1、高考熱點題型圓錐曲線中的探索性問題【必備知識】1將直線代入橢圓方程，化為關于的二次方程，即為，亦即2將直線代入拋物線方程，得 ，注意對分（對應于直線與對稱軸平行）與（對應于直線與對稱軸不平行）兩類進行討論3過點的直線斜率為4點到直線的距離為5直線：與圓錐曲線相交所得弦長【技巧點撥】解答圓錐曲線中探索性問題，一般可分為以下步驟：（1）假設結論成立；（2）以假設為條件，進行推理求解；（3）明確規(guī)范結論，若能推出合理結論，經(jīng)驗證成立即可肯定正確；若推出矛盾，即否定假設；（4）回顧反思解題過程【典例展示】【題型一】探索直線、曲線間的位置關系問題【例1】已知橢圓，過點且不過點的直線與橢圓交于，兩點，直線

2、與直線交于點（）若垂直于軸，求直線的斜率；（）試判斷直線與直線的位置關系，并說明理由【解析】（）因為過點且垂直于軸，所以可設，直線的方程為令，得所以直線的斜率（）直線與直線平行證明如下：當直線的斜率不存在時，由（）可知又因為直線的斜率，所以當直線的斜率存在時，設其方程為設，則直線的方程為令，得點由，得直線的斜率因為，所以所以綜上可知，直線與直線平行【思維導圖】（）由條件設出坐標寫出直線方程聯(lián)立求得點的坐標求的斜率；（）作圖預判分與軸是否垂直解答與軸垂直時在（）基礎上可證與軸垂直時，設出直線方程與兩點坐標確定方程并與聯(lián)立得點的坐標直線方程代入橢圓方程得二次方程結合韋達定理求的斜率判斷結果【特別點

3、撥】圍繞點的坐標確定是解答本題的關鍵變式訓練：1已知圓的圓心為，半徑為，圓與橢圓 有一個交點為，分別是橢圓的左、右焦點（）求圓的標準方程；（）若點的坐標為，試探究斜率為的直線與圓能否相切，若能，求出橢圓和直線的方程；若不能，請說明理由1【解析】（1）由已知可設圓的方程為，將點A的坐標代入圓的方程，得，即，解得或. ，圓的方程為. (2)依題意，可得直線的方程為，即. 若直線與圓相切，則 ，解得或 . 當時，直線與軸的交點橫坐標為，不合題意，舍去當時，直線與軸的交點橫坐標為4， ，由橢圓的定義得，即，直線能與圓相切，直線的方程為，橢圓E的方程為 【題型二】探索與平面圖形形狀相關的問題【例2】設橢

4、圓的左、右焦點分別為，上頂點為，過點與垂直的直線交軸負半軸于點，且恰是的中點，若過三點的圓恰好與直線相切（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點，在軸上是否存在點，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由【解析】（1）設橢圓的半焦距為，由為線段中點，所以三點圓的圓心為，半徑為又因為該圓與直線相切，所以所以，故所求橢圓方程為；（2）將直線代入得設，則，的中點，由于菱形對角線互相垂直，則，解得即存在滿足題意的點，且的值為【思維導圖】（1）由條件知在中可得由直線與圓相切可得的值求得橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得二次方程結合韋達定理求的中點坐標由菱形對角線

5、互相垂直利用斜率關系求得的值變式訓練：3已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點，過右焦點與軸不垂直的直線交橢圓于兩點（）求橢圓的方程；（）當直線的斜率為1時，求的面積；（）在線段上是否存在點，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由3【解析】（）由已知，橢圓方程可設為因為兩個焦點和短軸的兩個端點恰為正方形的頂點，且短軸長為2，所以所求橢圓方程為（）因為直線過橢圓右焦點，且斜率為1，所以直線的方程為設由得，解得，所以（）假設在線段OF上存在點，使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形因為直線與x軸不垂直

