1、2.3數(shù)學(xué)歸納法,第二課時(shí),汾西一中 劉惠文,：由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法,結(jié)論一定可靠,結(jié)論不一定可靠,考察全體對象,得到一般結(jié)論的推理方法,考察部分對象,得到一般結(jié)論的推理方法,歸納法分為完全歸納法 和 不完全歸納法,歸納法,證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)題,可用下列方法來證明它們的正確性: (1)驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1)時(shí)命題成立, (2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN* ，kn0 )時(shí)命題成立, 證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立,完成這兩步，就可以斷定這個(gè)命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。,回顧,（1）第一塊骨牌倒下。,（1）當(dāng)n=1時(shí)猜想成

2、立。,（2）若第k塊倒下時(shí)，則相鄰的第k+1塊也倒下。,根據(jù)（1）和 （2），可知不論有多少塊骨牌都能全部倒下。,根據(jù)（1）和（2），可知對所有的自然數(shù)n，猜想都成立。,利用相似性,規(guī)范二步驟,數(shù)學(xué)歸納法例題,求證,例1:已知數(shù)列 計(jì)算 ,根據(jù)計(jì)算的結(jié)果,猜想 的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.,例2用數(shù)學(xué)歸納法證明,1）第一步應(yīng)做什么？此時(shí)n0= ，左 ，,2）假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即,144,1,當(dāng)n=2時(shí)，左，右。,2(21)2,當(dāng)n=k時(shí)，等式左邊共有項(xiàng)， 第(k1)項(xiàng)是 。,k,1427,(K1)3(k1)1,思考？,3）當(dāng)n=k+1時(shí)，命題的形式是,4）此時(shí)，左邊增加的項(xiàng)是,5)從

3、左到右如何變形？,證明：,（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊144，右邊1224，等式成立。,（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，就是,這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。 根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何nN都成立。,求證：,證明：,例3：,例:是否存在常數(shù)a、b,使得等式: 對一切正整數(shù)n都成立,并證明你的結(jié)論.,點(diǎn)撥:對這種類型的題目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系數(shù),然后用數(shù)學(xué)歸納法證明它對一切正整數(shù)n都成立.,解:令n=1,2,并整理得,以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:,(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論正確,即:,則當(dāng)n=k+1時(shí),故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也正確.,根據(jù)(1)、(2)知,對一切正整數(shù)n,結(jié)論正確.

4、,(1)當(dāng)n=1時(shí),由上面解法知結(jié)論正確.,例3.已知x 1，且x0，nN，n2 求證：(1+x)n1+nx,2.假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即 (1+x)k1+kx 當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)閤 1 ，所以1+x0，于是 左邊=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2； 右邊=1+(k+1)x 因?yàn)閗x20，所以左邊右邊，即(1+x)k+11+(k+1)x 這就是說，原不等式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立 根據(jù)(1)和(2)，原不等式對任何不小于2的自然數(shù)n都成立,證明：1.當(dāng)n=2時(shí)， 左(1x)2=1+2x+x2 x0， 1+2x+x21+2x=右 n=1時(shí)

5、不等式成立,小明的爸爸有四個(gè)小孩,我是一毛,我是二毛,我是三毛,我是誰？,我不是四毛！我是小明！,三、練習(xí),1、用數(shù)學(xué)歸納法證:,(n2,nN )過程中,由“n=k”變到“n=k+1”時(shí)，左式所需添加的項(xiàng)數(shù)為（ ）：,.項(xiàng),.項(xiàng),.項(xiàng),.項(xiàng),n=1時(shí)等式成立。 假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即,那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有,即n=k+1時(shí)，命題成立。 根據(jù)問可知，對nN，等式成立。,小組合作交流,這節(jié)課你有何收獲，能與大家分享、交流你的感受嗎？,歸納小結(jié)，自我整合, 激升思維,歸納法：由特殊到一般，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法；,數(shù)學(xué)歸納法的科學(xué)性：基礎(chǔ)正確；可傳遞；,數(shù)學(xué)歸納法證題程序化步驟：兩個(gè)步驟，三個(gè)結(jié)

