1、數(shù)學思維的魅力,九江學院 譚毓澄 tt_,目錄 前言 乒乓球稱重問題 問題1 問題2 問題3 分蛋糕問題 問題1 問題2 問題3 問題4 結束語,電影美麗心靈開頭有一段臺詞：“是數(shù)學家贏得了世界大戰(zhàn),是數(shù)學家破解了日本密碼，也是數(shù)學家發(fā)明了原子彈”。的確，數(shù)學給予人類巨大精神財富，數(shù)學也影響歷史進程。2千多年來，歐幾里德的幾何原本一直是人類理性精神的典范。,笛卡爾、費馬、牛頓、萊布尼茨創(chuàng)立的微積分，宣告了西方科學黃金時代的到來。馮諾依曼的計算機，維納的控制論、仙農的信息論，將人類帶入了航天飛行和手機普及的時代。,就社會的個體而言，數(shù)學也同等重要。有人說哲學是使人聰明的學問，我們可以說數(shù)學是使人

2、智慧的學問，其實數(shù)學與哲學的關系非常密切。數(shù)學家B.Demollins 說：沒有數(shù)學，我們無法看透哲學的深度；沒有哲學，人,們也無法看透數(shù)學的深度；而若沒有兩者，人們就什么也看不透。數(shù)學是關于思維的科學，有了數(shù)學我們的思維會變得高效、變得美妙。今晚我們將通過一些趣味問題的解決一起感受數(shù)學思維的魅力。,一、 乒乓球稱重問題 問題1 現(xiàn)有10簍蘋果，其中9簍大蘋果，每個3 兩，1簍小蘋果，每個2兩， 請用臺秤稱重1次找出這簍小蘋果。,方法：將10簍蘋果依次編號為1，2，3，10，于是從1號簍中取出1個 蘋 果，2號簍中取2個蘋，10號簍中取出10個蘋果，一起共55個蘋果稱重。,若全為大蘋果，則重量

3、應為553=165兩，實際稱重數(shù)字肯定比165小，設實際稱重數(shù)字比165小k兩,則第k簍蘋果即為小蘋果。 問題2 有5袋乒乓球，每袋單個球重分別為24，25，26，27，28（克/10)，,若只能稱重1次，而要分別出各袋球的單個重量，請給出一種稱重方案。 方法：將5個袋分別編號為1，2，3，4，5?，F(xiàn)從1號袋中取出1個球，2號袋中取出5個球，3號袋中取出25個球，4號袋中取125個球，5號袋中取625個球，共取781個球。,根據(jù)781個球稱重的結果就可以分析出各袋中單個球的重量。如各袋中單個小球重為,編號為 5 4 3 2 1,取球數(shù),625 125 25 5 1,再比如 ,5 4 3 2 1

4、,已知781個球共重19166，問各袋中單個球重？ 19166-18744=422，,422=,=,于是可以斷言1，2，3，4，5各袋中單個球重分別為24，27，25，28，26.上面做法用到了5進制，其實也可以用6進制，7進制，10進制等。問題2最容易理解的做法是采用100進制。,按100進制稱法，總重恰好是 2427252826 。,問題3 現(xiàn)有12個乒乓球，其中一個乒乓球質量不合格（比標準球輕或重），請用天平稱三次，找出這個質量不好的球。,分析：稱量一次最多能從幾個球中找出不合格的球？結論：若知道偏重或偏輕，則可從3個球中找出不合格的球；若不知道是偏重還是偏輕，則只能從2個球中找出不合格

5、的球，但需一個標準球。,依據(jù)上面的分析，我們有下面的稱法.,下面再從映射、信息角度來看待上述問題。 天平稱三次，每一次都有左重、左輕、平衡三種 可能，稱重3次可以反映27種信息。12個球中有 一個不合格球，考慮偏重偏輕情況共有24種可 能，提供的27種信息并未充分用上。前面已分析 此問題中球的個數(shù)可增加至13個 （26 種可能）。,若用排除法確定不合格球，則14個球中含 不合格球恰好對應27種情形， 這是理論上的 分析，實際要做到這點需借助另外的標準球。 利用映射方法也可以幫助找到問題解決 方案。記0表示平衡；-1表示左輕；1表示左 重。將各種情形列出如下：,1,2,3,4,5,6,7,8,9

