1、第三章 正弦交流電路,本章主要內(nèi)容:,1 正弦量相量 2 有效值 3 正弦電路元件 4 基爾霍夫定律相量形式 5 RLC串聯(lián)電路 6 RLC并聯(lián)電路 7 無(wú)源一端口網(wǎng)絡(luò) 8 交流電路功率 9. 正弦交流電路計(jì)算,本章教學(xué)目的: 正弦交流電路是應(yīng)用最廣泛的電路，本章介紹 單相正弦交流電路理論中的基本概念和規(guī)律。,本章教學(xué)要求: 掌握正弦量的概念及其相量表示法，相量運(yùn)算；正弦電路元件特性；交流電路KCL、KVL形式；交流電路功率、有功功率和無(wú)功功率及功率因數(shù)的概念；簡(jiǎn)單正弦電路分析方法。,3.1 正弦交流電量的基本概念,交流電路:電壓或電流是時(shí)間的周期性函數(shù),一周期內(nèi)平均值為零. 正弦交流電路:電

2、壓或電流是時(shí)間的正弦函數(shù).,瞬時(shí)表達(dá)式,1)正弦交流電流描述 (電流參考方向如圖所示),瞬時(shí)值 i,電流波形圖,瞬時(shí)表達(dá)式需規(guī)定參考方向!,瞬時(shí)表達(dá)式,2)正弦交流電的三要素,1 Im 幅值(最大值) 2 角頻率, = 2pf , f 頻率 , T 周期, T=1/f 3 (tyi) 相位， yi 初相位,我國(guó)電網(wǎng) f50Hz，314弧度秒, T = 20毫秒,例:,電流表達(dá)式必須規(guī)定參考方向! 例如規(guī)定參考方向從1到2，i5sin（ 314t+45），則隨時(shí)間變化曲線如圖，每一時(shí)刻都有確定的電流值，實(shí)際方向時(shí)正時(shí)負(fù)。 對(duì)于同一個(gè)電流,如果參考方向改為從2到1，記為i，則 ii5sin（314

3、t45） 5sin（314t135）， 即把時(shí)間起點(diǎn)沿t軸移動(dòng)180。i與i表示同一電流，由于正方向不同，初相位相差180。,兩個(gè)同頻率正弦量，見圖 i1I1 sin（ti1）， i2I2 sin（ti2）， 相位差： （ti1）（ti2）i1i2 可見，相位差初相位之差。 若0，i1i2，i1超前i2； 0，i1i2，i1與i2同相位； 0，i1i2，i1滯后i2；,2）相位差: 同頻率正弦交流電相位差,i1超前i2,i1滯后i2,i1超前i2,(90),i1滯后i2,(90),i1和i2同相,i1和i2反相,3.2 周期交流電量的有效值,有效值物理意義：周期交流電流 流過(guò)電阻R時(shí)，在一個(gè)周

4、期內(nèi)消耗的能量等于某一大小的直流電流I在同一電阻相同時(shí)間內(nèi)消耗的能量。稱這一直流電流I為交流電流 的有效值。,交流電功率:,直流電功率:,周期交流電流有效值:,（有效值又稱為均方根值）,同理，周期交流電壓有效值為,設(shè)電流,則正弦交流電流的有效值為:,正弦交流電流的有效值,即,同樣可定義電壓有效值,注意：電氣工程上電壓電流的大小，一般都用有效值來(lái)表示，電氣工程測(cè)量?jī)x表一般也指有效值。 電路計(jì)算中一般用有效值運(yùn)算。,單相電壓220V是指有效值，其最大值約為311V.,3.3 正弦交流電量的相量表示,三角函數(shù)計(jì)算,1）正弦交流電瞬時(shí)值與相量關(guān)系,線段P在虛軸上的投影,相量(復(fù)數(shù)式),瞬時(shí)表達(dá)式,波形

