1、第二章 隨機(jī)變量及其分布(第六講),退 出,前一頁,后一頁,目 錄,1 離散型隨機(jī)變量的概率分布 2 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 3 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 4 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,1 隨機(jī)變量,第二章 隨機(jī)變量及其分布,例 1 袋中有3只黑球，2只白球，從中任意取出3 只球我們將3只黑球分別記作1，2，3號(hào)，2只白球分別記作4，5號(hào)，則該試驗(yàn)的樣本空間為,1 隨機(jī)變量,考察取出的3只球中的黑球的個(gè)數(shù)。,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,我們記取出的黑球數(shù)為X，則 X 的可能取值為1，2， 3因此， X 是一個(gè)變量但是， X 取什么值依賴于 試驗(yàn)結(jié)果，即 X 的取值帶有隨機(jī)性，所以，我們稱 X 為隨

2、機(jī)變量X 的取值情況可由下表給出：,第二章 隨機(jī)變量及其分布,1 隨機(jī)變量,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,由上表可以看出，該隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都對(duì)應(yīng) 著變量 X 的一個(gè)確定的取值，因此變量 X 是樣本空 間S上的函數(shù)：,我們定義了隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量的取值 情況來刻劃隨機(jī)事件例如,表示至少取出2個(gè)黑球這一事件，等等,第二章 隨機(jī)變量及其分布,表示取出2個(gè)黑球這一事件；,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,第二章 隨機(jī)變量及其分布,1 隨機(jī)變量,例2 擲一顆骰子，令 X：出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) 則 X 就是一個(gè)隨機(jī)變量,表示擲出的點(diǎn)數(shù)不超過 4 這一隨機(jī)事件；,表示擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)這一隨機(jī)事件,它的

3、取值為1，2，3，4，5，6,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,例3 上午 8:009:00 在某路口觀察，令： Y：該時(shí)間間隔內(nèi)通過的汽車數(shù) 則 Y 就是一個(gè)隨機(jī)變量,表示通過的汽車數(shù)小于100輛這一隨機(jī)事件；,表示通過的汽車數(shù)大于 50 輛但不超過 100 輛這一隨機(jī)事件,第二章 隨機(jī)變量及其分布,1 隨機(jī)變量,它的取值為 0，1，,注意 Y 的取值是可列無窮個(gè)！,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,例 4 觀察某電子元件的壽命（單位：小時(shí)），令 Z：該電子元件的壽命 則Z 就是一個(gè)隨機(jī)變量它的取值為所有非負(fù)實(shí)數(shù),表示該電子元件的壽命大于 1000小時(shí)這一隨機(jī)事件,表示該電子元件的壽命不超過50

4、0小時(shí)這一隨機(jī)事件,第二章 隨機(jī)變量及其分布,1 隨機(jī)變量,注意 Z 的取值是不可列無窮個(gè)！,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,例 5 擲一枚硬幣，令：,則X是一個(gè)隨機(jī)變量,第二章 隨機(jī)變量及其分布,1 隨機(jī)變量,說 明：,在同一個(gè)樣本空間上可以定義不同的隨機(jī)變量,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,例 6 擲一枚骰子，在例2中，我們定義了隨機(jī)變量X表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)我們還可以定義其它的隨機(jī)變量，例如我們可以定義：,等等,第二章 隨機(jī)變量及其分布,1 隨機(jī)變量,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,離散型隨機(jī)變量的分布率與性質(zhì),一些常用的離散型隨機(jī)變量,退 出,前一

5、頁,后一頁,目 錄,一、離散型隨機(jī)變量的分布律(率)與性質(zhì),第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,1)離散型隨機(jī)變量的定義,如果隨機(jī)變量 X 的取值是有限個(gè)或可列無窮個(gè)，則稱 X 為離散型隨機(jī)變量,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,2)離散型隨機(jī)變量的分布律,設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的所有可能取值為,并設(shè),則稱上式或,為離散型隨機(jī)變量 X 的分布律,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,3)離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì):,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,例 1,從110這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取出5個(gè)數(shù)字，令 X：取出