6、論；,數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)點(diǎn)：克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點(diǎn)，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足，是一種科學(xué)方法，使我們認(rèn)識(shí)到事情由簡到繁、由特殊到一般、由有限到無窮,數(shù)學(xué)歸納法的基本思想： 在可靠的基礎(chǔ)上利用命題本身具有傳遞性,運(yùn)用“有限”的手段來解決“無限”的問題,數(shù)學(xué)歸納法的核心: 在驗(yàn)證命題n=n0正確的基礎(chǔ)上,證明命題具有傳遞性,而第二步實(shí)際上是以一次邏輯的推理代替了無限的驗(yàn)證過程.所以說數(shù)學(xué)歸納法是一種合理、切實(shí)可行的科學(xué)證題方法，實(shí)現(xiàn)了有限到無限的飛躍。,課堂小結(jié),數(shù)學(xué)歸納法,1、數(shù)學(xué)歸納法能夠解決哪一類問題？ 一般被應(yīng)用于證明某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題 2、數(shù)學(xué)歸納法證明命題的

7、步驟是什么？ 兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論，缺一不可。如果沒有第一步，第二步就沒有了意義；如果沒有第二步，就成了不完全歸納，結(jié)論就沒有可靠性； 3、在第一步中的初始值不一定從1取起，證明時(shí) 應(yīng)根據(jù)具體情況而定. 4、數(shù)學(xué)歸納法證明命題的關(guān)鍵在哪里？ 關(guān)鍵在第二步，即歸納假設(shè)要用到，解題目標(biāo)要明確；主要注意兩個(gè)“湊”：一是“湊”n=k時(shí)的形式（這樣才好利用歸納假設(shè)），二是“湊”目標(biāo)式。 5、數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)的核心思想是什么？ 遞推思想，運(yùn)用“有限”的手段，來解決“無限”的問題 注意類比思想的運(yùn)用,課堂小結(jié),1、數(shù)學(xué)歸納法能夠解決哪一類問題？ 一般被應(yīng)用于證明某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題 2、數(shù)學(xué)歸納法證明命題

8、的步驟是什么？ 兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論，缺一不可 3、數(shù)學(xué)歸納法證明命題的關(guān)鍵在哪里？ 關(guān)鍵在第二步，即歸納假設(shè)要用到，解題目標(biāo)要明確 4、數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)的核心思想是什么？ 遞推思想，運(yùn)用“有限”的手段，來解決“無限”的問題 注意類比思想的運(yùn)用,由于數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題，數(shù)列是以正整數(shù)為定義域的特殊函數(shù)，而導(dǎo)數(shù)又是研究函數(shù)的重要工具，正是這一條知識(shí)鏈注定了數(shù)學(xué)歸納法必然以數(shù)列為背景。深入細(xì)致的研究近年來的高考試題，就會(huì)印證以上事實(shí)?？v觀近幾年與數(shù)學(xué)歸納法相關(guān)的高考試題，不難得出其命題特點(diǎn)： 很少單獨(dú)命制大題，往往作為解答題中某一小問的形式出現(xiàn)，重在體現(xiàn)它的工具性作用。且常與數(shù)列結(jié)合去

9、考查，有時(shí)還與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等內(nèi)容相關(guān)聯(lián)，以體現(xiàn)“在知識(shí)交匯處設(shè)計(jì)試題”的命題原則。 試題特別注重加強(qiáng)對不完全歸納法的考查，既要求歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要求能證明結(jié)論的正確性，初步形成“觀察歸納猜想證明”的思維模式，希望引起大家足夠的重視。 高考對數(shù)學(xué)歸納法主要是隱形考查，也就是說這種方法在題目中往往是“藏而不露”，不明著說要用“數(shù)歸法”，也就是可用“數(shù)歸法”，也可用其他方法來解決（當(dāng)然能找到其他解決方法的話）。,布置作業(yè):,見數(shù)學(xué)書P96A組題T1、T2,技能提升,練習(xí)2：,C,B,(n2,nN )過程中,由“n=k”變到“n=k+1”時(shí)，不等式左邊的變化是（ ）：,(1)用數(shù)學(xué)歸納法證:,D

10、,練習(xí)3：,(n2,nN )過程中,由“n=k”變到“n=k+1”時(shí)，不等式左邊的變化是（ ）：,練習(xí),(1)用數(shù)學(xué)歸納法證:,D,(2)用數(shù)學(xué)歸納法證:,(n2,nN )過程中,由“n=k”變到“n=k+1”時(shí)，左式所需添加的項(xiàng)數(shù)為（ ）：,.項(xiàng),.項(xiàng),.項(xiàng),.項(xiàng),謝謝大家,歡迎各位老師提出寶貴意見,例1、是否存在常數(shù)a、b,使得等式: 對一切正整數(shù)n都成立,并證明你的結(jié)論.,解:令n=1,2,并整理得,以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:,(1)當(dāng)n=1時(shí),由上面解法知結(jié)論正確.,(1)數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題：,二、數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例：,(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論正確,即:,則當(dāng)n=k+1時(shí),故當(dāng)n=k+

