1、,第二章 四邊形,矩形的判定,平行四邊形,矩形,矩形定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。,1.矩形的定義,四邊形,2.矩形與四邊形的關(guān)系,矩形一般性質(zhì):,2矩形是平行四邊形的特例，所以它具備平行四邊形的一切性質(zhì)。,3矩形的四個(gè)角都是直角。,4矩形的對(duì)角線(xiàn)相等。,或者說(shuō):矩形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分.,1矩形是四邊形,所以它具備四邊形的一切性質(zhì)。,矩形的特殊性質(zhì),覃康豪同學(xué)用這樣四步畫(huà)出了一個(gè)四邊形，他說(shuō)這就是一個(gè)矩形你認(rèn)為她的判斷對(duì)嗎？說(shuō)明你的理由,問(wèn)題背景：,已知:如圖,在四邊形ABCD中，A=B=C=90. 求證:四邊形ABCD是矩形.,D,C,B,A,已知什么？我們來(lái)證明。,分析：按定

2、義，只要證明四邊形ABCD是平行四邊形。,證明:A=B=C=90,A+B=180,ADBC，ABCD.,B+C=180.,四邊形ABCD是平行四邊形.,又C=90 四邊形ABCD是矩形. (矩形定義),三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.,由此，我們得到，矩形的第一個(gè)判定定理：,三個(gè)角是直角的四邊形，容易知道第四個(gè)角也是直角，,雷錦陽(yáng)說(shuō)兩個(gè)角是直角的四邊形 也是矩形,夏從云反駁道：四邊形中只有兩個(gè)角是直角，我想到了下邊的圖形,因此，兩個(gè)角是直角的四邊形不一定是矩形。,對(duì)嗎？,所以雷錦陽(yáng)的說(shuō)法是錯(cuò)誤的， 這也告訴我們學(xué)習(xí)要認(rèn)真踏實(shí)，不能想當(dāng)然,問(wèn)題：我們已經(jīng)學(xué)了矩形的性質(zhì)，如何用帶刻度的角尺檢驗(yàn)?zāi)竟ぷ龀?/p>

3、的門(mén)框是否是矩形？說(shuō)說(shuō)你的想法.,“矩形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分”可以測(cè)量對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度是否相等。,從“矩形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分”這一性質(zhì)受到啟發(fā)，你能畫(huà)出對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度為4cm的一個(gè)矩形嗎？這樣的矩形有多少個(gè)？,過(guò)點(diǎn)O 畫(huà)兩條線(xiàn)段AC，BD，使得OA=OC=2cm， OB =OD=2cm. 連接AB，BC，CD，DA. 則四邊形ABCD 是矩形， 且它的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度為4 cm，如圖. 這樣的矩形有無(wú)窮多個(gè).,機(jī)智的你們能說(shuō)出這樣畫(huà)出的四邊形是矩形的理由嗎,如圖，由畫(huà)法可知，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)互相平分，因此它是平行四邊形，又已知其對(duì)角線(xiàn)相等，上述問(wèn)題抽象出來(lái)就是：對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形嗎

4、？,證明：,在ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB，,因此 ABCDCB. (SSS),從而 ABC=DCB.,又ABC+DCB =180，,于是 ABC=90.,所以 ABCD是矩形.,由此得到矩形的第二個(gè)判定定理：,對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形,討論：對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形嗎？,對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分的四邊形是矩形.,總結(jié)矩形的判定方法:,1.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.,2.對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形.,3.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.,4.對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分的四邊形是矩形.,如何檢查一個(gè)四邊形的畫(huà)框 是否為矩形?,例1如圖，在ABCD中，它的兩條對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)

5、O（1）如果ABCD是矩形，試問(wèn)：OBC是什么樣的三角形？ （2）如果OBC是等腰三角形，其中OB=OC，那么ABCD是矩形嗎？,解：, AC與DB相等且互相平分., OBC是等腰三角形.,（2） OBC是等腰三角形，其中OB = OC，, AC = 2OC = 2OB = BD., ABCD是矩形.,（1） ABCD是矩形，,(對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形),例2.如圖，O是ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，AB=BC，作DEAC，CEBD，DE，CE交于點(diǎn)E 求證:四邊形CEDO是矩形,證明: DEAC，CEBD，,DEOC，CEOD，,四邊形CEDO是平行四邊形（平行四邊形定義）, AB=BC，O是

6、AC的中點(diǎn), BDAC，即COD 90. （三線(xiàn)合一）,四邊形CEDO是矩形,(有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形),例3 如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD上的點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH.,(1)求證：四邊形EFGH是矩形,四邊形EFGH是矩形；,證明：,四邊形ABCD是矩形,OA=OB=OC=OD，,即：OE=OF=OG=OH,AE=BF=CG=DH,AOAE=OBBF=COCG=DODH,例3 如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD上的點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH.,（2）若E,F,G,H分別是O

7、A,OB,OC,OD的中點(diǎn)，且DGAC，OF=2cm,求矩形ABCD的面積,CB=,DC=4cm，DB=8cm,四邊形ABCD是矩形，DO=BO=4cm,F是BO中點(diǎn)，OF=2cm，BO=4cm，,又DG=DG，DGCDGO，CD=OD，,DGAC，DGO=DGC=90,解：G是OC的中點(diǎn)，GO=GC，,矩形ABCD的面積=44 =16,例4：如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC，B=90AD=24cm， 動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向向店點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿著CB方向向點(diǎn)B以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí) ，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)

8、動(dòng),（2）設(shè)經(jīng)過(guò)ys，四邊形PQBA為矩形， 即AP=BQ，所以y=26-3y， 解得：y= 6.5 即經(jīng)過(guò)6.5秒四邊形PQCD是矩形,(1）經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，四邊形PQCD是平行四邊形？,（2）經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，四邊形PQBA是矩形？,（1）設(shè)經(jīng)過(guò)xs，四邊形PQCD為平行四邊形 即PD=CQ，所以24-x=3x， 解得：x=6即經(jīng)過(guò)6秒四邊形PQCD是平行四邊形,解：,C,1、能夠判斷一個(gè)四邊形是矩形的條件是（ ） A .對(duì)角線(xiàn)相等 B. 對(duì)角線(xiàn)垂直 C.對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等 D.對(duì)角線(xiàn)垂直且相等,C,2、如圖，直線(xiàn)EFMN，PQ交EF、MN于A、C兩點(diǎn),AB、CB、CD、AD分別是 EAC、 MCA、 ACN、 CAF的角平分線(xiàn)，則四邊形ABCD是（ ）A. 任意四邊形 B. 平行四邊形 C. 矩形 D. 不能確定,3、矩形的一組鄰邊長(zhǎng)分別是3cm和4cm， 則它的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)是 cm.,5,4.判斷:(1)有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形.( ) (2)對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形. ( ) (3)對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分的四邊形是矩形. ( ) (4)四個(gè)角都相等的四邊形是矩形. ( ) (5)對(duì)角互補(bǔ)的平行四邊形是矩形 （ ）,5.如圖，在 ABCD中，以AC為斜邊作RtA