1、2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,知識(shí)小競(jìng)賽,設(shè) x1 、 x2是下列一元二次方程的兩個(gè)根，填寫下表,x1 x2,x1 + x2,一元二次方程,根據(jù)所填寫的表格，你能發(fā)現(xiàn)x1 + x2 ， x1 x2 方程 的系數(shù)有什么關(guān)系？,x1,x2,1,-4,-3,-4,2,3,5,6,3x2+5x+2=0,-1,由上表猜測(cè)：若 的兩個(gè)根為 x1 、 x2， 則,ax2+bx+c=0 (a0),x1 x2 = 。,x1 + x2 = ，,-,觀察猜想,推理論證,一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個(gè)根是x1 , x2 ,那么x1+x2= , x1x2 =,注：能用公

2、式的前提條件為=b2-4ac0,在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意： 不是一般式的要先化成一般式； 在使用X1+X2= 時(shí)， 注意“ ”不要漏寫。,如果方程x2+px+q=0的兩根是 X1 ，X2，那么 X1+X2= , X1X2= .,P,q,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是 法國(guó)數(shù)學(xué)家“韋達(dá)”發(fā)現(xiàn)的,所以我們又 稱之為韋達(dá)定理.,1（口答）下列方程中， 兩根的和與兩根的積各是多少？ （1） （2） （3） （4） （5） （6）,練一練,例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個(gè)根是2 , 求它的另一個(gè)根及k的值.,解法一：,設(shè)方程的另一個(gè)根為x2.,由根與系數(shù)的關(guān)系，得,2 x2 = k+

3、1,2 x2 = 3k,解這方程組，得,x2 =3,k =2,答：方程的另一個(gè)根是3 , k的值是2.,例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個(gè)根是2 , 求它的另一個(gè)根及k的值。,解法二：,設(shè)方程的另一個(gè)根為x2.,把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0,解這方程，得 k= - 2,由根與系數(shù)的關(guān)系，得2 x23k,即2 x26, x2 3,答：方程的另一個(gè)根是3 , k的值是2.,例2、方程2x2-3x+1=0的兩根記作x1,x2， 不解方程，求： （1） ; （2) ; ; (4) .,另外幾種常見的求值:,1、已知方程3x219x+m=0的一個(gè)根是1，求它的另一個(gè)根及

4、m的值。,試一試：,2、設(shè)x1,x2是方程2x24x3=0的兩個(gè)根，求(x1+1)(x2+1)的值.,試一試：,4,1,14,12,求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時(shí), 一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和, 兩根之積的形式,再整體代入.,4.已知方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 是且 ， 求k的值.,解：由根與系數(shù)的關(guān)系得 x1+x2=-k， x1x2=k+2 又 x12+ x2 2 = 4 即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0, = K2-4k-8 當(dāng)k=4時(shí)， =-80 k=4(舍去） 當(dāng)k=-2時(shí)，=40 k=-2,解得：k=4 或k=2,探究：,6.已知關(guān)于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2. （1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍； （2）當(dāng)x12-x22=0時(shí)，求m的值.,7.（2013荊州）已知：關(guān)于x的方程 kx2(3k1)x+2(k1)=0 （1）求證：無(wú)論k為何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根； （2）若此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2, 且x1x2=2,求k的值.,2、熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系； 3、靈活運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系解決問題.,1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系？,小結(jié)：,8、已知關(guān)于X的方程mx2-(2m-1)x+