1、第九章. 矩陣特征值和特征向量計算,但高次多項式求根精度低 , 一般不作為求解方法. 目前的方法是針對矩陣不同的特點給出不同的有效方法.,工程實踐中有多種振動問題，如橋梁或建筑物的振動，機(jī)械機(jī)件、飛機(jī)機(jī)翼的振動，及一些穩(wěn)定性分析和相關(guān)分析可轉(zhuǎn)化為求矩陣特征值與特征向量的問題。,1. 冪法和反冪法.一、冪法,求矩陣的按模最大的特征值與相應(yīng)的特征向量。它是通過迭代產(chǎn)生向量序列，由此計算特征值和特征向量。,兩種特殊情況,冪法小結(jié),二、冪法的加速,因為冪法的收斂速度是線性的，而且依賴于比值 ，當(dāng)比值接近于1時，冪法收斂很慢。冪法加速有多種，介紹兩種。,三、反冪法,反冪法是計算矩陣按模最小的特征值及特征

2、向量的方法，也是修正特征值、求相應(yīng)特征向量的最有效的方法。,反冪法的一個應(yīng)用,2.Jacobi方法,一、矩陣的旋轉(zhuǎn)變換,二、 Jacobi方法,3.QR方法一、基本QR方法,60年代出現(xiàn)的QR算法是目前計算中小型矩陣的全部特征值與特征向量的最有效方法。實矩陣、非奇異。 理論依據(jù)：任一非奇異實矩陣都可分解成一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R的乘積，而且當(dāng)R的對角元符號取定時，分解是唯一的。,可證，在一定條件下，基本QR方法產(chǎn)生的矩陣序列A(k) “基本”收斂于一個上三角陣（或分塊上三角陣）。即主對角線（或主對角線子塊）及其以下元素均收斂，主對角線（或主對角線子塊）以上元素可以不收斂。特別的，如果A

3、是實對稱陣，則 A(k) “基本”收斂于對角矩陣。 因為上三角陣的主對角元（或分塊上三角陣中，主對角線子塊的特征值）即為該矩陣的特征值，故當(dāng)k充分大時， A(k)的主對角元（或主對角線子塊的特征值）就可以作為A的特征值的近似。 基本的QR方法的主要運算是對矩陣QR分解，分解的方法有多種。介紹一種Schmit正交化方法為例。,基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解與矩陣乘法，計算量大，而且收斂速度慢。因此實際使用的QR方法是先用一系列相似變換將A化成擬上三角矩陣（稱為上Hessenberg矩陣），然后對此矩陣用基本QR方法。因為擬上三角矩陣具有較多零元素，故可減少運算量。化A為相似的擬上三角陣的

4、方法有多種。,二、豪斯豪爾德(Householder)變換,三、化一般矩陣為擬上三角陣,四、擬上三角矩陣的QR分解,五、帶原點移位的QR方法,模型誤差,方法誤差,測量誤差,舍入誤差,數(shù)值分析復(fù)習(xí),數(shù)值逼近,基本思想：基函數(shù)方法,基本理論：Lagrange，Newyor型基函數(shù)，分 段插值公式樣條插值構(gòu)造方法。 作用區(qū)別，算法、誤差公式 （理解與應(yīng)用）,擬合方法的正交多項式系的概念。 DFT與FFT的構(gòu)成，公式與算法。 數(shù)值積分：幾何意義，基本公式，算法，誤差。 Romberg求積法的理論依據(jù)與算法。,數(shù)值代數(shù),理論：列主元Gauss消元法、矩陣表示與計算量,LU分解算法與用途。 向量范數(shù)與矩陣范數(shù)。 迭代方法的統(tǒng)一表示與松弛法 收斂性定理與誤差估計 冪法逆冪法理論與算法。 降階與加速,方程求解,理論：二分法的條件與收斂速度。 一般迭代，Newton迭代、Aitken方法、 理論依據(jù)與算法。 方程組求解 Newton 法與最速下降法基本理論。 常微分方程Euler 方