1、第一篇 力 學,第五章 波動學基礎,四多普勒效應,內容結構,一波動的運動學規(guī)律,(引入運動學參量、運動學方程、波動的合成),二波動的動力學規(guī)律,三波動的能量,一有關機械波的基本概念,5-1波動的運動學規(guī)律,1.機械波：機械振動在介質中的傳播過程稱為機械波 說明：A.機械波產(chǎn)生的前提條件是：存在波源；存在傳播 振動的彈性介質（但不是所有的波都需要彈性介質） B.波動產(chǎn)生的物理機制：波是振動質點帶動鄰近質點 振動，由近及遠向外傳遞振動的結果。是振動的向 外傳遞，不是介質質點自身向外運動的結果。,2.機械波的種類：縱波和橫波 縱波：振動方向與波的傳播方向垂直的波，稱為縱波 縱波依靠介質縱向的彈性使振

2、動由近及遠向外傳播。 縱波可在固體、液體、氣體中傳播。,影響縱波的傳播速度的因素有：介質的密度；介質的楊氏彈 性模量(Y，固體)，體變模量(B，液體、氣體)等。 縱波的特征是有凹凸的波峰、波谷。,橫波：振動方向與傳播方向平行的波稱為橫波 橫波依靠介質切向的彈性使振動由近及遠向外傳播,橫波只能在固體中傳播。 影響橫波的傳播速度的因素有：介質的密度；介質的切變彈 性摸量(G，固體)。 橫波的特征是有稀密相間的不同介質區(qū)域。,二理想機械波模型,1.振源與彈性介質保持相對靜止 介質振動頻率與振源振動頻率相同。 A.從機械波產(chǎn)生的物理機制角度理解。 B.穩(wěn)定、無阻尼受迫振動的振動頻率與受迫力頻率相等 2

3、.彈性介質無阻尼或能量吸收波在傳遞過程中振幅不變,三描述機械波的物理參量,1.描述機械波的解析物理參量波長、頻率(周期)、波速,(1).波長()：沿波傳播直線上兩個相鄰同相點 （相位差為2）之間的距離。 說明：一個波長范圍內包含了一個“完整的波”，即包含了質 點振動的各種可能振動步調(相位) 波數(shù)( )：波長的倒數(shù)稱為波數(shù)。或：單位長度所包含的完整 波的數(shù)目，稱為波數(shù)。,(2).頻率()：單位時間內給定的完整波的個數(shù)。 周期(T)：傳遞一個完整波所需的時間?；颍侯l率的倒數(shù),(3).波速( v )：單位時間波向外傳播完整波數(shù)對應的距離,說明：波的傳播速度等于振動的相位傳播速度,波長、頻率、相位之

4、間的普適關系,2.描述機械波的輔助物理參量波線、波面、波前(幾何描述),(1).波線：波向外傳播的方向構成的曲線，稱為波線。 波線上任意一點的切線方向與該點波的傳播方向相同,波矢：特定的波線的矢量，稱為波矢 其中為波矢的單位矢量,(2).波面：介質中振動相位相同的點構成的曲面，稱為波面 不同波面上振動的質點有一定的 相位差。相距一個波長的兩波面 的相位差為2,(3).波前：某時刻介質中剛開始振動的 點構成的曲面，或者位于所有波面 之前的波面,A.波線與波面、波前一定垂直。 B.波向外傳播過程可以看作為波前以波速向前推進的過程 C.理想機械波模型中，波前的相位一定等于振源的初相位,證明：設振源的

5、簡諧振動為,任意時刻t振源的相位為,設機械波傳遞到波前處所需時間為t，考慮到介質質點振動 頻率與振源振動頻率相等，如所有介質質點振動采用同一 記時起點，則波前的相位比振源相位落后,于是，t 時刻波前的相位為,例：聲音在空氣和水中的波速分別為340m/s，1450m/s。 求：(1).頻率分別為200Hz，2000Hz的聲波在空氣、水中的波長 (2).說明聲音在空氣和水中的頻率為何保持不變,解：(1).空氣中,水中,(2).在理想機械波模型下，介質中質點的振動頻率始終與振源 振動頻率相等。與介質結構無關,四平面簡諧波的運動學描述,平面波：波面為平面的波，稱為平面波。 簡諧波：傳遞簡諧振動的波，稱

