么這個值就是函數(shù)yf(x)在x0點的瞬時變化率在數(shù)學中，稱瞬時變化率為函數(shù)yf(x)在x0點的導(dǎo)數(shù)，通常用符

2、號f(x0)表示，記作f(x0) .(2)如果一個函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的每一點x處都有導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)值記為f(x)：f(x) ，則f(x)是關(guān)于x的函數(shù)，稱f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，通常也簡稱為導(dǎo)數(shù)2導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)yf(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率k，即kf(x0)3基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)c(c為常數(shù))f(x)0f(x)x(為實數(shù))f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln_af(x)ln

3、xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.導(dǎo)數(shù)的運算法則若f(x)，g(x)存在，則有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)知識拓展1奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)2af(x)bg(x)af(x)bg(x)3函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f(x)|反映了變化的快慢，|f(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)f(x0)是函數(shù)yf(x)

4、在xx0附近的平均變化率()(2)f(x0)與f(x0)表示的意義相同()(3)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線()(4)函數(shù)f(x)sin(x)的導(dǎo)數(shù)是f(x)cos x()題組二教材改編2若f(x)xex，則f(1)_.答案2e解析f(x)exxex，f(1)2e.3曲線y在點M(，0)處的切線方程為_答案xy0解析y，x時，y，切線方程為y(x)，即xy0.題組三易錯自糾4如圖所示為函數(shù)yf(x)，yg(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像，那么yf(x)，yg(x)的圖像可能是()答案D解析由yf(x)的圖像知，yf(x)在(0，)上是減少的，說明函數(shù)yf(x)的切線的斜率在(0，)上也是減少

5、的，故可排除A，C.又由圖像知yf(x)與yg(x)的圖像在xx0處相交，說明yf(x)與yg(x)的圖像在xx0處的切線的斜率相同，故可排除B.故選D.5有一機器人的運動方程為st2(t是時間，s是位移)，則該機器人在時刻t2時的瞬時速度為()A. B. C. D.答案D6(2018青島調(diào)研)已知f(x)x22xf(2 018)2 018ln x，則f(2 018)等于()A2 018 B2 019C2 019 D2 018答案B解析由題意得f(x)x2f(2 018)，所以f(2 018)2 0182f(2 018)，即f(2 018)(2 0181)2 019.7已知函數(shù)f(x)ax3x

6、1的圖像在點(1，f(1)處的切線過點(2,7)，則a_.答案1解析f(x)3ax21，f(1)3a1，又f(1)a2，切線方程為y(a2)(3a1)(x1)，又點(2,7)在切線上，可得a1.題型一導(dǎo)數(shù)的計算1f(x)x(2 018ln x)，若f(x0)2 019，則x0等于()Ae2 B1 Cln 2 De答案B解析f(x)2 018ln xx2 019ln x，故由f(x0)2 019，得2 019ln x02 019，則ln x00，解得x01.2若函數(shù)f(x)ax4bx2c滿足f(1)2，則f(1)等于()A1 B2 C2 D0答案B解析f(x)4ax32bx，f(x)為奇函數(shù)且f

7、(1)2，f(1)2.3已知f(x)x22xf(1)，則f(0)_.答案4解析f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2.f(x)2x4，f(0)4.思維升華 導(dǎo)數(shù)計算的技巧求導(dǎo)之前，應(yīng)對函數(shù)進行化簡，然后求導(dǎo)，減少運算量題型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義命題點1求切線方程典例 (1)曲線f(x)在x0處的切線方程為_答案2xy10解析根據(jù)題意可知切點坐標為(0，1)，f(x)，故切線的斜率kf(0)2，則直線的方程為y(1)2(x0)，即2xy10.(2)已知函數(shù)f(x)xln x，若直線l過點(0，1)，并且與曲線yf(x)相切，則直線l的方程為_答案xy10解析點(0，1)不在曲線f(

