1、Matlab數(shù)學實驗與建模,安陽工學院數(shù)理學院 蘇婷 Tel基本要求：,作業(yè)（手寫和上機）一次不交扣2分 曠課一次扣2分 作業(yè)有創(chuàng)新最多加5分，沒有上限 學好這門課的唯一途徑多上機練習 編程能力與在計算機上投入的時間成正比,本章目標,了解MATLAB的基本知識 熟悉MATLAB的上機環(huán)境 掌握利用MATLAB進行基本運算的方法 初步具備將一般數(shù)學問題轉化成對應的計算機模型并進行處理的能力,主要內(nèi)容,1.1 MATLAB概述 1.2 基本運算功能 1.3 基本運算類型 1.4 matlab的矩陣和數(shù)組及其運算 1.5矩陣函數(shù) 1.6符號運算 1.7字符串、元胞和結構,1

2、.1 MATLAB概述,科學研究和工程實踐中的計算問題 簡單問題：計算器或直接手工推導 復雜問題：計算機編程 計算機編程 高級編程語言 Microsoft: Visual C+、Visual Basic Borland: Delphi、C+Builder Sun: Java 科學計算軟件工具 MathWorks: MATLAB,科研和工程技術人員的首選 MATLAB,MATLAB具有用法簡單、靈活、結構性強、延展性好等優(yōu)點，逐漸成為科技計算、視圖交互系統(tǒng)和程序中的首選語言工具。 功能強大的數(shù)值運算功能 強大的圖形處理能力 高級但簡單的程序環(huán)境 豐富的工具箱與模塊集 易于擴充,1.1.2matl

3、ab 界面,1.2 基本運算功能,MATLAB的基本運算可分為三類： 算術運算 關系運算 邏輯運算,1.2.1 算術運算,Matlab 操作注意事項,Matlab操作注意事項,使用變量來進行更復雜的問題求解, a=15+20-50+3*9 a = 12 b=30 b = 30 c=a*b c = 360 d=a3-b*c d = -9072,逗號或分號的區(qū)別,x=2, y=3 %逗號隔開，屏幕有回顯 x = 2 y = 3 m=2; n=3;%分號隔開，無回顯 m %在提示符后直接輸入變量名可查看變量的值 m = 2,基本算術運算符,例1-1 求解算術表達式的值, (12+2*(7-4)/33

4、 ans = 0.6667,format命令,1.2.2 關系運算,關系運算的結果類型為邏輯量 (0, 1), x=2; x3 ans = 0 x=2 ans = 1,1.2.3 邏輯運算,邏輯運算符用于將關系表達式或邏輯量連接起來，構成較復雜的邏輯表達式。邏輯表達式的值也是邏輯量。,1.3 基本數(shù)據(jù)類型,MATLAB數(shù)據(jù)類型 數(shù)值 邏輯 字符串 元胞 結構 類,1.3.1 數(shù)值類型,分類方法一： 雙精度型 （系統(tǒng)默認類型） 單精度型 帶符號整數(shù) 無符號整數(shù) 分類方法二 標量 數(shù)組 矩陣 分類方法三 實數(shù) 復數(shù) z1=1+2i z1 = 1.0000 + 2.0000i z2=3+4j z2

5、= 3.0000 + 4.0000i,1.3.2 字符串類型,字符串：包含在一對單引號中的字符集合 s=hello, MATLAB%定義字符串變量s s = hello, MATLAB,1.3.3 變量和表達式,變量的命名方式： 變量名由字母、數(shù)字和下劃線組成； 變量名中的英文字母大小寫是有區(qū)別的； 變量名的最大長度是有規(guī)定的 不同版本的系統(tǒng)規(guī)定不同：19個字符、31或63個字符等 可調(diào)用namelengthmax函數(shù)得到系統(tǒng)規(guī)定長度,MATLAB系統(tǒng)的特殊變量和常數(shù),變量的使用,clear%刪除工作區(qū)中所有定義過的變量 whos%查看當前工作區(qū)內(nèi)變量信息，無顯示表示沒有定義的變量 xy=1;