5、圖,相量圖,相量以角頻率 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其在虛軸上的投影即為正弦交流電流的瞬時(shí)值。 正弦交流電的三種表達(dá)方式: 瞬時(shí)表達(dá)式 相量 復(fù)數(shù)式,代數(shù)表示法,2）正弦交流電量計(jì)算,設(shè),求兩個(gè)電流之和,t=t0,t=t1,合成電流,時(shí)域計(jì)算：正弦函數(shù)計(jì)算,任一時(shí)刻合成電流瞬時(shí)值等于二個(gè)電流瞬時(shí)值之和。 合成相量等于二個(gè)電流相量之和。 正弦交流電瞬時(shí)表達(dá)式計(jì)算相量計(jì)算（復(fù)數(shù)計(jì)算）。,合成電流相量計(jì)算:,求 解：,例1：已知,，,把瞬時(shí)值運(yùn)算變?yōu)橄嗔窟\(yùn)算,注意，只有同頻率量才可進(jìn)行相量運(yùn)算。,1)轉(zhuǎn)換為相量形式:,2)相量(復(fù)數(shù))運(yùn)算,3)轉(zhuǎn)換為瞬時(shí)式,相量圖,附：復(fù)數(shù)計(jì)算規(guī)則,直角坐標(biāo)：,極座標(biāo)：,設(shè)：,相

6、加、減,相乘：,相除：,3.4 正弦交流電路的元件電壓電流相量表達(dá)式（相量歐姆定律）,1）電阻元件,時(shí)域瞬時(shí)式,相量表達(dá)式 :,平均功率,相量形式歐姆定律,瞬時(shí)功率:,2）電感元件,時(shí)域表達(dá)式,相量表達(dá)式 :,即有:,，稱為感抗，反映某一頻率下電感電壓有效值與電流有效值關(guān)系, 具有阻抗的量綱.,相量形式歐姆定律,時(shí)的電感電流。,例1： 一線圈電感,，,試求電壓為,解:當(dāng),時(shí),線圈電抗,線圈電流,電流幅值,當(dāng),線圈電抗,線圈電流,電流幅值,同一電感在不同頻率時(shí)，電抗相差很大。,電感元件瞬時(shí)功率,電感元件平均功率,電感元件串聯(lián)在電路中, 當(dāng)交流電流流過(guò)時(shí)產(chǎn)生電壓降, 但不會(huì)產(chǎn)生功率損耗. 一般交流

7、電扇就是用串聯(lián)電感來(lái)調(diào)速的.,3）電容元件,時(shí)域表達(dá)式,相量表達(dá)式,即:,相量形式歐姆定律,稱為容抗，單位歐姆，,容抗與頻率成反比。,電容元件瞬時(shí)功率,電容元件平均功率,對(duì)于復(fù)雜的線性電路，如果所有激勵(lì)源均為同一頻率的正弦函數(shù)，則各支路的電流和電壓都為和激勵(lì)源有相同頻率的正弦函數(shù)，都可以表示為相量形式，在電路計(jì)算中可采用相量計(jì)算的方法?；鶢柣舴蚨蓪?duì)于任何電路均成立。,3.7 基爾霍夫定律相量形式,元件歐姆定律:,時(shí)域?qū)嶋H電路,相量形式復(fù)數(shù)電路,基爾霍夫節(jié)點(diǎn)電流定律的時(shí)域表達(dá)式為,相量形式的基爾霍夫節(jié)點(diǎn)電流定律 :,基爾霍夫回路電壓定律的時(shí)域表達(dá)式為,相量形式的基爾霍夫回路電壓定律 :,直流電

8、路中敘述的電路分析方法和電路定理是基于KCL和KVL導(dǎo)出的，而這兩個(gè)基本定律對(duì)任何電路均成立。因此直流電路中敘述的分析方法和定理對(duì)于任何電路均成立，且在交流電路中可用相量形式表示。在今后的分析中將直接引用這些方法或定理。,把節(jié)點(diǎn)電流或回路電壓的相量作成矢量圖，可得到一個(gè)閉合的矢量多邊形。在計(jì)算分析正弦交流電路中，可利用上述兩個(gè)定律及相量關(guān)系。,利用相量關(guān)系分析正弦交流電路.,圖示電路中，已知,求,，,的值。,解：由基爾霍失電壓定律，得,圖中畫出了電壓的相量圖。,例1:,： 設(shè),，,求電源電壓有效值。,解：,電源電壓有效值為141.4V,注意：,電壓電流相量形式滿足KCL，KVL，有效值不滿足K