8、x)xln x上，設(shè)切點為(x0，y0)又f(x)1ln x，直線l的方程為y1(1ln x0)x.由解得x01，y00.直線l的方程為yx1，即xy10.引申探究本例(2)中，若曲線yxln x上點P的切線平行于直線2xy10，則點P的坐標是_答案(e，e)解析y1ln x，令y2，即1ln x2，xe，點P的坐標為(e，e)命題點2求參數(shù)的值典例 (1)直線ykx1與曲線yx3axb相切于點A(1,3)，則2ab_.答案1解析由題意知，yx3axb的導(dǎo)數(shù)y3x2a，則由此解得k2，a1，b3，2ab1.(2)(2018屆東莞外國語學校月考)曲線y4xx2上兩點A(4,0)，B(2,4)，若

9、曲線上一點P處的切線恰好平行于弦AB，則點P的坐標是()A(3,3) B(1,3)C(6，12) D(2,4)答案A解析設(shè)點P(x0，y0)，A(4,0)，B(2,4)，kAB2.在點P處的切線l平行于弦AB，kl2.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知當xx0時，y42x02，即x03，點P(x0，y0)在曲線y4xx2上，y04x0x3，P(3,3)命題點3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像典例 (1)已知函數(shù)yf(x)的圖像是下列四個圖像之一，且其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖像如圖所示，則該函數(shù)的圖像是()答案B解析由yf(x)的圖像是先上升后下降可知，函數(shù)yf(x)圖像的切線的斜率先增大后減小，故選B.(2)已知yf(x)是可導(dǎo)

10、函數(shù)，如圖，直線ykx2是曲線yf(x)在x3處的切線，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(3)_.答案0解析由題圖可知曲線yf(x)在x3處切線的斜率等于，f(3).g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由題圖可知f(3)1，g(3)130.思維升華 導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率，應(yīng)用時主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)已知切點A(x0，f(x0)求斜率k，即求該點處的導(dǎo)數(shù)值kf(x0)(2)若求過點P(x0，y0)的切線方程，可設(shè)切點為(x1，y1)，由求解即可(3)函數(shù)圖像在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖像在相應(yīng)點處的變

11、化情況跟蹤訓(xùn)練 (1)(2017山西孝義模擬)已知f(x)x2，則曲線yf(x)過點P(1,0)的切線方程是_答案y0或4xy40解析設(shè)切點坐標為(x0，x)，f(x)2x，切線方程為y02x0(x1)，x2x0(x01)，解得x00或x02，所求切線方程為y0或y4(x1)，即y0或4xy40.(2)設(shè)曲線y在點處的切線與直線xay10平行，則實數(shù)a_.答案1解析y，當x時，y1.由條件知1，a1.求曲線的切線方程典例 若存在過點O(0,0)的直線l與曲線yx33x22x和yx2a都相切，求a的值錯解展示現(xiàn)場糾錯解易知點O(0,0)在曲線yx33x22x上(1)當O(0,0)是切點時，由y3

12、x26x2，得當x0時，y2，即直線l的斜率為2，故直線l的方程為y2x.由得x22xa0，依題意44a0，得a1.(2)當O(0,0)不是切點時，設(shè)直線l與曲線yx33x22x相切于點P(x0，y0)，則y0x3x2x0，k3x6x02，又kx3x02，聯(lián)立，得x0(x00舍去)，所以k，故直線l的方程為yx.由得x2xa0，依題意知4a0，得a.綜上，a1或a.糾錯心得求曲線過一點的切線方程，要考慮已知點是切點和已知點不是切點兩種情況1函數(shù)f(x)(x2a)(xa)2的導(dǎo)數(shù)為()A2(x2a2) B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)答案C解析f(x)(xa)2(x2a)(2x

13、2a)(xa)(xa2x4a)3(x2a2)2設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，yf(x)的圖像如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像可能是()答案C解析原函數(shù)的單調(diào)性是當x0時，f(x)的單調(diào)性變化依次為增、減、增，故當x0；當x0時，f(x)的符號變化依次為，.故選C.3(2017西安質(zhì)檢)曲線f(x)x3x3在點P處的切線平行于直線y2x1，則P點的坐標為()A(1,3) B(1,3)C(1,3)或(1,3) D(1，3)答案C解析f(x)3x21，令f(x)2，則3x212，解得x1或x1，P(1,3)或(1,3)，經(jīng)檢驗，點(1,3)，(1,3)均不在直線y2x1上，故選C.4若直線yx是曲線

