1、1,3行列式按一行（列）展開,行列式按一行(列)的展開式在理論上和實際計算中都起重要作用，其實也是行列式的一條重要性質(zhì)，由于其特殊性，和其它性質(zhì)分開來敘述.而其它性質(zhì)都主要是關(guān)于初等變換對于行列式的值的影響的.,1,2,我們從考察三階行列式開始.,把三階行列式的六項按含第一行各個元素分為三組,2,3,提出公因子,3,4,M22,M23,M32,4,5,分別稱為a11,a12,a13的余子式,記作M11,M12,M13.而 (1)1+1 M11, (1)1+2 M12, (1)1+3M13稱為 a11,a12,a13 代數(shù)余子式,記作A11,A12,A13.利用代數(shù)余子式,可以寫出,5,6,劃去

2、aij的所在的行和列所得的行列式稱為aij的余子式，記作Mij，（1)i+jMij稱為aij的代數(shù)余子式，記作Aij.,定義,從定義知道, aij的代數(shù)余子式和余子式只與i,j有關(guān),與aij的值無關(guān).,6,7,例設(shè),求a23的余子式和代數(shù)余子式.,解,7,8,引理,(行列式按第一行的展開式),行列式等于第一行各元素和相應(yīng)代數(shù)余子式乘積之和.,8,9,10,證明以三階行列式為例書寫:,10,11,表示2,3排列的全體,其余類似.,思考:請寫出一般情形的證明.,11,12,定理對于,按第i行展開,按第j列展開,12,13,證明把第i行和其前面的i-1行依次互換i1次,到達第一行,其余位置不變.,1

3、3,14,如果一行乘另一行的代數(shù)余子式結(jié)果會怎樣呢?,對于四節(jié)行列式,舉例說,14,15,例如對于3階行列式,此式代表第二行元素為第一行元素的行列式, 即有兩行相同,故其值為零.一般地對于n階行 列式,克羅內(nèi)克記號.,15,行列式按行或列展開的一般公式,16,17,例計算行列式,解I,17,18,此題中兩個行列式的計算,18,19,解II,可以先用上一節(jié)的方法在一行制造更多的零.,19,20,20,21,例 計算行列式,解,21,22,22,23,例設(shè),第一式是行列式,23,24,解,24,25,25,26,例證明范德蒙德(Vandermonde)行列式,n=1時公式成立嗎？ 共多少個因子？,26,27,證明用數(shù)學歸納法. n=2時,等式成立.設(shè)等式對于n-1成立,則從第n行開始，后行減去前行的 x1 倍：,27,28,按照第1列展開，并提出每列的公因子 xj x1，并且利用歸納假設(shè)就有,28,例,29,30,例 求下列 n 階行列式的值,30,31,為了觀察降階規(guī)律，我們以5階為例,解,32,33,(1)當一行很多0時,按一行展開,得遞推公式; (2)直接計算前幾個值,根據(jù)遞推公式再計算幾個值,猜出一般公式; (3)用