6、 yx=2; %對變量賦值 xy%查看變量xy的當前數(shù)值 xy = 1 whos Name Size Bytes Class xy 1x1 8 double array yx 1x1 8 double array Grand total is 2 elements using 16 bytes clear xy yx%刪除變量xy及yx whos xy%這時變量xy已經(jīng)不存在了 ? Undefined function or variable xy.,1.4 數(shù)學函數(shù),使用函數(shù)須注意以下幾點,函數(shù)一定要出現(xiàn)在等式的右邊 函數(shù)對其自變量的個數(shù)和格式都有一定的要求 函數(shù)允許嵌套,例1-3 計算下式

7、的結果，其中a=5.67, b=7.811,a=5.67; b=7.811; exp(a+b)/log10(a+b) ans = 6.3351e+005,Matlab標點的常用功能,Matlab標點的常用功能,指令窗的常用控制指令,MATLAB實施指令行編輯的常用操作鍵,擴展閱讀,1.5 MATLAB背景 1.5.1 MATLAB歷史 1.5.2 MATLAB組成 1.5.3 MATLAB特點 1.5.4其他幾種相關的數(shù)學軟件 1.6工具箱,上機指導,1.7 MATLAB的安裝和使用 1.7.1安裝MATLAB系統(tǒng) 1.7.2使用MATLAB系統(tǒng) 1.8 MATLAB幫助功能,應用舉例,計算星

8、球之間的萬有引力。 G = 6.67E-11;% 引力恒量 sun=1.987E30;% 太陽質(zhì)量1.9871030千克 earth = 5.975E24;% 地球質(zhì)量5.9751024千克 d1=1.495E11;% 太陽和地球的距離1.4951011米 g1 = G*sun*earth/d12% 太陽和地球的引力 g1 = 3.5431e+022 moon=7.348E22;% 月亮質(zhì)量7.3481022千克 d2=3.844E5;% 月亮和地球兩者間距3.844105米 g2 = G*moon*earth/d22% 月亮和地球的引力 g2 = 1.9818e+026,應用舉例,設三個復數(shù)

9、a34i，b12i, ，計算x=ab/c a=3+4i; b=1+2i; c=2*exp(i*pi/6); x=a*b/c x = 0.3349 + 5.5801i,應用舉例,已知三角形的三邊長分別為3、4、5，求其面積。 a=3; b=4; c=5;% 三角形的三個邊長 s=(a+b+c)/2; area=sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c) area = 6,應用舉例,計算下式的結果，其中x= 45 x=pi/180*(45);%將角度單位由度轉換為函數(shù)要求的弧度值 z=(sin(x)+sqrt(35)/72(1/5) z = 2.8158,1.4 matlab的矩陣與數(shù)組及其

10、運算,例：輸入矩陣A、B的值,1.4.1.2 矩陣下標與子矩陣提取,A(m, n)提取第m行，第n列元素 A(:, n)提取第n列元素 A(m, :)提取第m行元素 A(m1:m2, n1:n2)提取第m1行到第m2行和第n1列到 第n2列的所有元素 A(m:end, n) 提取從第m行到最末行和第n列的子塊 A(:)得到一個長列矢量，該矢量的元素按矩陣的列進行排列,例： 修改矩陣A中元素的數(shù)值,A=1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16; A(1,1)=0;A(2,2)=A(1,2)+A(2,1);A(4,4)=cos(0); 則矩陣變?yōu)椋?A =

11、 0 2 3 4 5 7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1,1.4.1.3 矩陣的算術運算,1矩陣的加減運算：(加)、(減) 2矩陣乘法：*(乘) 3矩陣除法：/ (右除)、 (左除) 4矩陣的乘方：(乘方) 5矩陣轉置： (轉置運算符),1.4.1.4 矩陣的關系運算,關系運算符： (大于) =(大于或等于)、=(等于)、=(不等于)。 關系運算符的運算法則： 關系運算將對兩個矩陣的對應元素進行比較。,1.4.1.5 矩陣的邏輯運算,必須是兩個同維矩陣或其中一個矩陣為標量才能進行 MATLAB提供了一些邏輯函數(shù),1.4.1.6 矩陣函數(shù),1求矩陣的行列式的值, X=1 2