6、為簡諧波,1.平面波的運動學方程波函數(shù),目的：描述距振源任一距離處質點的振動情況,設 t 時刻x=0的質元振動方程為,設平面波的波速為v，則距離振源x點處的相位,x點處的振動方程為,討論：波函數(shù)的物理意義,A.波函數(shù)表示沿波線方向振動狀態(tài)的周期性分布,當時，波函數(shù)表示該點質點的振動方程,任意兩點，的相位差為,稱為波程差。,相位差與波程差之間的關系,B.波函數(shù)表示各質點相對于各自平衡位置的位移分布,當時，波函數(shù)表示各質點相對于各自平衡位置的位移分布,當（）時，,波形向前推進的距離(波形向前推進的速度為v)。,解：1.由于波函數(shù)的標準形式能直接讀出振幅、周期、波長， 因此，在求波函數(shù)的基礎物理量時

7、，一般將波函數(shù)改寫 為波函數(shù)的標準形式來求解,將波函數(shù)改寫為標準形式為,與波函數(shù)的標準形式對比可得,2.將代入波動方程可得,3.由可得,解：1.由波動方程的普遍形式,以A為原點寫波動方程，關鍵要求出波函數(shù)的基礎物理參量,波函數(shù)為,2.以B為坐標原點時，由于B點比A點坐標超前，即,因此，只需要將以A為坐標原點的波動方程中的記時起點換 為以B為坐標原點的記時起點即可,3.將C、D兩點坐標代入上式即可求出C、D兩點的振動方程,速度振動方程只需對上面兩式求導,例：一平面波沿x軸正向傳播，振幅為A，頻率為，波速為v 設t=t時波形如圖。 求：1.x=0 處質點的振動方程 2.該波的波動方程,由已知，此時

8、波沿x軸正向傳播，理解為波整體向右移動，可 知此時振動的速度為負，即,于是,5-2波動的動力學規(guī)律,一波的動力學方程,例：推導輕質、柔弦的微振動方程,如圖，由牛頓定律有,微振動時,聯(lián)立求解得,討論：1.波動動力學方程的推導步驟,取微元對象受力分析列動力學方程取近似得微分方程,二波速,由波動方程,可得,可知,即：波動方程空間二次導數(shù)前的系數(shù)就是波的傳播速度,討論：影響波的傳播速度的因素,對其它波動形式的方程作類似推導，可得各種波動的波動方 程及傳播速度，由傳播速度的表達式，容易知道影響波傳播 速度的因素,5-3波動的能量和能流,一簡諧波的能量,設簡諧波為,則在點處 介質內的機械能為,(1).動能

9、,(2).彈性介質內的勢能,A.彈性微元的彈性應變,如圖，取微元,初始時刻微元端點坐標分別為 x，x+x。某一振動時刻兩端 點位移分別為y(x,t)和y(x+x,t),B. 彈性介質內的勢能,由彈性模量Y的定義,與彈簧諧振子回復力公式類比，可得桿縱振動的彈性勢能為,或,于是,討論,1.能量密度：彈性介質單位體積的能量，稱彈性介質的能量密度,A.能量密度隨時、間變化，不構成簡諧波，但傳遞速度仍為v B.能量密度的角頻率為簡諧振動角頻率的二倍，因而周期、波 長為簡諧振動的一半 C.平均能量密度為,2.微元機械能不守恒,知：微元的動能、勢能、總機械能同時達到最大或最小。微元 的總機械能是不守恒的，這