11、1時(shí),結(jié)論也正確.,根據(jù)(1)、(2)知,對一切正整數(shù)n,結(jié)論正確.,例2、已知正數(shù)數(shù)列an中,前n項(xiàng)和為sn,且 用數(shù)學(xué)歸納法證明:,證:(1)當(dāng)n=1時(shí), =1,結(jié)論成立.,(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即,則當(dāng)n=k+1時(shí),故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立.,根據(jù)(1)、(2)知,對一切正整數(shù)n,結(jié)論都成立.,(2)數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題：,例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí),xn-yn能被x+y整除.,證:(1)當(dāng)n=2時(shí),x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命 題成立.,(2)假設(shè)當(dāng)n=2k時(shí),命題成立,即x2k-y2k能被x+y整除.,則當(dāng)n=2k+2時(shí),有,

12、都能被x+y整除.,故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即當(dāng)n=2k+2時(shí)命題成立.,由(1)、(2)知原命題對一切正偶數(shù)均成立.,例2、用數(shù)學(xué)歸納法證明: 能被8 整除.,證:(1)當(dāng)n=1時(shí),A1=5+2+1=8,命題顯然成立.,(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),Ak能被8整除,即 是8的倍數(shù).,那么:,因?yàn)锳k是8的倍數(shù),3k-1+1是偶數(shù)即4(3k-1+1)也是 8的倍數(shù),所以Ak+1也是8的倍數(shù),即當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.,由(1)、(2)知對一切正整數(shù)n, An能被8整除.,例3、求證:x3n-1+x3n-2+1能被x2+x+1整除.,證:(1)當(dāng)n=1時(shí), x3n-1+x3n-2+1=

13、 x2+x+1,從而命題成立.,(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立,即x3k-1+x3k-2+1能被 x2+x+1整除,則當(dāng)n=k+1時(shí),x3(k+1)-1+x3(k+1)-2+1=x3k+2+x3k+1+1,=x3(x3k-1+x3k-2+1)+x3+1 = x3(x3k-1+x3k-2+1)+(x+1)(x2+x+1),因?yàn)閤3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被x2+x+1整除,所以上式右邊能被x2+x+1整除.,即當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.,根據(jù)(1)、(2)知,對一切正整數(shù)n,命題成立.,例6、平面內(nèi)有n (n2)條直線，任何兩條都不平行，任何三條不過同一點(diǎn)，問交點(diǎn)的個(gè)數(shù) 為多少?并

14、證明.,當(dāng)n=k+1時(shí)：第k+1條直線分別與前k條直線各交于 一點(diǎn)，共增加k個(gè)點(diǎn)，,由1）、2）可知，對一切nN原命題均成立。,證明：1）n=2時(shí)：兩條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1, 而f(2)= 2(2-1)=1, 命題成立。,k+1條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)=f(k)+k= k(k-1)+k = k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)(k+1)-1=f(k+1), 即當(dāng)n=k+1時(shí)命題仍成立。,2）假設(shè)n=k(kN,k2)時(shí)，k條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 f(k)= k(k-1),(3)數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題：,(4)數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題：,例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明:,證:(1)當(dāng)n=2時(shí), 左邊= 不等式 成立

15、.,(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k2)時(shí)不等式成立,即有:,則當(dāng)n=k+1時(shí),我們有:,即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.,由(1)、(2)原不等式對一切 都成立.,例2、證明不等式:,證:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=2, 不等式顯然成立.,(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立,即有:,則當(dāng)n=k+1時(shí),我們有:,即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.,根據(jù)(1)、(2)可知,原不等式對一切正整數(shù)都 成立.,例3、求證:,證:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊= ,右邊= ,由于 故不等式成立.,(2)假設(shè)n=k( )時(shí)命題成立,即,則當(dāng)n=k+1時(shí),即當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.,由(1)、(2)原不等式對一切 都成立.

