1、2.6對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)最新考綱考情考向分析1.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象通過(guò)的特殊點(diǎn)，會(huì)畫(huà)底數(shù)為2,3,10，的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象3.體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型4.了解指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0，且a1)互為反函數(shù).以比較對(duì)數(shù)函數(shù)值大小的形式考查函數(shù)的單調(diào)性；以復(fù)合函數(shù)的形式考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，題型一般為選擇、填空題，中低檔難度.1對(duì)數(shù)的概念如果a(a0，a1)的b次冪等于N，即abN，那么數(shù)b叫作以a為底N的對(duì)數(shù)，記作logaN

2、b，其中 a叫作對(duì)數(shù)的底數(shù)， N叫作真數(shù)2對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)(2)對(duì)數(shù)的性質(zhì)N；logaaNN (a0，且a1)(3)對(duì)數(shù)的換底公式logab(a0，且a1；c0，且c1；b0)3對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)ylogaxa10a1時(shí)，y0；當(dāng)0x1時(shí)，y1時(shí)，y0；當(dāng)0x0(6)在(0，)上是增函數(shù)(7)在(0，)上是減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線yx對(duì)稱知識(shí)拓展1

3、換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論(1)logab；(2)logab.其中a0且a1，b0且b1，m，nR.2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y1，則該直線與四個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)，故0cd1a0，則loga(MN)logaMlogaN.()(2)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)在(0，)上是增函數(shù)()(3)函數(shù)yln與yln(1x)ln(1x)的定義域相同()(4)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)的圖像過(guò)定點(diǎn)(1,0)且過(guò)點(diǎn)(a,1)，函數(shù)圖像只在第一、四象限()題組二教材改編2lg lg lg 7_.答案解析原式lg 4lg 2lg 7lg 8lg 7lg 52lg 2(l

4、g 2lg 5)2lg 2.3已知a，blog2，c，則a，b，c的大小關(guān)系為_(kāi)答案cab解析0a1，b1.cab.4函數(shù)y的定義域是_答案解析由log(2x1)0，得02x11.0，log5ba，lg bc,5d10，則下列等式一定成立的是()Adac BacdCcad Ddac答案B6已知函數(shù)yloga(xc)(a，c為常數(shù)，其中a0，a1)的圖像如圖，則下列結(jié)論成立的是()Aa1，c1 Ba1,0c1C0a1 D0a1,0c1答案D解析由該函數(shù)的圖像通過(guò)第一、二、四象限知該函數(shù)為減函數(shù)，0a1，圖像與x軸的交點(diǎn)在區(qū)間(0,1)之間，該函數(shù)的圖像是由函數(shù)ylogax的圖像向左平移不到1個(gè)單

5、位后得到的，0c1.7若loga0且a1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(1，)解析當(dāng)0a1時(shí)，logalogaa1，0a1時(shí)，loga1.實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，)題型一對(duì)數(shù)的運(yùn)算1設(shè)2a5bm，且2，則m等于()A. B10C20 D100答案A解析由已知，得alog2m，blog5m，則logm2logm5logm102.解得m.2計(jì)算：100_.答案20解析原式(lg 22lg 52)100lg10lg 1021021020.3計(jì)算：_.答案1解析原式1.思維升華 對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路(1)拆：首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)

6、化簡(jiǎn)合并(2)合：將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算題型二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用典例 (1)若函數(shù)ylogax(a0且a1)的圖像如圖所示，則下列函數(shù)圖像正確的是()答案B解析由題意ylogax(a0且a1)的圖像過(guò)(3,1)點(diǎn)，可解得a3.選項(xiàng)A中，y3xx，顯然圖像錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，yx3，由冪函數(shù)圖像性質(zhì)可知正確；選項(xiàng)C中，y(x)3x3，顯然與所畫(huà)圖像不符；選項(xiàng)D中，ylog3(x)的圖像與ylog3x的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，顯然不符，故選B.(2)當(dāng)0x時(shí)，4xlogax，則a的取值范圍是()A. B.C(1，) D(，2)答案

7、B解析由題意得，當(dāng)0a1時(shí)，要使得4xlogax，即當(dāng)0x時(shí)，函數(shù)y4x的圖像在函數(shù)ylogax圖像的下方又當(dāng)x時(shí)，2，即函數(shù)y4x的圖像過(guò)點(diǎn).把點(diǎn)代入ylogax，得a.若函數(shù)y4x的圖像在函數(shù)ylogax圖像的下方，則需a1時(shí)，不符合題意，舍去所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.引申探究若本例(2)變?yōu)榉匠?xlogax在上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)答案解析若方程4xlogax在上有解，則函數(shù)y4x和函數(shù)ylogax在上有交點(diǎn)，由圖像知解得01時(shí)，直線yxa與ylog2x只有一個(gè)交點(diǎn)題型三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用命題點(diǎn)1對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性典例 (1)若ab0,0c1，則()Alogaclogbc Blog

8、calogcbCaccb答案B解析當(dāng)0c1時(shí)，ylogcx是減函數(shù)，logca0在區(qū)間(，2上恒成立且函數(shù)yx2ax3a在(，2上是減少的，則2且(2)2(2)a3a0，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍是4,4)，故選D.命題點(diǎn)2和對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)典例 已知函數(shù)f(x)loga(3ax)(a0且a1)(1)當(dāng)x0,2時(shí)，函數(shù)f(x)恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)a0且a1，設(shè)t(x)3ax，則t(x)3ax為減函數(shù)，x0,2時(shí)，t(x)的最小值為32a，當(dāng)x0,2

