1、6.5合情推理與演繹推理,基礎(chǔ)梳理 1. 歸納推理 根據(jù)一類事物中_具有某種屬性, 推斷該類事物中_都具有這種屬性的推理, 叫作歸納推理.,部分事物,每一個,歸納推理是由部分到_, 由個別到_的推理. 歸納推理的一般步驟: (1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些_; (2)從已知的相同屬性中推出一個明確表述的_.,整體,一般,相同屬性,一般性命題,2. 類比推理 (1)根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似(或一致)性質(zhì), 推測其中一類事物具有另一類事物_的性質(zhì)的推理, 叫作類比推 理(簡稱類比). 類比推理的一般步驟: 找出兩類事物之間的_;,類似(或相同),相似性或一致性,用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事

2、物的性質(zhì), 得出一個明確的命題. (2)前提為真時, 結(jié)論可能為真的推理, 叫作合情推理. 歸納推理和類比推理是數(shù)學(xué)中常用的合情推理.,思考探究 1. 歸納推理與類比推理的相同點與區(qū)別是什么？ 提示: 兩種推理的相同點與區(qū)別: 類比推理和歸納推理的結(jié)論都是有待于證明的. 歸納推理是由特殊到一般的推理, 類比推理是由特殊到特殊的推理.,3. 演繹推理 (1)演繹推理: 根據(jù)已知的_和_, 按照嚴(yán)格的_ 得到新結(jié)論的推理過程. (2)演繹推理的一般模式“三段論”: _已知的一般原理;,事實,正確的結(jié)論,邏輯法則,大前提,_所研究的特殊情況; 結(jié)論根據(jù)一般原理, 對特殊情況作 出的判斷. (3)合情

3、推理與演繹推理的區(qū)別,小前提,不確定,三段論,真,思考探究 2. 演繹推理所獲得的結(jié)論一定可靠嗎？ 提示: 演繹推理是由一般性的命題推出特殊性命題的一種推理模式, 是一種必然性推理. 演繹推理的前提與結(jié)論之間有蘊含關(guān)系, 因而, 只要前提是真實的, 推理的形式是正確的, 那么結(jié)論必定是真實的, 但是錯誤的前提可能導(dǎo)致錯誤的結(jié)論,課前熱身 1. 觀察(x2)2x, (x4)4x3, (cosx) sinx, 由歸納推理可得: 若定義在R上的函 數(shù)f(x)滿足f(x)f(x), 記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù), 則g(x)() A. f(x) B. f(x) C. g(x D. g(x),解析: 選

4、D.通過觀察所給的結(jié)論可知, 若f(x) 是偶函數(shù), 則導(dǎo)函數(shù)g(x)是奇函數(shù), 故選D. 2. 三段論: “所有的中國人都堅強不屈, 玉樹人是中國人, 玉樹人一定堅強不屈” 中, 其中“大前提”和“小前提”分別是( ) A. B. C. D. ,解析: 選A.解本題的關(guān)鍵是透徹理解三段論推理的形式和實質(zhì): 大前提是一個“一般性的命題”, 即所有的中國人都堅強不屈; 小前提是“這個特殊事例是否滿足一般性命題的條件”, 即玉樹人是中國人, 結(jié)論是“這個特殊事例是否具有一般性命題的結(jié)論”, 即玉樹人一定堅強不屈. 故選A.,3. 對于平面幾何中的命題“夾在兩平行線之間的平行線段相等”, 在立體幾何

5、中, 類比上述命題, 可以得到命題_. 解析: 利用類比推理可知, 平面中的直線應(yīng)類比空間中的平面. 答案: 夾在兩平行平面間的平行線段相等,4. (2010高考陜西卷)觀察下列等式: 132332,13233362 , 根據(jù)上述規(guī)律, 第五個等式為_. 解析: 由所給等式可得: 等式兩邊的冪式指數(shù)規(guī)律明顯, 底數(shù)關(guān)系如下:,123,1236,123410, 即左邊底數(shù)的和等于右邊的底數(shù). 故第五個等式為: 132333435363(123456)2212. 答案: 132333435363212,考點1歸納推理,(2011高考山東卷)設(shè)函數(shù),【規(guī)律小結(jié)】歸納推理分為

6、完全歸納推理和不完全歸納推理, 由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的, 但它由特殊到一般, 由具體到抽象的認(rèn)識功能, 對科學(xué)的發(fā)現(xiàn)是十分有用的.,備選例題 (教師用書獨具),變式訓(xùn)練 1. (2011高考陜西卷)觀察下列等式 11 2349 3456725 4567891049 照此規(guī)律, 第n個等式為_.,解析: 觀察等式左側(cè): 第一行有1個數(shù)是1; 第二行是3個連續(xù)自然數(shù)的和, 第一個數(shù)為2, 第三行是5個連續(xù)自然數(shù)的和, 第一個數(shù)為3, 第四行是7個連續(xù)自然數(shù)的和, 第一個數(shù)為4.依此規(guī)律, 第n行是2n1個連續(xù)自然數(shù)的和, 其中第一個數(shù)為n,第n行左側(cè)為: n(n1)(n2)n(2n2

7、)n(n1)(n2)(3n2); 等式右側(cè); 第一行112, 第二行932, 第三行2552, 第四行4972.依此規(guī)律, 第n行是(2n1)2, 第n個等式為n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2. 答案: n(n1)(n2)(3n2) (2n1)2,考點2類比推理 設(shè)V是全體平面向量構(gòu)成的集合. 若映射f: VR滿足: 對任意向量a(x1, y1)V, b(x2, y2)V, 以及任意R, 均有fa(1)bf(a)(1)f(b), 則稱映射f具有性質(zhì)P.,現(xiàn)給出如下映射: f1: VR, f1(m)xy, m(x, y)V; f2: VR, f2(m)x2y, m(x, y)V; f3:

