1、第三章 晶格振動,1,學習交流PPT,解：,(1),個原子的運動方程可寫成,（1）在單原子晶格中，若只計相鄰原子的互作用，第n,2,學習交流PPT,依題設，原子的振動位移可表示為,(2),將(2)式代入(1)式，得,因為,3,學習交流PPT,因此,故得格波的色散關系為,（2）,原子鏈上總能量可寫為,其中求和遍及鏈上的所有原子。,4,學習交流PPT,又因為一維單原子鏈的色散關系為,或者,所以,得平均總能量,5,學習交流PPT,3.2 證明：在由兩種不同質量M、m(Mm)的原子所組成的一維 復式格子中，如果波矢q取邊界值 (a為相鄰原子間 距)，則在聲學支上，質量為m的輕原子全部保持不動；在光學

2、支上，質量為M的重原子保持不動。,證明：如圖所示，設質量為m的輕原子位于2n-1，2n+2，2n+3，. 各點；設質量為M的輕原子位于2n-2，2n，2n+2，各點。,6,學習交流PPT,令 表示原子間的恢復力系數(shù)，運動方程寫為,7,學習交流PPT,將試探解代入運動方程有,經(jīng)整理變成,(1),要A、B有不全為零的解，方程(1)的系數(shù)行列式必須等于零， 從中解得,(2),8,學習交流PPT,光學支：,聲學支：,9,學習交流PPT,因為,由上式得到,由此可見，當波矢q取邊界值時，聲學支中輕原子保持不動 (A=0)，光學支中重原子也保持不動(B=0)。,10,學習交流PPT,3.3 一維復式格子，原

3、子質量都為m,晶格常數(shù)為a，任一個原子與最近鄰原子的間距為b,若原子與最近鄰原子和次近鄰原子的恢復力常數(shù)為 和 ，試列出原子的運動方程并求出色散關系。,解：,此題為一維雙原子鏈。,設第,個原子的,位移分別為,。,第,與第,個原子屬,于同一原子，第,與第,個原子屬于同一原子，,于是,11,學習交流PPT,第,和第,原子受的力分別為,其運動方程分別為,設格波的解分別為,12,學習交流PPT,代入運動方程，得,整理得,由于A和B不可能同時為零，因此其系數(shù)行列式必定為零，即,13,學習交流PPT,解上式可得,由上式可知，存在兩種獨立的格波。,14,學習交流PPT,聲學格波的色散關系為,光學格波的色散關

4、系為,15,學習交流PPT,解：,（1）只考慮最近鄰原子的相互作用,16,學習交流PPT,得,將 的值代回方程得到色散關系,（2）,（a）當上式取+號時為光學波,17,學習交流PPT,當 時：,當 時：,（b）當取-號時為聲學波,18,學習交流PPT,當 時：,當 時：,19,學習交流PPT,3.5 證明由N個質量為m的相同原子組成的一維單原子晶格，每單位頻率間隔內的振動模式數(shù)為,證明：,一維單原子鏈只有一支格波,據(jù)模式密度的一般表示式,（1）,20,學習交流PPT,因為對一維單原子鏈波矢空間的波矢密度,，且只有一支,格波。,所以由（1）式得,得,21,學習交流PPT,解：設有一坐標為x與x+

5、dx間的介質元, t 時刻x點處的位移為 u=u(x,t), x+dx點處的位移為u+du。于是，應變?yōu)?以E表示彈性模量，按定義，,式中f是引起形變的力。作用在介質元dx上的凈力為,22,學習交流PPT,這就是連續(xù)介質的波動方程，其解為,將u(x,t)代入(1)式，得到,23,學習交流PPT,即,因此，一維介質彈性波傳播的相速度為,24,學習交流PPT,3.7 證明一維單原子鏈的運動方程，在長波近似下，可以化成 彈性波方程,解：,如果只計及近鄰原子間的相互作用，第n個原子的運動方程,為,因為,所以第n個原子的運動方程化為,25,學習交流PPT,在長波近似下，,運動方程又化為,（1）,在長波近

6、似下，當l為有限整數(shù)時，,26,學習交流PPT,上式說明，,在長波近似下，鄰近（在半波長范圍內）的若干原子,以相同的振幅、相同的位相做集體運動。,因此（1）式可統(tǒng)一寫成,第二章中固體彈性理論所說的宏觀的質點運動，正是由這些,原子的整體的運動所構成。,這些原子偏離平衡位置的位移,，即是宏觀上的質點位移,。,從宏觀上看，原子的位置,可視為準連續(xù)的，原子的分離,可視為連續(xù)坐標x，即,27,學習交流PPT,于是,（2）式化為,其中,是用微觀參數(shù)表示的彈性波的波速。,28,學習交流PPT,29,學習交流PPT,第（l1，m）原子對它的作用力,30,學習交流PPT,并把試探解,31,學習交流PPT,同時代

