1、,3.2 選擇位移函數(shù) 位移法分析結構首先要求解的是位移場要在整個結構建立位移的統(tǒng)一數(shù)學表達式往往是困難的甚至是不可能的結構離散化成單元的集合體后，對于單個的單元，可以遵循某些基本準則，用較之以整體為對象時簡單得多的方法設定一個簡單的函數(shù)為位移的近似函數(shù)，稱為位移函數(shù)位移函數(shù)一般取為多項式形式。,3.2 位移函數(shù)的多項式形式 一維單元中，位移函數(shù)的多項式形式表示為,二維單元中,三維單元中,插值多項式階次的選擇原則 （1）插值多項式應當盡可能滿足下節(jié)所述的收斂性要求 （2）多項式描述的位移形式與局部坐標系無關 （3）多項式的數(shù)目應等于單元結點自由度的數(shù)目 第(1)條要求在后面討論。第(2)條要求

2、即在不同局部坐標系中，位移函數(shù)(多項式)表達式不變，這種性質稱為幾何等向性，為獲得幾何等向性，多項式中應含有不違反下圖所示對稱性的那些項。,收斂性要求 （1）位移函數(shù)中必須含有反映剛體運動的項數(shù)。 多項式形式的常數(shù)項即體現(xiàn)這一剛體位移。 （2）位移函數(shù)應反映單元的常應變，即位移函數(shù)的導數(shù)中必須有常數(shù)項存在。 當單元尺寸無限縮小時，單元應變將趨近于常量，因此單元位移函數(shù)中應包括常應變項。 平面應力和空間應力中，應變是位移的一階導數(shù)，常應變即要求位移函數(shù)含有一次項。 （3）位移函數(shù)必須保證在相鄰單元的接觸面上應變是有限的 在有限單元法中，按位移求解時，只計算了各單元內部的應變能，沒有計算相鄰兩單元

3、接觸面上的功，由于接觸面的厚度是零，當接觸面上的應變是有限值時，此功等于零，反之，當接觸面上的應變不是有限值時，此功就可能不等于零，忽略它會引起一定的誤差。,3.3 單元剛度矩陣建立 （1）虛位移原理 （2）單元位移 （3）單元應力與應變 （4）節(jié)點力與單元剛度矩陣 （5）節(jié)點載荷,3.3.1 虛位移原理,外力在虛位移上所做的虛功是,在物體的單位體積內，應力在虛應變上的虛應變能是,整個物體的虛應變能是,虛位移原理: 如果在虛位移發(fā)生之前，物體處于平衡狀態(tài)，那末在虛位移發(fā)生時，外力所做虛功等于物體的虛應變能，即,3.3.2 單元位移,單元內任一點的位移可表示如下：,3.3.3 單元應變與應力,3

4、.3.4 結點力與單元剛度矩陣,3.3.5 結點載荷,1分布體積力,2分布面力,3.4 組裝總剛,3.5 解方程組求節(jié)點位移 （1）約束位移邊界條件處理 （2）斜支座處理 （3）高斯消去法解方程組 （4）三角分解法,位移邊界條件 得到結構的剛度方程后，結構剛度方程的求解相當于總剛K求逆的過程。 但從數(shù)學上看，未經處理的總剛是對稱、半正定的奇異矩陣，它的行列式值為零，不能立即求逆。 從物理意義看，結構處于自由狀態(tài)，在結點載荷的作用下，結構可以產生任意的剛體位移。 所以，在已知結點載荷的條件下，仍不能通過平衡方程唯一地解出結點位移。 為了使問題可解，必須對結構加以足夠的位移約束，也就是應用位移邊界

5、條件。,首先要通過施加適當?shù)募s束，消除結構的剛體位移，再根據(jù)問題要求設定其它已知位移。 約束的種類包括使某些自由度上位移為零，或給定其位移值，還有給定支承剛度等，本書涉及前兩種。處理約束的方法，常用的有刪行刪列法、分塊法、置大數(shù)法和置“1”法等， 下面分別予以介紹。,刪行刪列法 若結構的某些結點位移值為零時，則可將總體剛度矩陣中相應的行、列刪行刪列劃掉，然后將矩陣壓縮即可求解。 這種方法的優(yōu)點是道理簡單。如果刪去的行列很多，則總體剛度矩陣的階數(shù)可大大縮小。 通常用人工計算時常采用該方法。 若用計算機算題，在程序編制上必帶來麻煩，因為剛度矩陣壓縮以后，剛度矩陣中各元素的下標必全改變。因而一般計算

6、機算題不太采用。,不是奇異的，因而可以解方程,分塊法,由于全部給定的結點位移通常都不能在位移向量的開始或終了，故分塊法的編號方法是很麻煩的。因此，可以采用下述等價方法。,置“1”法,實際計算中，上述方程可以在不重新排列的情況下用下述分塊的方法來進行。,置大數(shù)法 在總體剛度矩陣中，把指定位移所對應的行和列的對角元素 乘上一個很大的數(shù)，此行其它元素保持不變，同時把該行對應的載荷項也相應地用 來代替,這樣就用近似方程組代替原方程組，得到近似滿足邊界條件的解。 當指定位移為零時，只要將對角元素乘上一個大數(shù)，而相應的載荷項經證明可以不置零。 刪行刪列法適用于指定零位移點，而置大數(shù)法適用于給定位移(包括零位移)。,斜支座的處理,對于邊界結點i，須