1、1. 自我檢測題參考答案,2. 20032004學年 線性代數(shù)期末試題解答, 自我檢測題一,1. D,2. C,3. A,4. C,5. B, 自我檢測題二,10. 正定,自我檢測題參考答案, 自我檢測題三1.,計算行列式,解:,原式, 三2.,用初等行變換求矩陣,的逆矩陣.,解:,解題依據(jù):, 三3.,已知向量,求向量組的秩及一個最大線性無關組,并將其余向量用此最大無關組線性表示.,(行),解:,為所求最大無關組 , 三4.,當k為何值時,下列線性方程組 (1)無解, (2)有唯,一解, (3)有無窮多個解? 并求其通解.,解: 系數(shù)行列式,時有唯一解,故方程組有無窮多解.,注意避免,等價方

2、程組:,因此所求通解為,故此時方程組無解., 三5.,用配方法將二次型,化為標準形,并求可逆線性變換矩陣.,解:,令,即,亦即,得,所求可逆變換矩陣為 C ., 三6.,已知矩陣,求正交矩陣Q,使得,為對角矩陣.,解: 第一步: 求特征值.,解題步驟 ,得A的特征值:,注意避免,對,得基礎解系:,正交規(guī)范化:,取特征向量:,第二步: 求正交規(guī)范特征向量.,對,取特征向量:,得等價方程組:,基礎解系:,第三步. 令:,則,因A對稱, 故, 實對稱矩陣對角化步驟,第一步. 由特征方程,求出 A 的所有特征值,第二步. 求 = k 對應的正交規(guī)范特征向量系,即 (1) 求,的基礎解系,(2) 用施米

3、特正交化法將其正交規(guī)范化,第三步. 以n 個正交規(guī)范特征向量為列構(gòu)成矩陣 P,則得,注意: i 的特征向量放在P 的第 i 列.,說明: 若不做(2), 上述過程仍能將 A 對角化( P1AP = ),只是不能保證,(P為正交陣!), 四1.,若向量,線性無關, 則,也線性無關 .,證: 設,則,因為,線性無關,所以,其系數(shù)行列式,所以只有,因此,線性無關., 四2.,若A, B 為 n 階方陣, 其中有一個可逆, 求證:,(1) AB與 BA 相似;,證:,AB與 BA 相似 存在可逆矩陣 P, 使 P1(AB)P=BA,無妨設A可逆,取P = A, 則,所以 AB與 BA 相似,(1) 根

4、據(jù),(2) 因為AB與 BA 相似, 故二者有相同的特征值,20032004學年線性代數(shù)期末試題答案,01. 填空題(5分),設向量,可由向量,線性表示, 則表示方法唯一的充要條件是,.,02. 填空題(5分),的特征值為0, 2, 則 3A 的特征值為 .,03. 填空題(5分),已知矩陣 A, B, C 滿足 AC = CB , 其中,則,A與B分別是 階矩陣.,線性無關,或,提示: 題設條件蘊涵,已知,則R(A)= .,04. 填空題(5分),提示:,或根據(jù),第i ( 2 )行與 第1行成比例,06. 選擇題(5分),可逆矩陣 A 與矩陣( ) 有相同的特征值 .,提示:,A, B為非零

5、矩陣,由P71性質(zhì):,那么 ( ),08. 選擇題(5分),若非齊次方程組,提示:,中方程個數(shù)少于未知量個數(shù) ,09. 綜合題(7分),用配方法把二次型,解:,化為標準,形, 并求變換矩陣.,令,則,即,故變換矩陣為:,標準形為:,10. 綜合題(7分),求向量組,解:,的一個極大無關組, 其秩為多少?,對 A 施行行變換,是向量組的最大無關組.,11. 綜合題(7分),求矩陣,解法 1. 將A分塊為,的秩.,其中,解法2 . A,E ,12. 綜合題(7分),設向量組,解法1:,是否線性無關?,線性無關, 則向量組,即,所以,線性無關.,12. 綜合題(7分),設向量組,解法2. 設,是否線性無關?,線性無關, 則向量組,則,所以 K 可逆 ,線性無關,故 R(B) = R(A) ,因此 R(B) = R(A) = 3 ,線性無關.,從而 A B,13. 綜合題(10分),設 A 為可逆矩陣, AB 與BA 是否相似 ?,解: 取可逆矩陣,則有, AB 與BA 相似.,解:,AB 與 BA 相似 存在可逆矩陣P, 使 P 1(AB)P = BA,同解方程組為,得通解, 取,基礎解系