1、12.4.2 冪級數(shù)性質(zhì),冪級數(shù)不僅形式簡單, 而且具有優(yōu)良的分析性質(zhì).,通過本節(jié)學(xué)習(xí), 要求做到：,2. 會用冪級數(shù)的性質(zhì)求和函數(shù).,1.理解冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和分析性質(zhì);,定理1 設(shè),則對,用級數(shù)和的定義-部分和的極限可以證明:,(1),(2),一、冪級數(shù)的線性運(yùn)算性質(zhì),及任意常數(shù) , 有:,(常數(shù)因子可以提出),(級數(shù)相加可合并系數(shù)),則,評注 1) 上述運(yùn)算不改變收斂半徑, 故可在收斂區(qū)間上反復(fù)進(jìn)行;,二、和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì),2) 運(yùn)算未涉及收斂區(qū)間的端點, 故結(jié)果級數(shù)的收斂域仍需討論.,定理2 設(shè),3)應(yīng)用-給出了冪級數(shù)求和函數(shù)的主要方法,根據(jù)微分和積分的關(guān)系, 借助幾何級數(shù)的求和結(jié)

2、果, 有公式:,或,例1 求下列級數(shù)的和函數(shù),解 此處的收斂半徑 r = 1.,(在收斂區(qū)間求出和函數(shù),和函數(shù)定義域即級數(shù)收斂域),對,原級數(shù)顯然發(fā)散, 和函數(shù)也無定義.,.,解 此處 r = 1,而在x =1處, 函數(shù)無定義.,收斂,故,對,例2 對下列級數(shù)求和：,解 由上例1 可知：,故,由于此處, 在中取,即得,注 和函數(shù)為數(shù)項級數(shù)求和提供了另類重要途徑.如:,解 由例2 知, 該級數(shù)的收斂半徑 r+.,例3,可得,解此一階微分方程(分離變量, 積分求解):,的和函數(shù) .,設(shè),亦即,例4 求和函數(shù),提示 這里半徑等于1;先積分化為幾何級數(shù),后求導(dǎo)即得和函數(shù),提示 這里r =1;先求導(dǎo)化為幾何級數(shù),后積分即得和函數(shù),提示 取級數(shù),則有 r = 1,由于,所以,(互動練習(xí)),在收斂區(qū)間(-1,1)上:,注 根據(jù)需要, 求和函數(shù)時可以多次應(yīng)用級數(shù)的分析性質(zhì).,答,不一定.,例如, 對,計算可知: 它們的收斂半徑都是1,但收斂域卻分別是:,三、有關(guān)分析性質(zhì)的問題與思考,1.冪級數(shù)的連續(xù)性、逐項積分均保持其收斂域不變,那么逐項求導(dǎo)后, 其收斂域是否也不變？,逐項求導(dǎo), 得到:,n 為奇數(shù),n 為偶數(shù),能否確定它的收斂半徑不存在 ?,答 不能.,因為,時級數(shù)發(fā)散 ,原因 可以證明,比值判別法成立,根值判別法成立.,3.和函數(shù)已知的常用冪級數(shù)有：,以后均可作為冪級數(shù)求和函數(shù)的公式.,2