1、2 直角坐標系下 二重積分的計算,復(fù)習：曲頂柱體的體積,求以曲面 為頂，底面為矩形 的曲頂柱體的體積。,求曲頂柱體體積步驟如下：, 分割：將矩形 任意分為 n 塊可求面積的小塊,其面積仍記為 。相應(yīng)地將曲頂柱體分割 成 n 個小曲頂柱體，分別記為, 近似代替：在每一小塊上任意取一點 則小曲 頂柱體的體積 可用直柱體的體積近似代替，即, 求和：把 n 個小曲頂柱體的體積相加，便得到所求曲頂柱體體積的近似值,取極限，如果該極限存在，那末此極限值就定義為曲頂柱體 的體積。這個和式的極限正好就是上一章引進的二重積分， 故所求曲頂柱體的體積，等于相應(yīng)的二重積分的值：, 取極限：記 在和式中令,由于此曲頂

2、柱體的底面是一矩形，所以此曲頂柱體的體積還可以用另一種方法來計算。,先復(fù)習定積分應(yīng)用中的一個結(jié)果：設(shè)空間立體位于平面 與平面 之間，用與 軸垂直的平面截立 體，截得截面的截面面積為 ，則此立體的體積為,化二重積分為二次積分,作與 軸垂直的平 面，設(shè)截得曲頂柱 體截面的面積為,立體位于平面 與平面 之間，,則曲頂柱體體積為,而 就是平面 上， 由曲線 與直線 所圍成的曲邊梯形的面積，所以,從而,因此,類似地，也可以用與 軸垂直的平面來截曲頂柱體，同樣可得,從上面的分析，可以得到下列結(jié)果：,定理21.8 設(shè) 在矩形 上可積， 含參變量積分 存在，則,設(shè) 在矩形 上可積， 含參變量積分 存在，則,類

3、似地可以給出先對 后對 積分的結(jié)果：,設(shè) 在矩形 上連續(xù)，則,我們經(jīng)常使用的是連續(xù)函數(shù)，對連續(xù)函數(shù)有下列結(jié)果：,定理21.9,前面討論了矩形區(qū)域上的二重積分的計算方法，下面考慮一般區(qū)域上二重積分的計算。,根據(jù)積分區(qū)域的特點，分三種情況討論。,這種區(qū)域的特點是：與 軸垂直的直線與區(qū)域的邊界至多有兩個交點，或者有部分邊界是平行于 y 軸的直線段。,這時二重積分可化為先對 后對 的二次積分。,第一種情形： 積分區(qū)域 D 由兩條曲線 及兩條直線 圍成，即,作包含此積分區(qū)域的矩形,令,于是,第二種情形： 積分區(qū)域 D 由曲線 及直線 圍成，即,這時二重積分可化為先對 后對 的二次積分。,這種區(qū)域的特點是：與 軸垂直的直線與區(qū)域的邊界至多有兩個交點，或者有部分邊界是平行于 x 軸的直線段。,第三種情形：一般情形，這時可用平行于 軸與平行于 軸的直線將積分區(qū)域分成上述兩種情形求解。,X型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.,Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.,若區(qū)域如圖，,在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式,則必須分割.,解,積分區(qū)域如圖,解,積分區(qū)域如圖,解,原式,解,解,解,解,曲面圍成的立體如圖.,例8 求兩個底面半徑相同的直交圓柱所圍立體的體積V.,解 設(shè)這兩個直交圓柱面的方程為：,由圖形的對稱性,