9、CL、KVL. 求交流電路應(yīng)用相量關(guān)系計(jì)算 。,設(shè),例2,正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量圖解分析,正弦穩(wěn)態(tài)交流電路分析計(jì)算除采用相量解析方法外,還可用元件中電壓電流的相量關(guān)系, 以及節(jié)點(diǎn)電流和回路電壓的相兩關(guān)系, 通過(guò)相量圖進(jìn)行分析.,為測(cè)量一只線圈的電感和電阻，將它與電阻R1串聯(lián)后接入頻率為50Hz的正弦電源，如圖所示，測(cè)得外加電壓 ，電阻R1上電壓 ，線圈兩端電壓 。已知電阻 ，試求線圈的電阻R與電感L的值。,解：以電流作參考相量，分別作出電壓相量如圖所示。因?yàn)?因此電壓相量組成一個(gè)閉合三角形。在相量圖上，用余弦定理可求出 角為 :,例3:,得,，由相量圖又可得到,，,因此,圖示為測(cè)量線圈電感和電阻的

10、電路.若外加電壓U=100V，頻率f=50HZ,電壓表的A端可在滑動(dòng)電阻上移動(dòng).當(dāng)移動(dòng)到某一點(diǎn)時(shí),電壓表讀數(shù)最小,其值為30V,且測(cè)得R1=5,R2=15, R3=65, 試求線圈的電阻R與電感L的值。,例4:,解: 以外加電壓為基準(zhǔn), 畫出相量圖,易知 UR1=25V, UBA=30V, 由直角三角形可得,討論:試設(shè)計(jì)一個(gè)信號(hào)源,要求輸出恒定的幅值,但相位在0180可調(diào).,例5:已知V1,V2,V的讀數(shù)分別為6V,10V,和10V,求V3的讀數(shù).,解:,V3=2V or V3=18V,例6: 電路如圖, 測(cè)得US=80V, UC=60V, UL=100V, =100, IL=6A, 求R,L

11、,C的值.,解:以UL為基準(zhǔn)相量, 畫電路的相量圖.,UL,UC和US組成一個(gè)直角三角形,注意:,電路如圖，,同相，求,。,解：取,為參考相量，,作出相量圖,，,，,例7:,利用相量圖關(guān)系計(jì)算是交流電路的一種計(jì)算方法.,1) RLC串聯(lián)電路,電路如圖，由KVL得:,3.8 無(wú)源一端口網(wǎng)絡(luò)阻抗導(dǎo)納及等效電路,阻抗:,Z復(fù)數(shù)阻抗,XL感抗,XC容抗,X電抗,阻抗符號(hào):,2) RLC并聯(lián)電路,導(dǎo)納:,導(dǎo)納Y中的實(shí)部G是該電路的電導(dǎo)，虛部為電路的電納 .,阻抗和導(dǎo)納互為倒數(shù):,互換關(guān)系:,3) 無(wú)源一端口網(wǎng)絡(luò)計(jì)算,任意無(wú)源網(wǎng)絡(luò)在正弦激勵(lì)時(shí)可等效成為一入端阻抗（導(dǎo)納）。,解：先求cb端等效阻抗， 阻抗的

12、等效導(dǎo)納,例1: 圖示電路，已知,，,，,，,試求該電路的入端阻抗。,若外加電壓,，求各支路電流。,則,cb右端等效阻抗,電路入端阻抗,設(shè),則,求: i， ， ， 。,解：,取 為參考相量,A,例2:,V,V,V,例3: 圖示電路，已知 f=50Hz ,I2A，UUC UP30V，求C及無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)P的串聯(lián)電路參數(shù)。,解：以 為參考相量，作相量圖.設(shè),則,由相量圖得:,R12.99，XL7.5，這里X為正，電路呈感性，等值電抗為感抗 .,圖中相量形式一般是不可能的，在關(guān)聯(lián)參考方向下, 無(wú)源阻抗(無(wú)受控源)的阻抗角(電壓和電流的相位角) 。,討論:,例4: 圖示為RC正弦波移相網(wǎng)絡(luò),計(jì)算輸入輸出