10、正表明機械波是要向外傳播能量， 這一點，剛好與簡諧諧振動機械能守恒相反,二簡諧波的能流密度(波的強度),1.能流矢量 單位時間通過介質中與傳播速度垂直的某一面積的能量,2.平均能流矢量,例：在各向同性的理想介質中 求：點波源振幅、強度隨距離的變化關系,解：由能量守恒,可得,振幅隨距離呈1次方衰減,波的強度隨距離呈2次方衰減,例：聲波在液體中的強度： ；頻率； 液體的密度：聲速： 求：液體質元振動的振幅,由此可見，聲波在液體中的振幅實際上是很小的,三聲強與聲級,5-4波的干涉駐波,一惠更斯原理,1.惠更斯原理,任一時刻波前上各點都可作為子波的波源，向前發(fā)出子波， 后一時刻各子波的包跡，就是該時刻

11、新波的波前,惠更斯原理的重要性在于：只要知道了某一時刻波的波陣面， 就可以用幾何方法決定下一時刻的波陣面及波的傳播方向,2.惠更斯原理的應用,例：用惠更斯原理解釋平面波、球面波的傳播,方法：1.找出t時刻波的波陣面 2.以t時刻的波面為新的波源，畫出經(jīng)時刻后的t1時刻子波波前 3.畫出t1時刻子波波前的包跡，即為該時刻的波陣面 4.確定求出的波陣面的幾何形狀和傳播方向,例：用惠更斯原理解釋波的衍射、折射、 反射等規(guī)律,二波的疊加原理(波的獨立性原理),A.各列波相遇后它們各自原有的特點 (頻率、波長、振幅、振動方向等)不變， 按各自原有的方向傳播，好象在各自 的傳播過程中沒有遇到其他波一樣,B

12、.在各列波相遇的區(qū)域里，任意質點的振動，為各列波在該點 引起的振動的矢量疊加,三波的干涉,1.波的干涉的相關概念,A.相干波：滿足相差恒定、振動頻率相同、振動方向相同的波,B.波的干涉：相干波在其公共區(qū)域內疊加，形成公共區(qū)域內合 成波強度隨空間坐標而異的強度穩(wěn)定分布現(xiàn)象，稱波的干涉,2.干涉現(xiàn)象中的波的強度空間分布,設兩列相干波源的振動分別為,在空間相遇點P的振動分別為,由疊加原理，兩列波在公共區(qū)域內的合成振動為,其中,2.相消干涉,3.特例,此時的相長干涉條件為,此時的相消干涉條件為,例：已知振源S1，S2如圖，PS1=4m，S1S2=3m，兩振動有如下 共同物理量：A=5cm，v=330m

13、/s，v=165Hz，2-1= 求：在P點的干涉結果,解：求干涉結果，即求解以下兩個物理量,由于 2-1=,于是,四駐波,1.駐波的相干條件：兩波振幅相同、頻率相同、振動方向相 同、在同一條直線上反向傳播,2.駐波的形成及數(shù)學表達式,設兩列滿足駐波條件的相干波分別為,于是，合成波為,討論：(1).振幅分布規(guī)律,A.振幅只與空間位置有關，與時間無關。即對一確定的空間 位置，振幅是一定的,此時對應的坐標點點稱為波腹,相鄰波腹的距離為,此時對應的坐標點點稱為波節(jié),相鄰波節(jié)的距離為,(2).相位分布規(guī)律,每一波節(jié)兩側半個波長內的質點振動的相位相反，相鄰兩波 節(jié)之間的質點振動相位相同,因,當時， 即相鄰

14、兩波節(jié)之間的質點振動相位相同,當時， 即每一波節(jié)兩側半個波長內的質點振動的相位相反,(3).駐波的能量：由形成駐波的條件可知，駐波并不傳遞能量,(4).半波損失的概念,實驗發(fā)現(xiàn)，對于繩子的固定端，該點是入射波與反射波在繩上 形成的駐波之波節(jié)。由振動的合成可知，該點的入射波與反射 波的相位一定相差半個周期(入射波在該點反射時有的相位突變 或半個波長)。稱該現(xiàn)象為半波損失,對繩子的自由端，入射波與反射波沒有相位突變，或不構成 駐波波節(jié)。因此，沒有半波損失,一般情況下，入射波在反射時是否存在半波損失，取決于介 質密度、入射角等因素,對于兩端固定繩子上形成的駐波，由于在兩個端點必然是駐 波節(jié)點，因而，