6、,10,11,12,13,14 0 0 0,依據(jù)上面排列可得12個球的稱重方案：,第1次,第2次,第3次,此方案也可作為13個球的方案，三次均平 衡時，13號球為不合格球。要得到14個球方案需增加1個標準球，記為 ，于是有,第1次,第2次,第3次,二、分蛋糕問題 問題1 一塊蛋糕切4刀最多能切多少塊（薄蛋糕）？切n刀呢？,+_,所以,問題2 一塊蛋糕切3、4刀，最多能切多少塊(厚蛋糕）？n刀呢？,切1、2、3刀結果是明顯的，現(xiàn)在來看切4刀情形。每一刀是一個平面，要想切出最多塊，當然第4個平面須與前面3個平面相交，相交部分為直線。如圖,每塊彩色部分對應切3刀后的1小塊，切第4刀后，每小塊一分為2

7、，故共有15塊,一般地，要想切出最多塊，第n刀需 與前面n-1刀相交，并經過前n-1刀切出 的 塊，并將它們一分為二。記 切n刀后所得最多塊數(shù)為 ，則,+,_,于是,規(guī)定:,問題3 現(xiàn)有2塊薄蛋糕，能否一刀將2個 蛋糕平分？,追問：一刀能將3塊厚蛋糕平分嗎？,這個結果的嚴格證明要用到拓撲學中波蘇克（Borsuk)-烏拉姆（Ulam)定理,問題4 如何公平地將一塊蛋糕分配給2、 3、n個人？ 兩個人分蛋糕時，采用“我分你選”的算法，可以實現(xiàn)公平分配。（權力平衡亦或權力制約） 60年代初，John Sclfridgc 和 John H.Conway首先發(fā)現(xiàn)了三個人分蛋糕時的一種無妒忌算法：,第一步

8、，甲把蛋糕分成他認為具有等值的3塊。 第二步，乙可以采取下列兩個行動之一： (a)若有兩塊蛋糕份量同為最大，他可以什么也不做； (b) 若有一塊蛋糕最大，他可以對其修整，使之達到(a)所說的情況。修整下來的剩余蛋糕放到一邊。,第三步，丙，乙和甲依次選一塊蛋糕，選他們認為最大的一塊。若乙在上面第二步中修整了一塊蛋糕，那么他必須選修理過的蛋糕，除非丙已經先選這一塊蛋糕。至此，蛋糕的一部分已無妒忌方式分完了。,第四步，如果乙在第二步什么也沒有做，那么不再存在剩余蛋糕，因此蛋糕已被分完。否則，被修理過的那塊蛋糕將由乙或丙選去。由乙或丙將剩余蛋糕分為相等的三份。 剩下的事情就是讓丙，甲和乙或乙，甲和丙從剩余蛋糕中各取一份。,按以上分法，由于丙是第一個選，因此他沒有理由眼紅。無論剩余蛋糕怎么分，甲都不會妒忌丙,因為丙充其量也只能選到一份甲認為是1/3塊的蛋糕。甲也不會對乙眼紅，因為他比乙先選。乙也沒有理由抱怨，因為剩余蛋糕本來就是他自己分的。,n個人分蛋糕情形，是否有無妒忌的分法呢？此問題讓人困惑了30年。1995年，紐約大學的steven J.Brains以及聯(lián)盟學院的Alan D.Taylor發(fā)現(xiàn)了適于任意多個人的無妒忌分法。這一方法很復雜。從分蛋糕問題可看出數(shù)學技術也能解決社會科學中的公平、合理等難題。,原本普通的問題