13、電壓相位移與幅值比.,解:a-b右側(cè)的入端阻抗,例5:圖示為RC正弦波選頻電路,試問(wèn)在什么頻率之下,輸出電壓與輸入電壓同相,并求此時(shí)的輸入輸出電壓傳輸比.,解: 串聯(lián)RC和并聯(lián)RC的阻抗分別為,輸入輸出電壓:,要使得輸入輸出電壓同相,等式右面必須為實(shí)數(shù),得:,例6:如圖電路,選擇L和C的值,使得當(dāng)Z變化時(shí),輸出電流i的有效值保持為1A. (電流源).,解: 利用諾頓定理, 求ab左側(cè)的等效電路. 短路電流:,等效阻抗:,由題意, 當(dāng),時(shí),輸出電流不變,例7: 證明如圖電路, 當(dāng)電源為某一頻率時(shí), 輸出電壓U2不隨負(fù)載變化, 試求此頻率. 若輸入電壓U1=100V,f=50HZ,C1=1F,為使

14、輸出電壓有效值為25V, 試選擇C2和L的值.,解: 求負(fù)載Z左側(cè)的戴維南電路. 開路電壓:,入端阻抗:,由題意,有,輸出電壓,當(dāng)Z=0時(shí), 電路等效為一個(gè)電壓源,輸出電壓不隨負(fù)載變化.,此時(shí)有,3.9 正弦交流電路的功率計(jì)算,1) 瞬時(shí)功率:,設(shè)電壓和電流取關(guān)聯(lián)方向，如圖,瞬時(shí)功率可分為恒定分量與二倍角頻率變化的正弦分量 。 瞬時(shí)功率在某些時(shí)間段為正值，表示此時(shí)一端口網(wǎng)絡(luò)正在吸收功率。在某些時(shí)間段為負(fù)值，表示網(wǎng)絡(luò)在輸出功率，將原來(lái)儲(chǔ)存的能量送回電網(wǎng)。,2） 有功功率(平均功率):,為電壓電流相位差;,為電壓電流有效值;,功率因數(shù)；,功率因數(shù)角。,在一周期內(nèi)電路吸收的平均功率，也稱為有功功率。

15、它的值為：,決定一個(gè)一端口網(wǎng)絡(luò)負(fù)載平均功率的大小，不但與施加的電壓，流過(guò)的電流的有效值大小有關(guān)，而且與電壓電流的相位差，即功率因數(shù)角有關(guān)。,即,例: 如圖電路, R=120, L=160 , 外加電壓200V,50HZ, 求負(fù)載消耗的有功功率.,解: 設(shè)外加電壓,負(fù)載電流,有功功率,功率因數(shù),對(duì)于R-L串聯(lián)電路:,有功功率測(cè)量及功率表應(yīng)用,正弦交流電功率測(cè)量包括電壓、電流有效值以及二者之間的相位差，工程應(yīng)用上用功率表來(lái)測(cè)量正弦交流電路的有功功率。,功率表包含一組電壓測(cè)量線圈和一組電流測(cè)量線圈。符號(hào)圖及實(shí)際結(jié)構(gòu)如圖。,結(jié)構(gòu)原理圖,實(shí)際測(cè)量接線圖,圖示接線時(shí)，功率表讀數(shù)等于以*號(hào)為參考方向的電壓電