15、可能的駐波波長必須滿足,或,即：可能的駐波必須是某一基波的整數(shù)倍。m=1的頻率稱基頻 其它的波稱為諧波。所有這些振動稱為簡正振動。所有的頻率 構成弦振動的本征頻率,當外界激發(fā)頻率等于振動系統(tǒng)的本征頻率時，就會引起駐波， 這種現(xiàn)象也稱為共振,例：波源位于O點處，振動方程為：，在 處的Q點有一反射墻壁。 求：(1).沿x軸正向、負向傳播的波動方程 (2).反射的波動方程 (3).OQ區(qū)域內合成波的方程 (4).x0區(qū)域內的合成波動方程,解：(1). 沿x軸正向傳播的波動方程,沿x軸負向傳播的波動方程,(2).反射的波動方程，入射到Q點的振動方程為,考慮到墻壁引起的相位突變，Q點的振動方程為,故QO

16、區(qū)域內反射波的方程為,在x0區(qū)域內反射波的方程為,即，反射波波動方程可以統(tǒng)一表示為,(3).OQ區(qū)域內合成波的方程,(4).x0區(qū)域內的合成波動方程,例：長為l的繩兩端固定，線密度為，張力為T 求：此弦中的振動頻率（固有振動的本征頻率）,解：弦兩端固定，端點應為節(jié)點。而駐波相鄰兩點的距離為 的整數(shù)倍。于是,其中,于是,基頻為，基頻取決于繩子的長度、密度、張力,例：假定原子中核外電子繞核運動遵守某種簡諧波的波動規(guī)律 求：原子中電子的軌道半徑必須滿足的條件,解：原子必須是穩(wěn)定的，由波的干涉情況可知：只有當電子的,波形成穩(wěn)定駐波時，原子才可能穩(wěn)定。由駐波條件，軌道周長 必須為電子波長的整數(shù)倍，于是,

17、5-5多普勒效應,多普勒效應：當波源與觀察者發(fā)生相對運動時，觀察者測得 的波的頻率發(fā)生變化,一波源與觀察者均相對于媒質靜止情況,當波源與觀察者保持相對靜止時，觀察者測得波的頻率為單位 時間內經(jīng)過觀察者所在觀察點的完整波數(shù),即觀察者測得的頻率等于振源的振動頻率,二波源不動，觀察者以速度vR運動,當波源與觀察者保持相對靜止時，觀察者測得波的頻率為 當觀察者以速度 相向光源運動時，他將多測到經(jīng)過觀察點 的波數(shù)為，觀察者測得波的頻率為,即，觀察者測得的波的頻率為靜止時的倍,當觀察者以速度遠離光源運動時,三觀察者不動，波源相對于媒質以速度vS運動,相對靜止時觀察者觀察到的波長為，則當波源以速度 相向觀察

18、者運動時，觀察到的波長為,現(xiàn)在的頻率為,當波源以速度 遠離觀察者運動時，觀察到的頻率為,四觀察者與波源同時相對于媒質運動,觀察者與波源同時運動時，可以將該運動分解為兩個分運動的 疊加波源靜止，觀察者運動疊加波源運動而觀察者靜止,例：設原子靜止時所發(fā)射光波波長為0 求：相對于原子以速度v的觀察者觀察到的光波波長 解：光波與機械波的差別在于它不需要介質傳播，而是自身傳 播，且光速恒為c。因此，影響觀察者測量的頻率只取決于 光源與觀察者之間的相對運動。 如圖，設觀察者以速度v相對于光源運動，為使討論具有一般 性，我們考慮相對論效應。 設在靜止系中測量原子光譜的周期為T，則觀察者測得的周期,考慮到,可得,或,即：光線的傳播方向與相對運動的速度方