1、單擴域,假定 是域 的擴域，而 是 的一個元 要討論單擴域 的結(jié)構(gòu)，我們把 的元分成兩類,假如這樣的 ， ， 不存在， 就叫做 上的一個超越元若 是 上的一個代數(shù)元， 就叫做 的一個單代數(shù)擴域；若 是 上的一個超越元，,就叫做 的一個單超越擴域,單擴域的結(jié)構(gòu)通過以下定理可以掌握,定理若 是 上的一個超越元，那么 的商域 這里 是 上的一個未定元 的多項式環(huán) 若 是 上的一個代數(shù)元，那么,這里 是 的一個唯一的確定的、最高系數(shù)為的不可約多項式，并且 證明 包含 上的 的多項式環(huán) 一切 ， 我們知道，,是 上的未定元 的多項式環(huán) 到 的同態(tài)滿射，現(xiàn)在我們分兩個情形來看,情形 是 上的超越元 這時以

2、上映射是同構(gòu)映射： 由，定理， 的商域 的商域 由，定理，我們可以知道， （） 的商域 另一方面， 的商域包含 也包含 ，因此，由 的定義 （）的商域,由（）和（）得 的商域 因而 的商域,情形 是 上的代數(shù)元這時 這里 是上述同態(tài)滿射的核由，定理和定理， 是一個主理想環(huán)，所以 的一個主理想的兩個生成元能夠互相整除，因而它們只能差一個單位因子，,而 的單位就是 的非零元所以令 的最高系數(shù)是， 就是唯一確定的由 的定得： ；由此得 不是 的非零元但 是 上的代數(shù)元，所以 也不是零多項式因此， 的次數(shù),我們說， 是 的一個不可約多項式不然的話，將有 ， 和 的次數(shù) 的次數(shù),這樣， 是一個不可約多項

3、式，因而 是 的一個最大理想，而 是一個域這樣 是一個域但 包含 也包含 ，并且 ，所以 證完,以上定理把單擴域歸結(jié)到我們已經(jīng)知道的域當 是域 上代數(shù)元的時候，我們還可以把 描述得更清楚一點,的形式，這里 是 的次數(shù)要把這樣的兩個多項式 和 相加，只需把相當?shù)南禂?shù)相加； 與 的乘積等于 ，這里 是用 除 所得的余式,證明由于 ，所以 的一個任意元 可以寫成 的形式但 其中 因而，由于 ，有,我們已經(jīng)看到，多項式 對于一個單代數(shù)擴域的重要性 顯然是理想 里的一個次數(shù)最低的多項式,定義 中滿足條件 的次數(shù)最低的多項式 叫做元 的在 上的極小多項式 叫做 的在 上的次數(shù) 以上的討論是在域 有擴域 的

4、前提下進行的現(xiàn)在我們問，若是只給了一個域 ，是不是 的單擴域存在？,存在 的單超越擴域容易看出我們知道， 上的一個未定元 的多項式環(huán) 和 的商域都是存在的 的商域顯然是包含 和 的最小域，而按照未定元的定義， 是 上的一個超越元因此 的商域就是 的一個單超越擴域由定理， 的任何單超越擴域都是同構(gòu)的,現(xiàn)在我們證明 定理對于任一給定域 以及 上一元多項式環(huán) 的給定不可約多項式 總存在 的單代數(shù)擴域 ，其中 在 上的極小多項式是 ,證明有了 和 ，我們可以作剩余類環(huán) 因為 是不可約多項式，所以 是一個最大理想，因而 是一個域 我們知道，有 到 的同態(tài)滿射,這里 是 所在的剩余類由于 ，在這個同態(tài)滿射

5、之下， 與 同構(gòu)這樣，由于 和 沒有共同元，根據(jù)，定理我們可以把 的子集 用 來掉換，而得到一個域 ，使得 ，,現(xiàn)在我們看 的元 在 里的象 由于 所以在 里 因此，假如我們把 在 里的逆象叫做 ，我們就有,這樣，域 包含一個 上的代數(shù)元 我們證明， 就是 在 上的極小多項式令 是 在 上的極小多項式那么 中一切滿足條件 的多項式 顯然作成一個理想，而這個理想就是主理想（參看，定理的證明）因此 能被 整除但 不可約，所以一定有 ，,但 和 的最高系數(shù)都是，所以 ，而 因此我們可以在域 中作單擴域 ，而 能滿足定理的要求 實際上， 這一點我們留給讀者去證明證完,給了域 和 的一個最高系數(shù)為的不可約多項式 ，可能存在若干個單代數(shù)擴域，都滿足定理的要求但我們有,定理令 和 是域 的兩個單代數(shù)擴域，并且和 在 上有相同的極小多項式 那么 和 同構(gòu) 證明假定 的次數(shù)是 那么 的元都可以寫成 的形式，而 的元都可以寫成 的形式，這