9、時(shí)，f(x)恒有意義，即x0,2時(shí)，3ax0恒成立32a0.a0且a1，a的取值范圍為(0,1).(2)假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a.t(x)3ax，a0，函數(shù)t(x)為減函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為減函數(shù)，ylogat為增函數(shù)，a1，x1,2時(shí)，t(x)的最小值為32a，f(x)的最大值為f(1)loga(3a)，即故不存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為減函數(shù)，并且最大值為1.思維升華 (1)利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性時(shí)要注意真數(shù)必須為正，明確底數(shù)對(duì)單調(diào)性的影響(2)解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，首先要確定函數(shù)的定義域，根據(jù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的最值解決恒成立問(wèn)題跟

10、蹤訓(xùn)練 (1)設(shè)alog32，blog52，clog23，則()Aacb BbcaCcba Dcab答案D解析alog32log331，blog52log221，所以c最大由1log23，即ab，所以cab.(2)已知函數(shù)f(x)ln的定義域是(1，)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)答案2解析由題意，得不等式10的解集是(1，)，由10，可得2xa，故xlog2a，由log2a1，得a2.比較指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的大小考點(diǎn)分析 比較大小問(wèn)題是每年高考的必考內(nèi)容之一(1)比較指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的大小，可以利用函數(shù)的單調(diào)性，引入中間量；有時(shí)也可用數(shù)形結(jié)合的方法(2)解題時(shí)要根據(jù)實(shí)際情況來(lái)構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行

11、比較，如果指數(shù)相同，而底數(shù)不同則構(gòu)造冪函數(shù)，若底數(shù)相同而指數(shù)不同則構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，若引入中間量，一般選0或1.典例 (1)設(shè)a0.50.5，b0.30.5，clog0.30.2，則a，b，c的大小關(guān)系是()Acba BabcCbac Dacb(2)(2017新鄉(xiāng)二模)設(shè)a60.4，blog0.40.5，clog80.4，則a，b，c的大小關(guān)系是()Aabc BcbaCcab Dbca(3)若實(shí)數(shù)a，b，c滿足loga2logb2logc2，則下列關(guān)系中不可能成立的是()Aabc BbacCcba Dacbc BbacCcab Dacb解析(1)根據(jù)冪函數(shù)yx0.5的單調(diào)性，可得0.30.50.5

12、0.510.51，即balog0.30.31，即c1.所以ba1，blog0.40.5(0,1)，clog80.4bc.故選B.(3)由loga2logb2logc2的大小關(guān)系，可知a，b，c有如下四種可能：1cba；0a1cb；0ba1c；0cbaac.答案(1)C(2)B(3)A(4)B1設(shè)alog37，b21.1，c0.83.1，則()Abac BcabCcba Dacb答案B解析alog37，1a2.c0.83.1，0c1.即cab，故選B.2(2017孝義模擬)函數(shù)yln sin x(0x)的大致圖像是()答案C解析因?yàn)?x，所以0sin x1，所以ln sin x0，故選C.3已知

13、偶函數(shù)f(x)，當(dāng)x0,2)時(shí)，f(x)2sin x，當(dāng)x2，)時(shí)，f(x)log2x，則ff(4)等于()A2 B1C3 D.2答案D解析因?yàn)閒f2sin ，f(4)log242，所以ff(4)2，故選D.4(2017北京)根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是()(參考數(shù)據(jù)：lg 30.48)A1033 B1053C1073 D1093答案D解析由題意，lglglg 3361lg 1080361lg 380lg 103610.4880193.28.又lg 103333，lg 105353，lg 1073

14、73，lg 109393，故與最接近的是1093.故選D.5(2017江西紅色七校二模)已知函數(shù)f(x)ln ，若fff503(ab)，則a2b2的最小值為()A6 B8 C9 D12答案B解析f(x)f(ex)2，fff2 012，503(ab)2 012，ab4.a2b28，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)取等號(hào)6若f(x)lg(x22ax1a)在區(qū)間(，1上是減少的，則a的取值范圍為()A1,2) B1,2 C1，) D2，)答案A解析令函數(shù)g(x)x22ax1a(xa)21aa2，對(duì)稱軸為xa，要使函數(shù)在(，1上是減少的，則有即解得1a1時(shí)，1log2x2，解得x，所以x1.綜上可知x0.9(2017

15、南昌模擬)設(shè)實(shí)數(shù)a，b是關(guān)于x的方程|lg x|c的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，且ab10，則abc的取值范圍是_答案(0,1)解析由題意知，在(0,10)上，函數(shù)y|lg x|的圖像和直線yc有兩個(gè)不同交點(diǎn)，ab1,0c0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案解析當(dāng)0a0，即0a0，解得a，且a1，故a1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以loga(1a)0，即1a1，且2a0，解得a0，且a0時(shí)，f(x)logx.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.解(1)當(dāng)x0，則f(x)(x)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)所以x2可化為f(|x21|)f(4)又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(

16、0，)上是減函數(shù)，所以0|x21|4，解得x2成立，所以xf(2) Bf(a1)f(2)Cf(a1)f(2) D不能確定答案A解析由已知得0a1，所以1a1f(2)14已知函數(shù)f(x)ln(x21)，g(x)xm，若對(duì)任意x10,3，存在x21,2，使得f(x1)g(x2)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B.C. D.答案A解析當(dāng)x0,3時(shí)，f(x)minf(0)0，當(dāng)x1,2時(shí)，g(x)ming(2)m，由題意可知原條件等價(jià)于f(x)ming(x)min，即0m，所以m，故選A.15已知函數(shù)f(x)ln，若f(a)f(b)0，且0ab1，則ab的取值范圍是_答案解析由題意可知lnln0，即ln0，從而1，化簡(jiǎn)得ab1，故aba(