1、1一階微分方程 2可降階的二階微分方程 3二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu) 4二階常系數(shù)線性微分方程,一、第七章要點(diǎn),1一階微分方程,1)可分離變量的微分方程,解法,類型,2)一階線性微分方程,類型,解法,3)齊次方程,此為變量可分離的微分方程,類型,解法 令 ，則 原方程變?yōu)?4)伯努利方程,為一階線性微分方程,類型,解法 令 ，則原方程變?yōu)?2可降階的二階微分方程,方法 作 次積分,新方程是一個一階微分方程,1)類型,2)類型,方法 令 ，則原方程轉(zhuǎn)變?yōu)?新方程是一個一階微分方程,3)類型,方法 令 ，則原方程轉(zhuǎn)變?yōu)?3二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu),設(shè)二階線性微分方程,而稱方程,為方程所對應(yīng)的齊次

2、線性方程有,1)若 是方程的線性無關(guān)解，則方程有通解,的一個特解,2)若 是方程的特解，則方程有通解,3)若 是方程 的特解，,則 為方程,4二階常系數(shù)線性微分方程,1)二階常系齊次數(shù)線性微分方程,設(shè)方程,相應(yīng)的特征方程為,則：若方程有兩個不同的實(shí)根 ，則方程的通解為,若方程有兩個相同的實(shí)根 ，則方程的通解為,若方程有一對共軛復(fù)根 ，則方程的通,解為,2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,設(shè)方程為,則方程有特解,其中 是一個與 同次的多項(xiàng)式，而,設(shè)方程,則方程有特解,其中 是 次的多項(xiàng)式， ，而,按 是否為特征方程的根而分別取1或0,二、例 題 選 講,解 此方程為一個可分離變量的微分方程分離變量

3、，,因,得,例1 求解方程 ,兩邊積分，得,即得原方程的通解,解 原方程變形后為齊次方程,例2 求解方程 ， ,作變換 ，則有,移項(xiàng)，得,兩邊積分，得,將 代入，有,即滿足初始條件的解為,由初始條件 ，得 ，即原方程的解為,解 原方程變形為,即,例3 求微分方程 的通解,此是關(guān)于函數(shù) 的一階線性非齊次線性微分方程，,由求解公式得,分離變量，得,兩邊積分，得,例4 求解微分方程 ,解法1 此方程為齊次方程，作代換 ，則有,故方程的通解為,即,由于,解法2 方程變形為,故方程的通解為,代回原變量，得,此方程為貝努利方程，此時令 ，則有,例5 求解下列方程,即,方程的解為,1. ； 2. ,解 1.

4、 此方程不含變量 ，故令變換 ，則方程為,即,所以，方程的通解為,方程變形為,即有,2. 此方程中不含變量 ，作變換 ，則,解得,即,分離變量后，再兩邊積分得,從而得方程的通解,由 ，得方程的解為 由,例6 求下列方程的通解,解 1. 特征方程為,解得 ，由此得到方程的通解,1. ； 2. ；,3. ,則,2. 特征方程為 ，因而齊次方程的通解為,由于 為單根，故可設(shè)方程的特解為,代入方程后，比較系數(shù)得,所以,因而方程的通解為,代入到原方程，得,3. 特征方程為 ，解得 ，所以齊次方,程的通解為,注意到 不是特征方程的根，故方程的特解可,設(shè)為,1一階微分方程 2可降階的二階微分方程 3二階線性

5、微分方程的解的結(jié)構(gòu) 4二階常系數(shù)線性微分方程,一、第七章要點(diǎn),1一階微分方程,1)可分離變量的微分方程,解法,類型,2)一階線性微分方程,類型,解法,3)齊次方程,此為變量可分離的微分方程,類型,解法 令 ，則 原方程變?yōu)?4)伯努利方程,為一階線性微分方程,類型,解法 令 ，則原方程變?yōu)?2可降階的二階微分方程,方法 作 次積分,新方程是一個一階微分方程,1)類型,2)類型,方法 令 ，則原方程轉(zhuǎn)變?yōu)?新方程是一個一階微分方程,3)類型,方法 令 ，則原方程轉(zhuǎn)變?yōu)?3二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu),設(shè)二階線性微分方程,而稱方程,為方程所對應(yīng)的齊次線性方程有,1)若 是方程的線性無關(guān)解，則方程有通

6、解,的一個特解,2)若 是方程的特解，則方程有通解,3)若 是方程 的特解，,則 為方程,4二階常系數(shù)線性微分方程,1)二階常系齊次數(shù)線性微分方程,設(shè)方程,相應(yīng)的特征方程為,則：若方程有兩個不同的實(shí)根 ，則方程的通解為,若方程有兩個相同的實(shí)根 ，則方程的通解為,若方程有一對共軛復(fù)根 ，則方程的通,解為,2)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,設(shè)方程為,則方程有特解,其中 是一個與 同次的多項(xiàng)式，而,設(shè)方程,則方程有特解,其中 是 次的多項(xiàng)式， ，而,按 是否為特征方程的根而分別取1或0,二、例 題 選 講,解 此方程為一個可分離變量的微分方程分離變量，,因,得,例1 求解方程 ,兩邊積分，得,即得原

7、方程的通解,解 原方程變形后為齊次方程,例2 求解方程 ， ,作變換 ，則有,移項(xiàng)，得,兩邊積分，得,將 代入，有,即滿足初始條件的解為,由初始條件 ，得 ，即原方程的解為,解 原方程變形為,即,例3 求微分方程 的通解,此是關(guān)于函數(shù) 的一階線性非齊次線性微分方程，,由求解公式得,分離變量，得,兩邊積分，得,例4 求解微分方程 ,解法1 此方程為齊次方程，作代換 ，則有,故方程的通解為,即,由于,解法2 方程變形為,故方程的通解為,代回原變量，得,此方程為貝努利方程，此時令 ，則有,例5 求解下列方程,即,方程的解為,1. ； 2. ,解 1. 此方程不含變量 ，故令變換 ，則方程為,即,所以，方程的通解為,方程變形為,即有,2. 此方程中不含變量 ，作變換 ，則,解得,即,分離變量后，再兩邊積分得,從而得方程的通解,由 ，得方程的解為 由,例6 求下列方程的通解,解 1. 特征方程為,解得 ，由此得到方程的通解,1. ； 2. ；,3. ,則,2. 特