14、yx33x2px的切線，則實數(shù)p的值為()A1 B2 C. D1或答案D解析y3x26xp，設(shè)切點為P(x0，y0)，解得或5(2018廣州調(diào)研)已知曲線yln x的切線過原點，則此切線的斜率為()Ae Be C. D答案C解析yln x的定義域為(0，)，且y，設(shè)切點為(x0，ln x0)，則當xx0時y，切線方程為yln x0(xx0)，因為切線過點(0,0)，所以ln x01，解得x0e，故此切線的斜率為.6(2017重慶診斷)已知函數(shù)f(x)sin x，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，則f(2 019)f(2 019)f(2 019)f(2 019)的值為()A0 B2C2 017 D2 017答

15、案B解析f(x)sin x，f(x)cos x，f(x)f(x)sin xsin(x)2，f(x)f(x)cos xcos(x)0，f(2 019)f(2 019)f(2 019)f(2 019)2.7已知函數(shù)f(x)axln x，x(0，)，其中a為實數(shù)，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f(1)3，則a的值為_答案3解析f(x)aa(1ln x)，由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3.8(2016全國)已知f(x)為偶函數(shù)，當x0時，f(x)ex1x，則曲線yf(x)在點(1,2)處的切線方程是_答案2xy0解析設(shè)x0，則x0時，f(x)ex1x，f(x)ex11，故f(1)

16、2，所以曲線在點(1,2)處的切線方程為y22(x1)，即y2x.9設(shè)點P是曲線yx3x上的任意一點，P點處切線傾斜角的取值范圍為_答案解析因為y3x2，故切線斜率k，所以切線傾斜角的取值范圍是.10(2018成都質(zhì)檢)已知f(x)，g(x)分別是二次函數(shù)f(x)和三次函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且它們在同一平面直角坐標系內(nèi)的圖像如圖所示(1)若f(1)1，則f(1)_；(2)設(shè)函數(shù)h(x)f(x)g(x)，則h(1)，h(0)，h(1)的大小關(guān)系為_(用“”連接)答案(1)1(2)h(0)h(1)h(1)解析(1)由圖可得f(x)x，g(x)x2，設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，g(x)dx3ex

17、2mxn(d0)，則f(x)2axbx，g(x)3dx22exmx2，故a，b0，d，em0，所以f(x)x2c，g(x)x3n，由f(1)1，得c，則f(x)x2，故f(1)1.(2)h(x)f(x)g(x)x2x3cn，則有h(1)cn，h(0)cn，h(1)cn，故h(0)h(1)h(1)11已知函數(shù)f(x)x34x25x4.(1)求曲線f(x)在點(2，f(2)處的切線方程；(2)求經(jīng)過點A(2，2)的曲線f(x)的切線方程解(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲線在點(2，f(2)處的切線方程為y2x2，即xy40.(2)設(shè)曲線與經(jīng)過點A(2，2)的切線相切于點P(

18、x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，切線方程為y(2)(3x8x05)(x2)，又切線過點P(x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或1，經(jīng)過點A(2，2)的曲線f(x)的切線方程為xy40或y20.12已知曲線yx3x2在點P0處的切線l1平行于直線4xy10，且點P0在第三象限(1)求P0的坐標；(2)若直線ll1，且l也過切點P0，求直線l的方程解(1)由yx3x2，得y3x21，由已知令3x214，解得x1.當x1時，y0；當x1時，y4.又點P0在第三象限，切點P0的坐標為(1，4)(2)直線ll1，l1的斜率為4，直線l的斜率為.l過切點P0，點P0的坐標為(1，4)，直線l的方程為y4(x1)，即x4y170.13已知函數(shù)f(x)1，g(x)aln