16、流表達(dá)式，用 計(jì)算所得的數(shù)值。,功率表測(cè)量值有正負(fù)符號(hào)。此時(shí)若： ，則表示網(wǎng)絡(luò)A吸收功率； ，則表示網(wǎng)絡(luò)A發(fā)出功率。,注意：功率表二組線圈之間有同名端標(biāo)記，用于判別功率傳輸方向。同名端指出了測(cè)量時(shí)的參考方向。,如圖接線時(shí)： ，則表示網(wǎng)絡(luò)A發(fā)出功率； ，則表示網(wǎng)絡(luò)A吸收功率。,例1: 三表法測(cè)量阻抗。 U=100V，I=2A，P=120W，=500，并聯(lián)小電容后，電流表讀數(shù)變大，求P 的等效電路。,解：,，,判別電抗的特性：并聯(lián)小電容后，電流表讀數(shù)變大，則X為容性；反之為感性。,*例2: 如圖電路,已知U=U1=UC=220V, Z為感性阻抗,功率表的讀數(shù) ,求Z和XC的值.,解: 以I2為基準(zhǔn)

17、作相量圖,U與I同相.,3）無(wú)功功率Q：,無(wú)功功率,，單位為無(wú)功伏安（乏）（VAR）,無(wú)功功率Q表示二端網(wǎng)絡(luò)與外界能量交換的能力。以電感為例:,當(dāng)負(fù)載為電感性時(shí)，功率因數(shù)角,，此時(shí)無(wú)功功率,，表示電感性負(fù)載吸收無(wú)功功率。,當(dāng)負(fù)載呈電容性時(shí)，功率因數(shù)角,，此時(shí)無(wú)功功率,，表示電容性負(fù)載發(fā)出無(wú)功功率。,，,瞬時(shí)功率,4）視在功率S：,視在功率,，單位為伏安（VA）,對(duì)于發(fā)電機(jī)、變壓器等實(shí)際電氣設(shè)備，規(guī)定有額定工作電壓與額定工作電流。額定電壓決定于電氣設(shè)備的絕緣強(qiáng)度，而額定電流受設(shè)備容許溫升和機(jī)械強(qiáng)度等制約。因此它們的容量大小是由電壓和電流的乘積而定。視在功率表示電器裝置的容量。,有功功率、無(wú)功功率

18、和視在功率的關(guān)系為:,，,*5）復(fù)數(shù)功率,在電力系統(tǒng)的計(jì)算中，為了使功率計(jì)算表達(dá)方便，常在正弦電路中用復(fù)數(shù)功率來(lái)表示一個(gè)元件或一個(gè)單端口網(wǎng)絡(luò)的功率。復(fù)數(shù)功率定義為電壓相量與電流共軛相量的乘積，用符號(hào)來(lái)表示，即,可知復(fù)數(shù)功率的模即為視在功率，幅角是功率因數(shù)角，其實(shí)部為有功功率，虛部為無(wú)功功率。,對(duì)于無(wú)源一端口網(wǎng)絡(luò)，其吸收的復(fù)數(shù)功率可表示為,式中，I、U為一端口網(wǎng)絡(luò)電壓和電流的有效值；Z為等效阻抗； 為等效導(dǎo)納的共軛復(fù)數(shù)。,求:負(fù)載有功功率P,無(wú)功功率Q,視在功率S，復(fù)數(shù)功率 ,功率因數(shù) 。,解:,例1.,例2. 圖示電路中,口,均為有源一端,網(wǎng)絡(luò),線路電壓電流參考方向及相量圖,如圖.,求功率表讀

19、數(shù),并判斷一端口網(wǎng)絡(luò),的功率流向(吸收或發(fā)出).,解: 對(duì)于,關(guān)聯(lián)參考方向,故,吸收功率,對(duì)于,關(guān)聯(lián)參考方向,故,吸收功率,對(duì)于,關(guān)聯(lián)參考方向,發(fā)出功率,故,功率表讀數(shù)：,6）功率因數(shù)提高,任何一種電氣設(shè)備的容量決定于它的額定電壓和額定電流的大小，但電氣設(shè)備發(fā)出（對(duì)發(fā)電機(jī)）或消耗（對(duì)負(fù)載）的有功功率不但與電壓電流有關(guān)，而且與功率因數(shù)有關(guān)。當(dāng)電氣設(shè)備的功率因數(shù)較低時(shí)，設(shè)備的利用率就很低。舉例來(lái)說(shuō)，一臺(tái)額定容量為1000kVA的變壓器，如果負(fù)載的功率因數(shù)為0.7，則變壓器最大輸出功率為700kW。如果把負(fù)載功率因數(shù)提高到1，則變壓器最大可輸出1000kW的有功功率。這樣設(shè)備的利用率就提高了。,在實(shí)