6、的5個(gè)數(shù)字中的最大值試求X的分布律,第二章 隨機(jī)變量及其分布,具體寫出，即可得 X 的分布律：,解： X 的可能取值為,5，6，7，8，9，10 并且,=,求分布率一定要說明 k 的取值范圍！,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,例 2,將 1 枚硬幣擲 3 次，令,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,X：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差 試求： （1）X 的分布律；,解：,X 的可能取值為,-3， - 1，1，3,并且分布律為,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,例 3,設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為,解：由分布律的性質(zhì)，得,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,該級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，故有,所以,

7、退 出,前一頁,后一頁,目 錄,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號(hào)燈，每盞信號(hào)燈以概率p禁止汽車通過. 以 X 表示汽車首次停下時(shí)，它已通過的信號(hào)燈的盞數(shù)，求 X 的分布律. (信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的).,PX=3,可愛的家園,例 4,=(1-p)3p,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,解： 以 p 表示每盞信號(hào)燈禁止汽車通過的概率，則 X 的分布律為：,X pk,0 1 2 3 4,p,或?qū)懗?PX= k = (1- p)kp，k = 0,1,2,3 PX= 4 = (1-p)4,例 4(續(xù)),(

8、1-p) p,(1-p)2p,(1-p)3p,(1-p)4,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,以 p = 1/2 代入得：,例 4(續(xù)),退 出,前一頁,后一頁,目 錄,二、一些常用的離散型隨機(jī)變量,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,1) Bernoulli分布,如果隨機(jī)變量 X 的分布律為,或,則稱隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 p 的 Bernoulli分布,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,Bernoulli分布也稱作 0-1 分布或二點(diǎn)分布,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,Bernoulli分布的概率背景,進(jìn)行一次Bernoull

9、i試驗(yàn)， A是隨機(jī)事件。設(shè)：,設(shè)X 表示這次Bernoulli試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù) 或者設(shè),退 出,前一頁,后一頁,目 錄,2）二 項(xiàng) 分 布,如果隨機(jī)變量 X 的分布律為,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,分布律的驗(yàn)證, 由于,以及 n 為自然數(shù)，可知, 又由二項(xiàng)式定理，可知,所以,是分布律,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,說 明,顯然，當(dāng) n=1 時(shí),第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,二項(xiàng)分布的概率背景,進(jìn)行n重 Bernoulli 試驗(yàn)，A是隨機(jī)事件。設(shè)在每次

10、試驗(yàn)中,令 X 表示這 n 次 Bernoulli 試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,說明：,所以,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,例5 一大批產(chǎn)品的次品率為0.1，現(xiàn)從中取 出15件試求下列事件的概率： B= 取出的15件產(chǎn)品中恰有2件次品 C= 取出的15件產(chǎn)品中至少有2件次品 ,由于從一大批產(chǎn)品中取15件產(chǎn)品，故可近似看作是一15重Bernoulli試驗(yàn),解：,所以，,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,例 6 一張考卷上有5道選擇題，每道

11、題列出4個(gè)可能 答案，其中只有一個(gè)答案是正確的某學(xué)生靠猜測(cè) 能答對(duì)4道題以上的概率是多少？,則答5道題相當(dāng)于做5重Bernoulli試驗(yàn),第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,解：每答一道題相當(dāng)于做一次Bernoulli試驗(yàn)，,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,所以,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,二項(xiàng)分布的分布形態(tài),由此可知，二項(xiàng)分布的分布率,先是隨著 k 的增大而增大，達(dá)到其最大值后再隨著 k 的增大而減少這個(gè)使得,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,可以證明：,第二章 隨機(jī)變量及其分布,2離散型隨機(jī)變量,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,例 7 對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行300次獨(dú)立射擊，設(shè)每次射擊時(shí)的 命中率均為0.44，試求300次射擊最可能命中幾次？ 其相應(yīng)的概率是多少？,則由題意,第二章 隨