16、,例4、已知x 1，且x0，nN，n2 求證：(1+x)n1+nx.,（2）假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即 (1+x)k1+kx 當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)閤 1 ，所以1+x0，于是 左邊=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2； 右邊=1+(k+1)x 因?yàn)閗x20，所以左邊右邊，即(1+x)k+11+(k+1)x 這就是說，原不等式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立 根據(jù)(1)和(2)，原不等式對任何不小于2的自然數(shù)n都成立.,證明： （1）當(dāng)n=2時(shí)，左(1x)2=1+2x+x2 x0， 1+2x+x21+2x=右 n=1時(shí)不等式成立,例5、已知 求證 :

17、.,證:(1)當(dāng)n=2時(shí), , 不等式成立.,(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k2)時(shí)不等式成立,即,則當(dāng)n=k+1時(shí), 有:,即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.,由(1),(2)所證不等式對一切 都成立.,例2：,分析：這是一個(gè)存在型探索性問題，對n賦值后，比較幾對a與b 的大小，可作出合理猜測，再用數(shù)學(xué)歸納法予以論證。,解：,下頁,猜想：,證明：,1. 3. 4.,數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題.,例4:平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過同一點(diǎn),證明交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(n)等于n(n-1)/2.,說明:用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題,重難點(diǎn)是處理好當(dāng)n=k+1時(shí)利用假設(shè)結(jié)合幾何知識(shí)證明命題成立.,注:在上例的

18、題設(shè)條件下還可以有如下二個(gè)結(jié)論:,(1)設(shè)這n條直線互相分割成f(n)條線段或射線, -則: f(n)=n2.,(2)這n條直線把平面分成(n2+n+2)/2個(gè)區(qū)域.,f(1)=0,f(2)=1=f(1)+1,f(3)=3=f(2)+2,f(4)=6=f(3)+3,f(k),f(k+1)=f(k)+k,證:(1)當(dāng)n=2時(shí),兩條直線的交點(diǎn)只有1個(gè),又f(2)=2(2-1) /2=1,因此,當(dāng)n=2時(shí)命題成立.,(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k2)時(shí)命題成立,就是說,平面內(nèi)滿足 題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)f(k)等于k(k-1)/2.,以下來考慮平面內(nèi)有k+1條直線的情況.任取其中 的1條直線,記作l.

19、由歸納假設(shè),除l以外的其他k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)f(k)等于k(k-1)/2.,另外,因?yàn)橐阎魏蝺蓷l直線不平行,所以直線l必 與平面內(nèi)其他k條直線都相交,有k個(gè)交點(diǎn).,又因?yàn)橐阎魏稳龡l直線不過同一點(diǎn),所以上面的 k個(gè)交點(diǎn)兩兩不相同,且與平面內(nèi)其他的k(k-1)/2個(gè) 交點(diǎn)也兩兩不相同.,從而平面內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是k(k-1)/2+k=k(k-1)+2/2 =(k+1)-1(k+1)/2.,這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí),k+1條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為: f(k+1)=(k+1)(k+1)-1/2.,根據(jù)(1)、(2)可知,命題對一切大于1的正整數(shù)都 成立.,說明:用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題,難點(diǎn)是處理好當(dāng) n=

20、k+1時(shí)利用假設(shè)結(jié)合幾何知識(shí)證明命題成立.,例4：,平面內(nèi)有n條直線，其中任兩條不平行，任三條不共點(diǎn)，證明這n條直線把平面分成：,證明：,當(dāng)n=1時(shí)，一條直線把平面分成兩個(gè)區(qū)域，,假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即分成,由已知，a與其余k條直線都相交，被它們分成k+1段，每一段都把它所在的區(qū)域分成兩個(gè)區(qū)域，這樣就比n=k時(shí)多出了k+1個(gè)區(qū)域。,現(xiàn)在考慮n=k+1時(shí)的情況。取其中任意一條直線，記作a，,所以對于任意的自然數(shù)n，原命題都成立。,例2、已知正數(shù)數(shù)列an中,前n項(xiàng)和為sn,且 用數(shù)學(xué)歸納法證明:,證:(1)當(dāng)n=1時(shí), =1,結(jié)論成立.,(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即,則當(dāng)n=k+1時(shí),故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立.,根據(jù)(1)、(2)知,對一切正整數(shù)n,結(jié)論都成立.,例、求證:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3 (2n-1),練習(xí).用數(shù)學(xué)歸納法證明： 122334n(n1) ,例3、設(shè)S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12， Sn=12+22+n2+(n-1)2+ +22+12.用數(shù)學(xué)歸納法證明：,例2、求證:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3 (2n-1),證明： n=1時(shí)：左邊=1+1=2，右邊=211=2，左邊=右邊，等式成立。 假設(shè)當(dāng)n=k(kN ）時(shí)有： (k+1)(k+2