8、 VR, f3(m)xy1, m(x, y)V. 其中, 具有性質(zhì)P的映射的序號為_. (寫出所有具有性質(zhì)P的映射的序號),【解析】a(x1, y1), b(x2, y2), a(1)b(x1(1)x2, y1(1)y2). 對于, f1(m)xy, f(a(1)b)x1(1)x2y1(1)y2(x1y1)(1)(x2y2). 而f(a)(1)f(b)(x1y1)(1)(x2y2),f(a(1)b)f(a)(1)f(b). 具有性質(zhì)P. 對于, f2(m)x2y, 設(shè)a(0,0), b(1,2), a(1)b(1, 2(1), f(a(1)b) (1)22(1)243, 而f(a)(1)f(b

9、)(020)(1)(122)3(1),又是任意實數(shù), f(a(1)b)f(a) (1)f(b), 故不具有性質(zhì)P. 對于, f3(m)xy1, f(a(1)b)x1(1)x2y1(1)y21 (x1y1)(1)(x2y2)1,又f(a)(1)f(b)(x1y11)(1) (x2y21)(x1y1)(1)(x2y2) (1)(x1y1)(1)(x2y2)1, f(a(1)b)f(a)(1)f(b). 具有性質(zhì)P. 綜上, 具有性質(zhì)P的映射的序號為. 【答案】,【名師點評】類比推理是由特殊到特殊的推理, 推理的結(jié)果不一定正確, 但是可以通過嚴(yán)格的邏輯證明來解決這類問題, 在類比時要注意已知問題與類

10、比問題的共性與區(qū)別. 通常情況下, 平面圖形中的點、線、面可類比為空間圖形中的線、面、體. 另外常見的類比還有代數(shù)中的加減運算可類比為乘除運算, 等差與等比的類比, 0與1的類比, 平面幾何與空間幾何的類比等.,備選例題(教師用書獨具) 在ABC中, ABAC, ADBC于點D.,變式訓(xùn)練,考點3演繹推理,【名師點評】演繹推理是由一般到特殊的推理, 數(shù)學(xué)的證明過程主要是通過演繹推理進行的, 只要采用的演繹推理的大前提、小前提和推理形式是正確的, 其結(jié)論一定是正確的, 一定要注意推理過程的正確性與完備性.,備選例題(教師用書獨具) 函數(shù)yf(x)的定義域為M, 對于任意的x1, x2M, 若|f

11、(x1)f(x2)|x1x2|,【解】函數(shù)f(x)的定義域MR.設(shè)任意x1, x2R,變式訓(xùn)練 3. 設(shè)S是至少含有兩個元素的集合. 在S上定義了一個二元運算“*”(即對任意的a, bS, 對于有序元素對(a, b), 在S中有唯一確定的 元素a*b與之對應(yīng)). 若對任意的a, bS, 有 a*(b*a)b, 則對任意的a, bS, 下列等式中 不恒成立的是(),A. (a*b)*aa B. a*(b*a)*(a*b)a C. b*(b*b)b D. (a*b)*b*(a*b)b 解析: 選A.由定義a*(b*a)b, 可得a*(b*a)*(a*b)b*(a*b)a, 即B成立;,再將a*(b

12、*a)b中的a換成b, 即得b*(b*b)b, 即C成立; 再將a*(b*a)b中的a換成a*b, 即得(a*b)*b*(a*b)b, 即D成立; 而(a*b)*aa是由定義無法推得的. 故選A.,方法技巧 1. 合情推理主要包括歸納推理和類比推理. 數(shù)學(xué)研究中, 在得到一個新結(jié)論前, 合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論, 在證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前, 合情推理常常能為證明提供思路與方向.,2. 合情推理僅是“合乎情理”的推理, 它得到的結(jié)論不一定正確. 而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下).,失誤防范 1. 合情推理是從已知的結(jié)論推測未知的結(jié)論, 發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過進一步

13、嚴(yán)格證明. 2. 合情推理中運用猜想時不能憑空想象, 要有猜想或拓展依據(jù).,命題預(yù)測 從近兩年的高考試題來看, 歸納推理、類比推理等問題是高考的熱點, 歸納推理、類比推理大部分在填空題中出現(xiàn), 為中、低檔題, 突出“小而巧”, 主要考查類比推理、歸納推理的能力.,演繹推理大多出現(xiàn)在解答題中, 為中、高檔題目, 在知識交匯點處命題, 考查學(xué)生的邏輯推理能力, 以及分析問題、解決問題的能力. 預(yù)測2013年高考仍將以歸納推理、類比推理為主要考查點, 重點考查學(xué)生的邏輯推理能力.,典例透析,(2010高考福建卷)觀察下列等式: cos 22cos21; cos 48cos48cos21; cos 632cos648cos418cos21; cos 8128cos8256cos6160cos432cos21;,cos 10mcos101280cos81120cos6ncos4pcos21. 可以推測, mnp_. 【解析】觀察等式可知, cos的最高次的系數(shù)2,8,32,128, 構(gòu)成了公比為4的等比數(shù)列, 故m1284512;取0, 則cos 1, cos 101, 代入等式, 得1m12801120np1, 即np350(1);,【答案】962,【得分技巧】歸納推理的難點是由部分結(jié)果得到一般