6、，所以設直線的方程為由可得，因為，所以設的中點為，所以，因為以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，所以MNPQ，所以，整理得，所以，所以【題型三】探索與平面圖形面積相關的問題【例3】已知橢圓的離心率為，短軸長為（1）求橢圓的方程；（2）若是橢圓上的兩個動點，為坐標原點，的斜率分別為，問是否存在非零常數(shù)使時，的面積為定值？若存在，求的值；否則說明理由【解析】（1），橢圓的方程為：；（2）假設存在這樣的常數(shù)使時為定值，設直線的方程為： 且與的交點坐標為因為所以，化為將代入，消去得：由韋達定理得：，可化為因為點到直線的距離為，所以，要使上式為定值，只需，得，此時，即，故存在非零常數(shù)，此時【思維導圖】

7、（1）由離心率與短軸長求得寫出橢圓方程；（2）假設存在這樣的常數(shù)使時為定值設出直線的方程代入橢圓方程聯(lián)立得二次方程由結合韋達定理得的關系點到直線距離公式求得的高求的面積的表達式分析表達式建立等式解方程得出結果變式訓練：3已知平面直角坐標系上一動點到點的距離是點到點的距離的倍（1）求點的軌跡方程；（2）過點的直線與點的軌跡相交于兩點，點，則是否存在直線，使取得最大值，若存在，求出此時的方程，若不存在，請說明理由3【解析】（1）由已知，即，（2）由題意知的斜率一定存在，不妨假設存直線的斜率為k，且。則，聯(lián)立方程：，又直線不經(jīng)過點，則點到直線的距離，當時，取得最大值2，此時，直線的方程為?！绢}型四】

8、探索與直線斜率相關的問題【例4】如圖，橢圓：經(jīng)過點，離心率，直線的方程為（1）求橢圓的方程；（2）設過橢圓右焦點的直線與直線相交于點，記直線的斜率分別為，問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由【解析】（1）由在橢圓上，得，又，得，由，得，故橢圓的方程為（2）設直線的方程為由，又將代入得，故存在常數(shù)符合題意【思維導圖】（1）根據(jù)橢圓過點與離心率建立方程組解方程得的值寫出橢圓方程；（2）設直線的方程與點坐標由直線方程與橢圓方程消去得二次方程結合韋達定理計算（的表達式）根據(jù)直線方程與求得坐標計算斜率求得的值變式訓練：4橢圓與的中心在原點，焦點分別在軸與軸上，它們有相同的離心率，

9、并且的短軸為的長軸，與的四個焦點構成的四邊形面積是（）求橢圓與的方程；（）設是橢圓上非頂點的動點，與橢圓長軸兩個頂點，的連線，分別與橢圓交于點，（1）求證：直線，斜率之積為常數(shù)；（2）直線與直線的斜率之積是否為常數(shù)？若是，求出該值；若不是，說明理由4【解析】（）依題意，設：，：由對稱性，四個焦點構成的四邊形為菱形，且面積，解得：，所以橢圓：，：（）（1）設，則，所以：，直線，斜率之積為常數(shù)（2）設，則，所以：，同理：，所以：，由，結合（1）有【題型五】探索與距離相關的問題【例2】已知中心在坐標原點O的橢圓C經(jīng)過點A(2,3)，且點F(2,0)為其右焦點（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在平行于

10、OA的直線，使得直線與橢圓C有公共點，且直線與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由【解析】（1）依題意，可設橢圓C的方程為1(ab0)，且可知其左焦點為F(2,0)從而有解得又a2b2c2，所以b212，故橢圓C的方程為1.（2）假設存在符合題意的直線l，設其方程為yxt.由得3x23txt2120.因為直線l與橢圓C有公共點，所以(3t)243(t212)0，解得4t4.另一方面，由直線OA與l的距離d4，得4，解得t2.由于24，4，所以符合題意的直線l不存在【思維導圖】（1）根據(jù)焦點求得利用定義求得結合求得寫出橢圓方程；（2）假設存在符號條件的直線設出直線的方程yxt

