1、1.5 定積分的概念,1.5.1 曲邊梯形的面積,這些圖形的面積該怎樣計(jì)算？,例題（阿基米德問題）：求由拋物線y=x2與直線x=1,y=0所圍成的平面圖形的面積,Archimedes，約公元前287年約公元前212年,問題1：我們是怎樣計(jì)算圓的面積的？圓周率是如何確定的？,問題2：“割圓術(shù)”是怎樣操作的？對我們有何啟示？,x,y,曲邊梯形的面積,問題2:圓面積公式是如何推導(dǎo)的?,問題1,最基本、最奇妙的曲邊圖形是什么？,曲邊梯形的面積,將圓分成16等份,曲邊梯形的面積,平分16等份,平分32等份,曲邊梯形的面積,r,因?yàn)? 長方形面積 = 長 寬,所以: 圓 的 面 積 =, r 2,r r,

2、曲邊梯形的面積,三國時期的數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù),“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,劉徽,當(dāng)邊數(shù)n無限增大時，正n邊形面積無限逼近圓的面積,曲邊梯形的面積,三國時期的數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù),“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,劉徽,當(dāng)邊數(shù)n無限增大時，正n邊形面積無限逼近圓的面積,曲邊梯形的面積,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,割圓術(shù)：劉徽在九章算術(shù)注中講到,劉徽,當(dāng)邊數(shù)n無限增大時，正n邊形面積無限逼近圓的面積,以“直”代“曲” 無限逼近,問題：如圖，陰影部分類似于一個梯形, 但有一邊是

3、曲線y=f(x)的一段, 我們把由 直線x=a,x=b(ab),y=0和曲線y=f(x)所圍 成的圖形稱為曲邊梯形如何計(jì)算這個 曲邊梯形的面積?,曲邊梯形的特點(diǎn) 、只有一邊是曲線 、其他三邊是特殊直線,因此，我們可以用這條直線L來代替點(diǎn)P附近 的曲線，也就是說：在點(diǎn)P附近，曲線可以看作直線（即在很小范圍內(nèi)以直代曲）,放大,再放大,y = f(x),A A1,用一個矩形的面積A1近似代替曲邊梯形的面積A.,如何求曲邊梯形的面積,?,得,A1,能再精確一點(diǎn)嗎?,A A1+ A2,用兩個矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面 積A， 得,如何求曲邊梯形的面積,?,A1,A2,能再精確一點(diǎn)嗎?,A A1+

4、A2+ A3+ A4,用四個矩形的面積 近似代替曲邊梯形的 面積A， 得,如何求曲邊梯形的面積,?,A1,A2,A3,A4,能再精確一點(diǎn)嗎?,A A1+ A2 + + An,將曲邊梯形分成 n個小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積， 于是曲邊梯形的面積A近似為, 以直代曲,無限逼近.,如何求曲邊梯形的面積,?,達(dá)到無限接近。,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和

5、與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，

6、注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,分割越細(xì)，面積的近似值就越精確。當(dāng)分割無限變細(xì)時，這個近似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積S。,“以直代曲”的具體操作過程,曲邊梯形的面積, 分成很窄的小曲邊梯形， 然后用矩形面積代替后求和。,對任意一個小曲邊梯形，用“直邊”代替“曲邊” （即在很小范圍內(nèi)以直代曲),探究點(diǎn)1 曲邊梯形的面積,直線x1，y0及曲線yx2所圍成的圖形（曲邊梯形）面積S是多少？,為了計(jì)算曲邊梯形的面積S，將它分割成許多小曲邊梯形，,方案1,方案2,方案3,解題思想,“細(xì)分割、 近似和、 漸逼近”,下面用第一種方案“以直代曲”的具體操作過程,X,y,X,y,（1）分割,把區(qū)間0，1等分成n個小區(qū)間：,過各區(qū)間端點(diǎn)作x軸的垂線，從而得到n個小曲邊梯形，他們的面積分別記作,例1.求拋物線y=x2、直線x=1和x軸所圍成的 曲邊梯形的面積。,(過剩近似值),(過剩近似值),分割,近似代替,求和,取極限,一般地，對于曲邊梯形，我們也可采用,的方法，求其面積.,1.5.2 汽車行駛的路程,汽車行駛的路程,思考1：已知物體運(yùn)動路程與時間的關(guān)系,怎樣求物體的 運(yùn)動速度？,探究點(diǎn)2 汽車行駛的路程,思考2：已知物體運(yùn)動速度為