20、際工業(yè)應(yīng)用中，多數(shù)用電負(fù)載是感性負(fù)載（如三相感應(yīng)電動(dòng)機(jī)），使得負(fù)載端電流滯后于電壓，功率因數(shù)角 。要提高功率因數(shù)，最簡(jiǎn)便的措施是在感性負(fù)載兩端并聯(lián)電容器。,例3: 電感性負(fù)載通過(guò)并聯(lián)電容來(lái)提高功率因數(shù).,設(shè)電源電壓,，負(fù)載R和L的阻抗,負(fù)載電流,有效值,功率因數(shù)角,(若電力線路最大容許電流 則負(fù)載端可并聯(lián)接入約70個(gè)電器負(fù)載。),同一線路，若在負(fù)載端并聯(lián)電容C，則電容電流,，總電流,若取,，則負(fù)載電流,此時(shí)，負(fù)載總功率因數(shù),（電壓電流同相，,）,（同一電力線路最多可接入100個(gè)電器負(fù)載）,例4 某一負(fù)載端電壓為10kV，有功功率為1000kW，功率因數(shù) （感性），現(xiàn)要把功率因數(shù)提高到0.9，問(wèn)

21、應(yīng)在負(fù)載 兩端并聯(lián)多大的電容？,解：由題可知，在電容并聯(lián)前負(fù)載電流,功率因數(shù)角,若以電壓為參考相量,則電流相量,把負(fù)載電流分解成沿,方向的有功分量,和與,垂直的無(wú)功分量,，,現(xiàn)要使功率因數(shù)提高到0.9，接入電容后總電流為負(fù)載電流,與電容電流之和。因?yàn)殡娙蓦娏鳛槿菪詿o(wú)功電流，兩電流合成后總有功分量不變。當(dāng) 時(shí)，總電流為：,無(wú)功分量,需要補(bǔ)償?shù)碾娙蓦娏?從而求出電容值 ：,7）交流電路功率守恒,任一封閉正弦交流電網(wǎng)絡(luò)，所有電源發(fā)出的復(fù)數(shù)功率等于所有負(fù)載吸收的復(fù)數(shù)功率 。,電網(wǎng)絡(luò)有功功率和無(wú)功功率分別守恒 。,有功:,無(wú)功:,例5 某一負(fù)載端電壓為10kV，有功功率為1000kW，功率因數(shù) （感性），現(xiàn)要把功率因數(shù)提高到0.9，用復(fù)功率守恒定理計(jì)算，應(yīng)在負(fù)荷兩端并聯(lián)多大的電容？,解：從復(fù)功率守恒的觀點(diǎn)看，負(fù)載端并聯(lián)電容的作用是產(chǎn)生負(fù)載所需的無(wú)功功率，使電源供給負(fù)載端的無(wú)功功率減少，從而提高電路的功率因數(shù)。題中原負(fù)載的視在功率：,無(wú)功功率：,因?yàn)樨?fù)載端并聯(lián)電容不會(huì)影響負(fù)載的有功功率，即負(fù)載的有功功率保持不變?，F(xiàn)在欲把負(fù)載端并聯(lián)電容后功率因數(shù)提高到0.9，則負(fù)載端輸入的總視在功率變?yōu)椋?此時(shí)總無(wú)功功率為,由于原來(lái)實(shí)際負(fù)載所需的無(wú)功功率為 ，而功率因數(shù)提高后外部輸入的無(wú)功功率變?yōu)?，根據(jù)功率守恒定理，并聯(lián)電容應(yīng)輸出的無(wú)功功率為：,因此可求得電容值為：,3.10 復(fù)雜正弦交流電路的計(jì)算,任意