1、1.3 二項式定理,1.3.2 “楊輝三角”與二項式 系數(shù)的性質,復習鞏固,1.二項式定理是什么？二項展開式有哪些基本特征？,2.二項展開式的通項是什么？,3.組合數(shù)有哪兩個基本性質？,復習鞏固,4.二項式系數(shù)是二項展開式中的基本數(shù)據(jù)，它有許多變化規(guī)律，探究、了解二項式系數(shù)的基本性質，對提升思維素養(yǎng)，進一步理解二項式定理和運用二項式定理解決某些實際問題，都有重要的作用.,提出問題,楊輝三角與 二項式系數(shù)的性質,問題探究,觀察上表中每一行的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律嗎？,具有對稱性,將上表寫成如下形式，你又能發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)有什么新的規(guī)律嗎？,(ab)11 1 (ab)21 2 1 (ab)31 3 3

2、 1 (ab)41 4 6 4 1 (ab)51 5 10 10 5 1 (ab)6 1 6 15 20 15 6 1,（1）每行兩端的數(shù)都是1；（2）與兩端等距離的項的系數(shù)相等；（3）在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，等等.,上述數(shù)表是我國南宋數(shù)學家楊輝在1261年所著的詳解九章算法一書中最先提出的，是我國古代數(shù)學的一個重要成果，比歐洲早五百年左右，我們把這個數(shù)表稱為楊輝三角，楊輝三角的上述基本性質如何用組合數(shù)性質解釋？,(ab)11 1 (ab)21 2 1 (ab)31 3 3 1 (ab)41 4 6 4 1 (ab)51 5 10 10 5 1 (ab)6

3、 1 6 15 20 15 6 1,利用楊輝三角，(ab)7的展開式中各項的二項式系數(shù)分別是什么？,(ab)11 1 (ab)21 2 1 (ab)31 3 3 1 (ab)41 4 6 4 1 (ab)51 5 10 10 5 1 (ab)6 1 6 15 20 15 6 1,1,35,35,21,21,7,7,1,對給定的正整數(shù)n，設函數(shù) ，r0，1，2，n， 當n6時，函數(shù)f(r)的圖象是什么？,問題探究,一般地，函數(shù) ，r0，1，2，n的圖象是什么？ 它具有怎樣的對稱性？,n1個孤立的點，關于直線 對稱,問題探究,在二項式系數(shù) 中，哪些二項式系數(shù)是相等的？,與首末兩端“等距離”的兩個二

4、項式系數(shù)相等.,問題探究,相鄰兩個二項式系數(shù)的大小關系如何？從理論上如何確定 與 的大小？,問題探究,通過上述分析，二項式系數(shù)的增減性與最大值分別是什么？,二項式系數(shù)的前半部分是遞增的，后半部分是遞減的，且在中間取得最大值.,問題探究,當n分別為偶數(shù)和奇數(shù)時，第幾項的二項式系數(shù)最大？,當n為偶數(shù)時，第 項的二項式系數(shù) 為最大；,問題探究,當n分別為偶數(shù)和奇數(shù)時，第幾項的二項式系數(shù)最大？,問題探究,填空： （1）(xy)11的展開式中系數(shù)最大的項第 項，系數(shù)最小的項第 項； （2） ，,理論遷移,7,6,1023,512,課堂小結,1.楊輝三角反映了二項式系數(shù)的變化規(guī)律，其理論依據(jù)是組合數(shù)的兩個

5、性質.楊輝三角中還有許多有趣性質，可作為一個研究性課題進行探究.,2.二項式系數(shù)的性質實質是組合數(shù)的一些性質，常作為解決組合數(shù)問題的理論依據(jù)，但這些性質不能類推到二項展開式的系數(shù).,3.令x1，可求得(abx)n的展開式中各項的系數(shù)之和，當x取其它值時，還可以得出一些相關結論，這是一種賦值的方法.,作業(yè)： P35練習：1. P37習題1.3A組：6，7，8.,二項式定理的應用習題課,知識回顧,1.二項式定理：,2.二項展開式的通項：,3.二項式系數(shù)的性質：,（1）與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等.,（2）二項式系數(shù)的前半部分是遞增的，后半部分是遞減的，且在中間取得最大值.當n為偶數(shù)時，

6、正中間一項的二項式系數(shù)最大；當n為奇數(shù)時，正中間兩項的二項式系數(shù)相等且為最大.,知識回顧,3.二項式系數(shù)的性質：,（3）所有二項式系數(shù)之和等于2n，所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和與所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和相等，且都等于2n1.,知識回顧,4.楊輝三角：,1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ,（1）每行兩端的數(shù)都是1；,（2）每行與兩端“等距離”的兩數(shù)相等；,（3）在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù) 都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，等等.,例1 已知 的展開式中 第5項與第3項的二項式系數(shù)之比為143，求展開式中所有的有

7、理項.,應用舉例,例2 已知(12x)n的展開式中第6項與第7項的系數(shù)相等，求展開式中二項式系數(shù)最大的項.,應用舉例,例3 求集合Aa1，a2，an共有多少個子集？,應用舉例,例4 用二項式定理證明： （1） 2511能被7整除； （2）5n15(nN*)能被20整除.,例5 用二項式定理求233除以9的余數(shù).,余數(shù)為8,應用舉例,例6 求1.028精確到0.001的近似值.,1.0281.171,例7 求證：,應用舉例,例8 設nN*，求證： （1） ； （2） .,例9 求證：,應用舉例,例10 (07年湖南卷)將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖所示的01三角數(shù)表.從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行， ，則第n次全