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1.8 復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式,一、C上多項(xiàng)式,那么它在C上是否有根？,每一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上至多有一個(gè)根。,定理1.8.1（代數(shù)基本定理）：,任何n（n0）次多項(xiàng)式在C上有n個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。,定理1.8.2：,當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論顯然成立。,證：,假設(shè)結(jié)論對(duì)n-1次多項(xiàng)式成立，則當(dāng),推論1：復(fù)數(shù)域上任一個(gè)次數(shù)大于1的多項(xiàng)式都是可約的，即C上不可約多項(xiàng)式只能是一次多項(xiàng)式。,推論2：,上都能分解成一次因式的乘積，即,的標(biāo)準(zhǔn)分解式是：,韋達(dá)定理：,C上多項(xiàng)式的根與系數(shù)關(guān)系：,是一個(gè)n（n0）次多項(xiàng)式，則它在C中有n個(gè)根，記,（2）,比較（1）與（2）的展開(kāi)式中同次項(xiàng)的系數(shù)，,得根與系數(shù)的關(guān)系為：,如果,根與系數(shù)的關(guān)系又如何？,例1.8.1：,它以1和4為單根，-2為2重根。,求一個(gè)首項(xiàng)系數(shù)為1的4次多項(xiàng)式，使,解：設(shè),則,二、實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式,定理1.8.3：,證：設(shè),故有,則有,因此多項(xiàng)式：,唯一地分解為實(shí)系數(shù)一次和二次不可約多項(xiàng)式的,乘積。,假設(shè)對(duì)結(jié)論次數(shù)n的多項(xiàng)式結(jié)論成立，,現(xiàn)考慮,是一個(gè)二次實(shí)系數(shù)不可約多項(xiàng)式，且,不可約多項(xiàng)式的乘積，故結(jié)論成立。,推論3,推論4,n（n0）次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,具有標(biāo)準(zhǔn)分解式：,不可約，即滿足,在R上

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