1、微分方程,第七章, 積分問題, 微分方程問題,推廣,微分方程的基本概念,第一節(jié),微分方程的基本概念,引例,幾何問題,物理問題,第七章,引例1.,一曲線通過點(1,2) ,在該曲線上任意點處的,解: 設所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關系式:,(C為任意常數),由 得 C = 1,因此所求曲線方程為,由 得,切線斜率為 2x ,求該曲線的方程 .,引例2. 列車在平直路上以,的速度行駛,獲得加速度,求制動后列車的運動規(guī)律.,解: 設列車在制動后 t 秒行駛了s 米 ,已知,由前一式兩次積分, 可得,利用后兩式可得,因此所求運動規(guī)律為,說明: 利用這一規(guī)律可求出制動后多少時間列車才,

2、能停住 ,以及制動后行駛了多少路程 .,即求 s = s (t) .,制動時,常微分方程,偏微分方程,含未知函數及其導數的方程叫做微分方程 .,方程中所含未知函數導數的最高階數叫做微分方程,(本章內容),( n 階顯式微分方程),微分方程的基本概念,一般地 , n 階常微分方程的形式是,的階.,分類,或, 使方程成為恒等式的函數.,通解, 解中所含獨立的任意常數的個數與方程, 確定通解中任意常數的條件.,n 階方程的初始條件(或初值條件):,的階數相同.,特解,引例2,引例1,通解:,特解:,微分方程的解, 不含任意常數的解,初始條件,其圖形稱為積分曲線.,例1. 驗證函數,是微分方程,的通解

3、,的特解 .,解:,這說明,是方程的解 .,是兩個獨立的任意常數,利用初始條件易得:,故所求特解為,故它是方程的通解.,并求滿足初始條件,求所滿足的微分方程 .,例2. 已知曲線上點 P(x, y) 處的法線與 x 軸交點為 Q,解: 如圖所示,令 Y = 0 , 得 Q 點的橫坐標,即,點 P(x, y) 處的法線方程為,且線段 PQ 被 y 軸平分,第二節(jié),轉化,可分離變量一階微分方程,第二節(jié),解分離變量方程,可分離變量方程(適用于一階微分方程),第七章,特點：等式的每一邊僅是一個變量的函數與這個變量的微分之積.,可分離變量的方程求通解的步驟是:,1.分離變量，,2.上式兩端積分,其中C為

4、任意常數.,由上式確定的函數,就是方程的通解（隱式通解）,這種解方程的方法稱為,變量分離法,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分離變量得,兩邊積分,得,即,( C 為任意常數 ),或,說明: 在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、,減解.,( 此式含分離變量時丟失的解 y = 0 ),例2. 解初值問題,解: 分離變量得,兩邊積分得,即,由初始條件得 C = 1,( C 為任意常數 ),故所求特解為,例3. 求下述微分方程的通解:,解: 令,則,故有,即,解得,( C 為任意常數 ),所求通解:,練習:,解法 1 分離變量,即,( C 0 ),解法 2,故有,積分,( C 為任意常

5、數 ),所求通解:,積分,例4.,子的含量 M 成正比,求在,衰變過程中鈾含量 M(t) 隨時間 t 的變化規(guī)律.,解: 根據題意, 有,(初始條件),對方程分離變量,即,利用初始條件, 得,故所求鈾的變化規(guī)律為,然后積分:,已知 t = 0 時鈾的含量為,已知放射性元素鈾的衰變速度與當時未衰變原,例5.,成正比,求,解: 根據牛頓第二定律列方程,初始條件為,對方程分離變量,然后積分 :,得,利用初始條件, 得,代入上式后化簡, 得特解,并設降落傘離開跳傘塔時( t = 0 ) 速度為0,設降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度,降落傘下落速度與時間的函數關系.,t 足夠大時,例6. 有高 1

6、 m 的半球形容器, 水從它的底部小孔流出,開始時容器內盛滿了水,求水從小孔流出過程中, 容器里水面的高度 h 隨時間 t,解: 由力學知, 水從孔口流出的流量為,即,小孔橫截面積為1cm2（如圖）,的變化規(guī)律.,設在,內水面高度由 h 降到,對應流出的體積,因此得微分方程定解問題:,將方程分離變量:,兩端積分, 得,利用初始條件, 得,則得容,器內水面高度 h 與時間 t 的關系:,可見水流完所需時間為,因此,內容小結,1. 微分方程的概念,微分方程;,定解條件;,2. 可分離變量方程的求解方法:,說明: 通解不一定是方程的全部解 .,有解,后者是通解 , 但不包含前一個解 .,例如, 方程,分離變量后積分;,根據定解條件定常數 .,解;,階;,通解;,特解,y = x 及 y = C,找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.,常用的方法:,1) 根據幾何關系列方程 ( 如: P301 題5(2) ),2) 根據物理規(guī)律列方程,3) 根據微量分析平衡關系列方程,(2) 利用反映事物個性