12、3 0; 5 6 0 8; 9 0 11 12; 0 14 15 16; det(X) ans = -5464,2求矩陣的秩, X=1, 2, 3; 2, 3 -5; 4 7 1; rank(X) ans = 2,3求逆矩陣, X=1 2 3 0; 5 6 0 8; 9 0 11 12; 0 14 15 16; Y=inv(X) Y = 0.2299 0.0908 0.0351 -0.0717 0.1940 0.0798 -0.0659 0.0095 0.1274 -0.0835 0.0322 0.0176 -0.2892 0.0084 0.0275 0.0377 Y*X%矩陣與其逆陣相乘結果

13、是單位矩陣 ans = 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 X*Y%矩陣的逆陣是唯一的 ans = 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000,4求特征值和特征向量, X=-2 1 1;0 2 0;-4 1 3; V D=eig(X) V= -0.7071 -0.2425 0.3015 0 0 0.9045 -0.7071 -0.9701 0.3015 D= -1 0 0 0 2 0 0 0 2,5矩陣分解, A=2 -1 3;1 2 1;2 4 3; L, U=lu

14、(A) %三角分解 L = 1.0000 0 0 0.5000 0.5000 1.0000 1.0000 1.0000 0 U = 2.0000 -1.0000 3.0000 0 5.0000 0 0 0 -0.5000,6求解線性方程組,1.4.2 數(shù)組,數(shù)組是矢量運算的基礎 行向量 列向量,1.4.2 數(shù)組的構造,1逐個輸入 a=1 3 9 10 15 16%采用空格和逗號分隔構成行向量 b=1; 3; 9; 10; 15; 16 %采用分號隔開構成列向量 2利用冒號表達式“:”生成向量 x=1:2:9%初值=1，終值=9，步長=2 z=1:5%初值=1，終值=5，默認步長=1 3利用函數(shù)

15、生成向量 x=linspace(1, 9, 5)%初值=1，終值=9，元素數(shù)目=5,1.4.2.2 向量的運算,1點積：dot函數(shù) 2叉積：cross函數(shù) 例 a = 1 2 3; b = 4 5 6; c = dot(a, b) d = cross(a, b) c = 32 d = -3 6 -3,1.4.3 數(shù)組,數(shù)組運算方式是一種元素對元素的運算 除了加、減法的與矩陣相同以外，乘、除、冪的數(shù)組運算符都是通過在標準的運算符前面加一個圓點來生成。,數(shù)組運算, x=1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; y=9 8 7; 6 5 4; 3 2 1; x+y%數(shù)組和矩陣的加法規(guī)則相同 ans

16、= 10 10 10 10 10 10 10 10 10 x.*y%數(shù)組乘法：對應元素相乘 ans = 9 16 21 24 25 24 21 16 9 x*y%矩陣乘法：按照線性代數(shù)理論進行 ans = 30 24 18 84 69 54 138 114 90,多維數(shù)組維間處理的函數(shù),1reshape 2size 3ndims 4cat 5permute 6ipermute 7shiftdim 8squeeze,1.4.4 多項式,多項式是形如 P(x) = a0 xn+a1xn-1+an-1x+an的式子。 在MATLAB中，多項式用行向量表示： P= a0 a1 an-1 an,1.4.

17、4 多項式的生成與表達,例：已知向量A=1 34 80 0 0，用此向量構造一多項式并顯示結果。 (x-1)(x+34)(x+80)(x-0)(x-0) PA=poly(A) PAX=poly2str(PA,X) X5 + 113 X4 + 2606 X3 - 2720 X2,1.4.4 多項式的運算,1. 多項式的算術運算 參加加減運算的多項式應該具有相同的階次。 多項式乘法采用conv函數(shù)，除法由deconv函數(shù)完成。 2. 求根 求多項式的根采用roots函數(shù)。 3. 求值 函數(shù)polyval可以將某個特定數(shù)值代入多項式 函數(shù)polyvalm可以求出當多項式中的未知數(shù)為方陣時的值。 4.