7、入，消去公因子后得,32,學習交流PPT,所以,格波的傳播速度,可見，在長波極限下，格波的傳播速度與波矢q無關。,(3)式變?yōu)?33,學習交流PPT,式中，,?！爆F(xiàn)象：當,為常數(shù)，p遍取所有的整數(shù)值，試證明“科恩(Kohn)反,。,34,學習交流PPT,和第np個原子對第n個原子的作用力可寫成,鏈上每個原子與第n個原子都有相互作用，故第n個原子的運動 方程應為,設試探解為,代入運動方程可得,35,學習交流PPT,故格波的色散關系為,(1),36,學習交流PPT,37,學習交流PPT,解：,由,所以,38,學習交流PPT,解：由N個原子組成的單原子晶體共有3N個自由度，獨立晶格 振動方式數(shù)也等于

8、3N，晶體振動的總能量便等于晶體振動的總 能量便等于這3N個諧振動的能量之和，即,39,學習交流PPT,(1),40,學習交流PPT,上式中的第二項是3N個經(jīng)典諧振子的平均能量之和；第一項與 溫度無關，是愛因斯坦模型下的零點振動能。,41,學習交流PPT,3.12 試用德拜模型求 解上題。,(1),當N很大時，格波的頻率分布是準連續(xù)的，故上式可用下列 積分計算：,42,學習交流PPT,(2),43,學習交流PPT,所以,上式中的第二項是3N個經(jīng)典諧振子平均能量之和，第一項是 德拜模型下晶體的零點振動能。,44,學習交流PPT,此時(2)式中的積分變?yōu)?因此，從(2)式求得,上式表示，在德拜模型

9、中，低溫時晶格振動能與溫度的4次方 成正比。,45,學習交流PPT,解：按照德拜理論，在頻率,間隔內的獨立振動方式,數(shù)為,46,學習交流PPT,由此求得晶體總振動能（略去零點能）,47,學習交流PPT,上式中的積分一般的不能用解析方法求得，但在極限的情況下， 它有如下簡單的結果：,在高溫極限下：,在低溫極限下：,代入上式，得到晶體在高溫極限下的總振動能,低溫極限下的總振動能,48,學習交流PPT,3.17 對于NaCl晶體，已知恢復力常數(shù) ，試分別求出NaCl晶體中光學支格波和聲學支格波的最高頻率和最低頻率。（已知Cl和Na的原子量分別為35.5和23.0）,解：因為一維雙原子晶體的色散關系為

10、,在本題設下，式中m、M分別代表Na、CL原子的質量。當括號 內取“+”號時代表光學支 ，取“”號時代表聲學支 。從 上式得知，光學支的最大頻率是,49,學習交流PPT,而光學支的最小頻率是,聲學支的最大頻率是,50,學習交流PPT,解：(1)對于一維雙原子鏈，格波光學支的最高頻率為,(1),51,學習交流PPT,式中， 為原子間的恢復力常數(shù)；m、M分別代表兩種原子的質 量。對于NaCL，已知Na原子質量 ，CL原子質量 ，平衡時， 和 的距離為 ， 。因此，從(1)式可得其恢復力常數(shù),(2)對于聲學波，在長波極限下，其傳播速度為,52,學習交流PPT,所以,53,學習交流PPT,解：,表示；

11、,如圖所示，離子的坐標由na,由于熱,54,學習交流PPT,運動，,。,庫侖定律，兩粒子間的互相斥力為,式中，k為靜電衡量；r為離子間距。,(1),因為離子偏離平衡位置的熱動動只是一種微振動，可將(1)式 括號中的項在平衡位置附近按泰勒級數(shù)展開，并只計及一次項,它們離開平衡位置的位移記為,根據(jù),相互作用，運動方程可表述為,如果只考慮相鄰離子間的,55,學習交流PPT,則有,令試探解為,（2）,56,學習交流PPT,式中，A、,、q分別為振幅、角頻率和波矢。,式得出,即,式中,為格波的最高角頻率：,（3）,把上式代入(2),57,學習交流PPT,把下列數(shù)據(jù)代入：,得到,最大波速對應于長波極限下的

12、波速。,58,學習交流PPT,此時q很小，(3)式給出,于是，得到最大波速為,59,學習交流PPT,證明：對于一維單原子鏈，格波的色散關系為,(1),因而aq=S/N是一個與原子間距a無關的參量，可以把(1)式寫成,60,學習交流PPT,(2),對于一維單原子鏈，格林愛森常數(shù),61,學習交流PPT,Na為晶鏈的長度。把(3)式代入即得,(4),因而,62,學習交流PPT,故(4)式可寫作,63,學習交流PPT,證明：按定義，晶體的體脹系數(shù),使用熟知的循環(huán)關系式,上式化為,(1),64,學習交流PPT,代回(1)式即得,65,學習交流PPT,66,學習交流PPT,證明：,（1）設離子鏈沿水平方向。,上式右端加一負號，是我們規(guī)定坐標的正方向指向右端。,考慮到,可將上式展成,級數(shù)，,取一級近似得,67,學習交流PPT,第 個離子左端的第 個離子與第 個離子間的庫侖力為,取一級近似得,第 個離子和第 個離子對第 個離