1、,第七節(jié),曲線(xiàn)的彎曲程度,與切線(xiàn)的轉(zhuǎn)角有關(guān),與曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)有關(guān),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,主要內(nèi)容:,一、 弧微分,二、 曲率及其計(jì)算公式,三、 曲率圓與曲率半徑,平面曲線(xiàn)的曲率,第三章,一、 弧微分,設(shè),在(a , b)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),其圖形為 AB,弧長(zhǎng),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,則弧長(zhǎng)微分公式為,或,幾何意義:,若曲線(xiàn)由參數(shù)方程表示:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,二、曲率及其計(jì)算公式,在光滑弧上自點(diǎn) M 開(kāi)始取弧段, 其長(zhǎng)為,對(duì)應(yīng)切線(xiàn),定義,弧段 上的平均曲率,點(diǎn) M 處的曲率,注意: 直線(xiàn)上任意點(diǎn)處的曲率為 0 !,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,轉(zhuǎn)角為,例

2、1. 求半徑為R 的圓上任意點(diǎn)處的曲率 .,解: 如圖所示 ,可見(jiàn): R 愈小, 則K 愈大 , 圓弧彎曲得愈厲害 ;,R 愈大, 則K 愈小 , 圓弧彎曲得愈小 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,有曲率近似計(jì)算公式,故曲率計(jì)算公式為,又,曲率K 的計(jì)算公式,二階可導(dǎo),設(shè)曲線(xiàn)弧,則由,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,說(shuō)明:,(1) 若曲線(xiàn)由參數(shù)方程,給出, 則,(2) 若曲線(xiàn)方程為,則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例2. 我國(guó)鐵路常用立方拋物線(xiàn),作緩和曲線(xiàn),處的曲率.,點(diǎn)擊圖片任意處播放暫停,說(shuō)明:,鐵路轉(zhuǎn)彎時(shí)為保證行車(chē),平穩(wěn)安全,求此緩和曲線(xiàn)在其兩個(gè)端點(diǎn),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)

3、下頁(yè) 返回 結(jié)束,且 l R.,其中R是圓弧彎道的半徑, l 是緩和曲線(xiàn)的長(zhǎng)度,離心力必須,連續(xù)變化 ,因此鐵道的,曲率應(yīng)連續(xù)變化 .,例2. 我國(guó)鐵路常用立方拋物線(xiàn),作緩和曲線(xiàn),且 l R.,處的曲率.,其中R是圓弧彎道的半徑, l 是緩和曲線(xiàn)的長(zhǎng)度,求此緩和曲線(xiàn)在其兩個(gè)端點(diǎn),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,解:,顯然,例3. 求橢圓,在何處曲率最大?,解:,故曲率為,K 最大,最小,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,求駐點(diǎn):,設(shè),從而 K 取最大值 .,這說(shuō)明橢圓在點(diǎn),處曲率,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,計(jì)算駐點(diǎn)處的函數(shù)值:,最大.,三、 曲率圓與曲率半徑,設(shè) M 為曲線(xiàn) C

4、 上任一點(diǎn) ,在點(diǎn),在曲線(xiàn),把以 D 為中心, R 為半徑的圓叫做曲線(xiàn)在點(diǎn) M 處的,曲率圓,( 密切圓 ) ,R 叫做曲率半徑,D 叫做,曲率中心.,在點(diǎn)M 處曲率圓與曲線(xiàn)有下列密切關(guān)系:,(1) 有公切線(xiàn);,(2) 凹向一致;,(3) 曲率相同 .,M 處作曲線(xiàn)的切線(xiàn)和法線(xiàn),的凹向一側(cè)法線(xiàn)上取點(diǎn) D 使,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,設(shè)曲線(xiàn)方程為,且,求曲線(xiàn)上點(diǎn)M 處的,曲率半徑及曲率中心,設(shè)點(diǎn)M 處的曲率圓方程為,故曲率半徑公式為,滿(mǎn)足方程組,的坐標(biāo)公式 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,由此可得曲率中心公式,當(dāng)點(diǎn) M (x , y) 沿曲線(xiàn),移動(dòng)時(shí),的軌跡 G 稱(chēng)為曲線(xiàn) C

5、 的漸屈線(xiàn) ,相應(yīng)的曲率中心,曲率中心公式可看成漸,曲線(xiàn) C 稱(chēng)為曲線(xiàn) G 的漸伸線(xiàn) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,屈線(xiàn)的參數(shù)方程(參數(shù)為x).,點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫(huà)開(kāi)始或暫停,例4. 設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓, 現(xiàn)要用砂輪磨,削其內(nèi)表面 , 問(wèn)選擇多大的砂輪比較合適?,解: 設(shè)橢圓方程為,由例3可知, 橢圓在,處曲率最大 ,即曲率半徑最小, 且為,顯然, 砂輪半徑不超過(guò),時(shí), 才不會(huì)產(chǎn)生過(guò)量磨損 ,或有的地方磨不到的問(wèn)題.,例3 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,( 仍為擺線(xiàn) ),例5. 求擺線(xiàn),的漸屈線(xiàn)方程 .,解:,代入曲率中心公式 ,得,擺線(xiàn) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,擺線(xiàn),半徑為 a 的圓周沿直線(xiàn)無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí) ,點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫(huà)開(kāi)始或暫停,其上定點(diǎn) M,的軌跡即為擺線(xiàn) .,參數(shù)的幾何意義,擺線(xiàn)的漸屈線(xiàn),點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫(huà)開(kāi)始或暫停,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 弧長(zhǎng)微分,或,2. 曲率公式,3. 曲率圓,曲率半徑,曲率中心,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),1. 曲線(xiàn)在一點(diǎn)處的曲率圓與曲線(xiàn)有何密切關(guān)系?,答: 有公切線(xiàn) ;,凹向一致 ;,曲率相同.,2. 求雙曲線(xiàn),的曲