1、一 概率模型 傳送系統(tǒng)的效率,工人將生產出的產品掛在經過他上方的空鉤上運走，若工作臺數(shù)固定，掛鉤數(shù)量越多，傳送帶運走的產品越多。,背景,在生產進入穩(wěn)態(tài)后，給出衡量傳送帶效率的指標，研究提高傳送帶效率的途徑,問題分析,進入穩(wěn)態(tài)后為保證生產系統(tǒng)的周期性運轉，應假定工人們的生產周期相同，即每人作完一件產品后，要么恰有空鉤經過他的工作臺，使他可將產品掛上運走，要么沒有空鉤經過，迫使他放下這件產品并立即投入下件產品的生產。,可以用一個周期內傳送帶運走的產品數(shù)占產品總數(shù)的比例，作為衡量傳送帶效率的數(shù)量指標。,工人們生產周期雖然相同，但穩(wěn)態(tài)下每人生產完一件產品的時刻不會一致，可以認為是隨機的，并且在一個周期

2、內任一時刻的可能性相同。,模型假設,1）n個工作臺均勻排列，n個工人生產相互獨立，生產周期是常數(shù)；,2）生產進入穩(wěn)態(tài)，每人生產完一件產品的時刻在一個周期內是等可能的；,3）一周期內m個均勻排列的掛鉤通過每一工作臺的上方，到達第一個工作臺的掛鉤都是空的；,4）每人在生產完一件產品時都能且只能觸到一只掛鉤，若這只掛鉤是空的，則可將產品掛上運走；若該鉤非空，則這件產品被放下，退出運送系統(tǒng)。,模型建立,定義傳送帶效率為一周期內運走的產品數(shù)（記作s,待定）與生產總數(shù) n（已知）之比，記作 D=s /n,若求出一周期內每只掛鉤非空的概率p，則 s=mp,為確定s，從工人考慮還是從掛鉤考慮，哪個方便？,設每

3、只掛鉤為空的概率為q，則 p=1-q,如何求概率,設每只掛鉤不被一工人觸到的概率為r，則 q=rn,設每只掛鉤被一工人觸到的概率為u，則 r=1-u,u=1/m,一周期內有m個掛鉤通過每一工作臺的上方,模型解釋,若(一周期運行的)掛鉤數(shù)m遠大于工作臺數(shù)n, 則,傳送帶效率(一周期內運走產品數(shù)與生產總數(shù)之比）,定義E=1-D (一周期內未運走產品數(shù)與生產總數(shù)之比）,提高效率的途徑：,增加m,習題1,當n遠大于1時, E n/2m E與n成正比，與m成反比,若n=10, m=40, D87.5% (89.4%),二 概率模型 報童的訣竅,問題,報童售報： a (零售價) b(購進價) c(退回價)

4、,售出一份賺 a-b；退回一份賠 b-c,每天購進多少份可使收入最大？,分析,購進太多賣不完退回賠錢,購進太少不夠銷售賺錢少,應根據(jù)需求確定購進量,每天需求量是隨機的,優(yōu)化問題的目標函數(shù)應是長期的日平均收入,等于每天收入的期望,建模,設每天購進 n 份，日平均收入為 G(n),調查需求量的隨機規(guī)律每天需求量為 r 的概率 f(r), r=0,1,2,準備,求 n 使 G(n) 最大,已知售出一份賺 a-b；退回一份賠 b-c,求解,將r視為連續(xù)變量,結果解釋,取n使,a-b 售出一份賺的錢 b-c 退回一份賠的錢,1.一維隨機變量與分布函數(shù),二 .概率分布與數(shù)字特征,隨機變量：用數(shù)值表示的隨機

5、事件的函數(shù)。,10,2020年8月2日,11,2020年8月2日,1.一維隨機變量與分布函數(shù),12,2020年8月2日,1.一維隨機變量與分布函數(shù),（1）數(shù)學期望,2. 隨機變量的數(shù)學期望與方差,13,2020年8月2日,一 .概率分布與數(shù)字特征,（1）數(shù)學期望,14,2020年8月2日,2. 隨機變量的數(shù)學期望與方差,（2）方差,15,2020年8月2日,2. 隨機變量的數(shù)學期望與方差, .常用的概率分布及數(shù)字特征,16,2020年8月2日,17,2020年8月2日, .常用的概率分布及數(shù)字特征,（4）均勻分布：,18,2020年8月2日, .常用的概率分布及數(shù)字特征,19,2020年8月2

6、日, .常用的概率分布及數(shù)字特征,20,2020年8月2日, .常用的概率分布及數(shù)字特征,21,2020年8月2日,.常用的概率分布及數(shù)字特征,（8）F-分布：,22,2020年8月2日,.常用的概率分布及數(shù)字特征,三 案例分析：足球門的危險區(qū)域問題,在足球比賽中，球員在對方球門前不同的位置起腳射門對球門的威脅是不一樣的。在球門的正前方的威脅要大于在球門兩側射門；近距離的射門對球門的威脅要大于遠射。,23,2020年8月2日,1. 問題的提出,已知標準球場長104米，寬69米；球門高2.44米，寬7.32米。,實際中,球員之間的基本素質可能有一定差異,但對于職業(yè)球員來講一般可認為這種差別不大。

7、另外,根據(jù)統(tǒng)計資料顯示，射門時球的速度一般在10米/秒左右。請研究下列問題： （1）針對球員在不同位置射門對球門的威脅度進行研究，并繪制出球門的危險區(qū)域； （2）在有一名守門員防守的情況下，對球員射門的威脅度和危險區(qū)域作進一步的研究。,24,2020年8月2日,三 案例分析：足球門的危險區(qū)域問題,1、問題的提出,25,2020年8月2日,五、案例分析：最優(yōu)評卷問題,1、問題的提出,26,2020年8月2日,五、案例分析：最優(yōu)評卷問題,2、模型的假設,27,2020年8月2日,五、案例分析：最優(yōu)評卷問題,2、模型的假設,28,2020年8月2日,五、案例分析：最優(yōu)評卷問題,2、模型的假設,29,2020年8月2日,五、案例分析：最優(yōu)評卷問題,、模型的建立:四種評審方案,方案一:,30,2020年8月2日,五、案例分析：最優(yōu)評卷問題,、模型的建立:四種評審方案,方案一:,31,2020年8月2