18、 求導 使用polyder函數(shù)對多項式求導。,擴展閱讀,1.4.5 特殊矩陣 1.4.6 稀疏矩陣,上機指導,1.4.7工作空間與內(nèi)存變量 1.4.7.1變量的查看 1.4.7.2變量的文件保存與獲取,應用舉例,應用舉例,例 將表達式(x-4)(x+5)(x2-6x+9)展開為多項式形式，并求其對應的一元n次方程的根。 p=conv(1 -4,conv(1 5,1 -6 9) px=poly2str(p,x) x=roots(p),1.6 符號計算,1 數(shù)值運算與符號運算 2 符號變量和符號表達式 3 符號表示式的運算 4 微積分 5 方程求解,1.6 數(shù)值運算與符號運算,數(shù)值運算在運算前必須

19、先對變量賦值，再參加運算。 符號運算不需要對變量賦值就可運算，運算結果以標準的符號形式表達。,1.6.2 符號變量和符號表達式,符號變量和符號表達式在使用前必須說明 sym函數(shù) f1=sym(ax2+bx+c) %創(chuàng)建符號變量f1和一個符號表達式 syms函數(shù) clear syms a b c x whos Name Size Bytes Class a 1x1 126 sym object b 1x1 126 sym object c 1x1 126 sym object x 1x1 126 sym object,1.6.3 符號表示式的運算,1.6.3.1算術運算 clear f1 = s

20、ym(1/(a-b) ); f2 = sym(2*a/(a+b) ); f3 = sym( (a+1)*(b-1)* (a-b) ); f1+f2%符號和 ans = 1/(a-b)+2*a/(a+b) f1*f3 %符號積 ans = (a+1)*(b-1) f1/f3 %符號商 ans = 1/(a-b)2/(a+1)/(b-1),1.6.3.2 函數(shù)運算,1合并、化簡、展開等函數(shù) collect函數(shù)：將表達式中相同冪次的項合并； factor函數(shù)：將表達式因式分解； simplify函數(shù)：利用代數(shù)中的函數(shù)規(guī)則對表達式進行化簡； numden函數(shù)：將表示式從有理數(shù)形式轉變成分子與分母形式。

21、 2反函數(shù) finverse（f,v） 對指定自變量為v的函數(shù)f(v)求反函數(shù) 3復合函數(shù) compose(f,g) 求f=f(x)和g=g(y)的復合函數(shù)f(g(y) compose(f,g,z) 求 f=f(x)和g=g(y)的復合函數(shù)f(g(z) 4表達式替換函數(shù) subs(s)用賦值語句中給定值替換表達式中所有同名變量 subs (s, old, new) 用符號或數(shù)值變量new替換s中的符號變量old,例,clear f1 =sym(exp(x)+x)*(x+2); f2 = sym(a3-1); f3 = sym(1/a4+2/a3+3/a2+4/a+5); f4 = sym(si

22、n(x)2+cos(x)2); collect(f1) ans = x2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x) expand(f1) ans = exp(x)*x+2*exp(x)+x2+2*x factor(f2) ans = (a-1)*(a2+a+1) m,n=numden(f3)%m為分子，n為分母 m = 1+2*a+3*a2+4*a3+5*a4 n = a4 simplify(f4) ans = 1,例,clear syms x y finverse(1/tan(x) %求反函數(shù)，自變量為x ans = atan(1/x) f = x2+y; finverse(f,y) %求

23、反函數(shù)，自變量為y ans = -x2+y clear syms x y z t u; f = 1/(1 + x2); g = sin(y); h = xt; p = exp(-y/u); compose(f,g) %求f = f(x) 和 g = g(y)的復合函數(shù)f(g(y) ans = 1/(1+sin(y)2),例,clear syms a b subs(a+b,a,4) %用4替代a+b中的a ans = 4+b subs(cos(a)+sin(b),a,b,sym(alpha),2) %多重替換 ans = cos(alpha)+sin(2) f=sym(x2+3*x+2) f = x2+3*x+2 subs(f, x, 2)