11、代入橢圓方程得二次方程由0求得的取值范圍利用點到直線的距離建立的方程求得判定結論變式訓練：5已知點分別是橢圓：的左、右焦點，點在橢圓上（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線：，：，若、均與橢圓相切，試探究在軸上是否存在定點，點到、的距離之積恒為1？若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由5【解析】（1）由，得，橢圓的方程為（2）把的方程代入橢圓方程得直線與橢圓相切，化簡得同理把的方程代入橢圓方程也得設在軸上存在點，點到直線、的距離之積為1，則，即，把代入并去絕對值整理，或前式顯然不恒成立；而要使得后式對任意的恒成立，則，解得；綜上所述，滿足題意的定點存在，其坐標為【題型六】探索與圓相關的問題【

12、例6】已知橢圓的左、右焦點分別為、，短軸兩個端點為、，且四邊形是邊長為2的正方形. （1）求橢圓的方程；（2）若、分別是橢圓長軸的左、右端點，動點滿足，連結，交橢圓于點.證明：為定值；（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存在異于點的定點，使得以為直徑的圓恒過直線的交點，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.【解析】（1）由題意得，所求的橢圓方程為.（2）由（1）知，由題意可設：,，由整理得，所以，即為定值（3）設，則若以為直徑的圓恒過的交點，則，恒成立由（2）可知，即恒成立，存在使得以為直徑的圓恒過直線的交點【思維導圖】（1）根據(jù)題意求得的值求出的值求出橢圓方程；（2）求出的坐標設出直線方

13、程令得點的坐標直線方程與橢圓方程聯(lián)立得二次方程利用韋達定理得出點的坐標利用向量數(shù)量積運算公式使問題得證；（3）先假設存在利用直徑所對的角為直角知垂直關系轉(zhuǎn)化向量的數(shù)量積由（2）可求得向量建立關于的等式確定點坐標變式訓練：6已知橢圓的離心率，且過點 ()求橢圓的方程；()橢圓長軸兩端點分別為、，點為橢圓上異于、的動點，定直線與直線、分別交于、兩點，又，過 、三點的圓是否過軸上不同于點的定點？若經(jīng)過，求出定點坐標；若不經(jīng)過，請說明理由6【解析】()e=a=2c，a2=b2+c2b2=a2，橢圓的方程為+=1)在橢圓上，所求橢圓的方程為()設的斜率分別為k1、k2，則，則：，則，：，則，設圓過定點，

14、則，則或(舍)故過點三點的圓是以MN為直徑的圓過點【題型七】探索與平面向量相關的問題【例7】已知分別為橢圓：的兩個焦點，是橢圓上一點，且成等差數(shù)列（1）求橢圓的標準方程；（2）已知動直線過點，且與橢圓交于兩點，試問軸上是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由【解析】（1）因為成等差數(shù)列，所以，將，代入化簡，得，所以，由，解得，所以橢圓的標準方程為（2）假設在軸上存在點，使得恒成立當直線的斜率不存在時，由于，解得或；當直線的斜率為0時，則，解得，由可得.下面證明時，恒成立，當直線的斜率為0時，結論成立；當直線的斜率不為0時，設直線的方程為由及，得，所以，綜上所述，在軸上存在點使得恒成立【思維導圖】（1）由等差數(shù)列條件結合橢圓定義得結合已知坐標建立方程組解方程組可求得寫出橢圓的標準方程；（2）假設存在滿足條件的存在先利用特殊位置猜想點的坐標直線的斜率不存在確定出可能的坐標直線的斜率為0確定出可能的坐標猜想點的坐標然后證明對一般性結論設直線的方程為與坐標代入橢圓方程得二次方程根據(jù)數(shù)量積計算的值判斷結論變式訓練：7設橢圓過兩點，為坐標原點（1）求橢圓的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，且？若存在，寫出該圓的方程，若